MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO

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1 MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO

2 La Parabola Introduzione e definizione Prima di affrontare la parabola e la sua analisi matematica, appare opportuno definirla nelle sue caratteristiche essenziali. Anzitutto la parabola è parte di un insieme di curve dette coniche, poiché ottenute tagliando un cono con un piano. Una definizione più precisa vuole la parabola come curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto F ed un retta d. Asse parallelo all asse y In matematica la parabola è rappresentata dalla formula y = ax + bx + c Dove a, b e c sono numeri detti coefficienti. Il primo a determina la convessità della parabola, nonché dove è rivolta la concavità: a > 0 concavità verso l'alto a < 0 concavità verso il basso a = 0 la parabola degenera in una retta Il coefficiente b determina invece la posizione dell asse (la retta perpendicolare passante per il vertice) rispetto ad x. Se b = allora l asse è coincidente con l asse y. Il coefficiente c determina invece il punto (0; c) dove la parabola tocca l asse y. Altre caratteristiche della parabola sono: ( b a ; 4a ) L asse, come già detto la retta passante per il vertice; x = b a Il fuoco (F), un punto fisso; ( b a ; 4a ) La direttrice, una retta perpendicolare all asse; y = + 4a Ed il vertice (V). Si noti che per nessun motivo la parabola può intersecare la direttrice: dunque la concavità è sempre volta nella direzione opposta a quella. Si noti anche che V ed F hanno sempre una coordinata uguale, poiché si trovano sullo stesso asse. Valida quando l asse della parabola è parallelo ad y. Il caso dell asse parallelo ad x sarà trattato in seguito.

3 Fatta eccezione per il coefficiente a, che è necessario affinché la parabola sia tale, gli altri possono essere uguali a 0. Ottenendo con b = 0, una parabola con asse coincidente a quello delle y; con c = 0, una parabola passante per l origine; con b e c = 0, una parabola con vertice nell origine. Trovare l intersezione con gli assi È possibile trovare i punti in cui la parabola interseca gli assi coordinati semplicemente risolvendo un sistema formato da uno di essi e dall equazione della parabola. Per trovare l intersezione con l asse y (la cui equazione è x=0) si userà il sistema: y = ax + bx + c x = 0 e Data l equazione y = x x + 4 la intersechiamo con l asse y. y = x x + 4 Metto a sistema l equazione x = 0 data e quella dell asse y. y = Con il metodo della x = 0 sostituzione assegno alle x della prima equazione il valore 0 e svolgo i calcoli. y = 4 Ottengo le coordinate del x = 0 punto di intersezione. A(0; 4) 4 Disegno il grafico. Per trovare l intersezione con l asse x (equazione: y=0) si segue un processo analogo ottenendo però un equazione di secondo grado e due soluzioni differenti, corrispondenti alle coordinate dell ascissa d altrettanti punti. y = ax + bx + c y = 0 ax + bx + c = 0 y = 0

4 e Data l equazione y = x x 4 la intersechiamo con l asse x. y = x x 4 Metto a sistema l equazione y = 0 data e quella dell asse x. x x 4 = 0 Applico il metodo di y = 0 sostituzione ed ottengo un equazione di secondo grado. x ; = ± 4 ( 4) Applico la formula di risoluzione dell equazione 4 x = ± 4 = 9,4 5 Risolvo l equazione ed ottengo =,5 = due coordinate di x per due x = ± 4 =,4 85 differenti punti. = 0,85 = A ( 5 00 ; 0) B ( ; 0) (I risultati sono approssimati) 5 Disegno il grafico. Trovare l intersezione con una retta Sul piano cartesiano una retta ed una parabola possono:

5 Essere secanti, se si intersecano in due punti (r ); Non intersecarsi, se non ci sono punti di intersezione, ed in tal caso la retta si dice esterna alla parabola (r ); Essere tangenti, se la retta tocca la parabola in un solo punto (r 4). Intersecarsi in un solo punto, se la retta è parallela all asse della parabola (r ). In analisi matematica è possibile trovare le intersezioni (sempre che esistano!) mettendo a sistema l equazione della retta e quella della parabola, ed ottenendo come risultato le ascisse dei punti di intersezione. Quindi con una sostituzione è possibile trovare anche le ordinate. y = ax + bx + c y = mx + q Si noti che mx + q = ax + bx + c y = y ax + (b m)x + c q = 0 y = y Δ > 0 retta secante, due soluzioni dell equazione. Δ < 0 retta esterna, nessuna soluzione dell equazione. Δ = 0 retta tangente, una sola soluzione dell equazione. e Data l equazione y = x x 8 la intersechiamo con la retta y = x 6. y = x x 8 y = x 6 x 6 = x x 8 y = y Si ottiene: x x = 0 Metto a sistema l equazione della parabola e quella della retta. Con il metodo del confronto si ottiene un equazione di secondo grado. 4

6 x x = 0 Eseguo i calcoli 4 x ; = ± 4 ( ) Risolvo l equazione 5 x ; = ± 9 Ottengo le coordinate sull ascissa. 6 x = x = x = y = 6 x = y = 6 x = y = 8 x = y = 5 Con il metodo di sostituzione ricavo le coordinate dell ordinata per entrambi i punti. A(; 8) B( ; 5) 7 Disegno il grafico. La tangenza Caso particolare è quello della retta tangente. Prendendo come riferimento un punto P dalla sua posizione si può stabilire il numero delle rette tangenti passanti per esso: se P è sulla parabola la retta tangente sarà una, se esterno due, se interno nessuna. Per calcolare l equazione di una retta tangente si procede in questo modo: Si scrive l equazione del fascio di rette passanti per P(x 0; y 0). y y 0 = m(x x 0 ) Si mette a sistema questa equazione con quella della parabola. y y 0 = m(x x 0 ) y = ax + bx + c Per sostituzione si ottiene un equazione detta risolvente, su questa si pone la condizione di tangenza (Δ = 0), si ottiene una nuova equazione in m. Si risolve l equazione e si immettono nel fascio gli eventuali valori di m trovati (se la retta è una, i due valori coincidono), e si ottiene così l equazione della retta tangente. e Determinare le equazioni delle eventuali rette passanti per P(; -5) e tangenti alla parabola di equazione y = x 5

7 y ( 5) = m(x ) y = x y + 5 = mx m y = x y = mx m 5 y = x Metto a sistema il fascio di rette passanti per P con la parabola. Svolgo i calcoli nel fascio. Imposto il sistema per la sostituzione. 4 mx m 5 = x Ottengo l equazione risolvente tramite sostituzione. 5 x mx + m + = 0 Porto al secondo membro gli altri termini. 6 Δ = b 4ac = ( m) 4 (m + ) Calcolo il Δ 7 m 4m = 0 Impongo la condizione di tangenza (Δ=0), ed ottengo un equazione in m. 8 m = m = 6 Risolvendola ottengo due radici di m. 9 m = y + 5 = (x ) m = y = x ) m = 6 y + 5 = 6(x ) m = 6 y = 6x ) Immetto i due valori nel sistema per trovare le equazioni delle tangenti. e Determinare le equazioni delle eventuali rette passanti per P(-; 0) e tangenti alla parabola di equazione y = x + x + 4 y 0 = m(x [ ]) y = x + x + 4 y = mx + m y = x + x + 4 Metto a sistema il fascio di rette passanti per P con la parabola. Svolgo i calcoli nel fascio. Il sistema è pronto per la sostituzione. mx + m = x + x + 4 Porto tutto al secondo membro. x + x + 4 mx m = 0 4 x + x( m) + 4 m = 0 Raccolgo la x, così da ottenere il coefficiente b, nell equazione in x. 6

8 5 Δ = ( m) 4()(4 m) Calcolo il Δ, così da ottenere un equazione in m m 4m 6 + 8m = 0 m + 4m = 0 Svolgo i calcoli nell equazione ottenuta, e pongo la condizione di tangenza Δ= ± m ; = = m = = 6 m = 4 = m = y = (x + ) m = y = x + 4) 4 ± 64 m = 6 y = 6(x + ) m = 6 y = 6x ) = 4 ± 8 Risolvo l equazione (è utilizzata qui la formula di risoluzione estesa). Ottengo due valori di m. Immetto i valori di m trovati nel sistema, e ottengo le equazioni delle due rette tangenti. Trovare i punti di tangenza e Determina l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x + 6x 4 e passante per il suo punto P(; 8). Calcola poi i punti di tangenza. y 8 = m(x ) y = x + 6x 4 y = mx m + 8 y = x + 6x 4 Metto a sistema il fascio di rette passanti per P con la parabola. Imposto il sistema per la sostituzione. mx m x 6x + 4 = 0 Risolvo il sistema con sostituzione. 4 x + mx 6x m + = 0 Svolgo i calcoli ed ordino l equazione risolvente. 5 x + x(m 6) m + = 0 Raccolgo la x. 6 Δ = (m 6) 4 ( m + ) Calcolo il Δ ed ottengo l equazione in m. 7 m + 56 m + 6m 56 = 0 Impongo Δ = 0. 8 m 6m = 0 Svolgo i calcoli e ottengo l equazione in m. 9 m ; = 8 ± 64 = 8 ± 8 m = = 6 m = 8 8 = 0 Risolvo l equazione. 7

9 0 m = 6 y = 6(x ) + 8 m = 6 y = 6x 4 m = 0 y = 0(x ) + 8 m = 0 y = 8 y = x + 6x 4 y = 6x 4 y = x + 6x 4 y = 8 Immetto i valori di m nel fascio e determino le equazioni delle rette tangenti. Metto a sistema le equazioni delle rette trovate, con l equazione della parabola. x + 6x 6x = 0 x + 6x 4 8 = 0 x = 0 x = 0 x + 6x = 0 Risolvo i sistemi con il metodo della sostituzione, ottengo due equazioni risolventi in x. Risolvo le equazioni ed ottengo i valori di x. 4 6 ± 56 4 ( ) ( ) x ; = = 4 6 ± = = = 4 x = 0 y = = 4 x = 4 y = 8 Ottenuta x trovo anche y. I punti di tangenza sono A(0; 4) e B(4; 8). Asse parallelo all asse x Fino ad ora è stato trattato solamente il caso dell asse parallelo all asse y, tuttavia la parabola può presentarsi anche con asse parallelo ad x, ed in tal caso presenta differenti formule per calcolare le sue caratteristiche, che sono in realtà le stesse invertite. x = ay + by + c Direttrice: y = + 4a Asse: y = b a Vertice (V) ( 4a ; b a ) Fuoco (F) ( 4a ; b a ) Determinare l equazione di una parabola Nel caso in cui non si conosca l equazione di una parabola, e quindi in cui siano ignoti i coefficienti a, b e c; è possibile determinarli tramite un sistema a tre incognite, purché siano presenti tre informazioni sulla parabola, dette condizioni. Di seguito si analizzeranno i diversi casi ed il modo per ognuno, di ricavare l equazione. Poiché ritenuto più semplice da comprendere, si procederà per esempi. Si tenga presente che, rispettando i principi di equivalenza delle equazioni, è possibile risolvere i sistemi in diversi modi. 8

10 Tre punti noti, non allineati. È necessario sapere se l asse è parallelo all asse x o y. e Dati A(0; 0) B(; ) C(; 0) con asse parallelo ad y. 0 = a 0 + b 0 + c = a + b + c 0 = a + b + c c = 0 a + b = 9a + b = 0 Partendo dall equazione generica y = ax + bx + c sostituisco y ed x con le coordinate di ogni punto P(x; y). Determinato c, per sostituzione proseguo i calcoli. a = b Sfruttando il primo principio di equivalenza, determino a. 4 c = 0 Per sostituzione proseguo i calcoli. a = b (L obbiettivo è lasciare una sola 9 ( b) + b = b + b = 0 9b + b = 8 6b = b = 6 6 b = incognita in ogni equazione) Svolgo l equazione per trovare b. 6 c = 0 b = a = Per sostituzione trovo a. 7 a = b = c = 0 y = x + x Ottenuti i tre coefficienti scrivo l equazione. e Dati A(; ) B(; -) C(0; ) con asse parallelo ad x. = a + b + c = a ( ) + b ( ) + c 0 = a + b + c = a + b + c = a b + c 0 = 4a + b + c a b = c = a b + a b 4 0 = b 0 = b b = 5 Partendo dall equazione generica x = ay + by + c sostituisco y ed x con le coordinate di ogni punto P(x; y). Svolgo i calcoli. Determino c, e con sostituzione lo uso nella seconda equazione per determinare b. Svolgo i calcoli e determino b = -5. 9

11 5 = a 5 + c Per sostituzione elimino b dalle altre = a c equazioni. 0 = 4a 0 + c b = a = c Determino c. 7 7 a = c 0 = 4a a 8 = a = a a = 9 a = b = 5 = c x = y 5y + 6 a = b = 5 6 = c Per sostituzione elimino c. Determino a =. Determino c. E scrivo l equazione della parabola. Vertice e Fuoco noti. L asse parallelo è opposto alle coordinate coincidenti. e Dati V(; -) F(; 5 4 ) V(; ) F(; 5 4 ) b a = 4a = 4a = 5 4 4a = = 4a = 4a 4 4a = 5 4 4a = 5a = a a = 5 b = ( ) b = 4 b = 4 6 a = a = b = 4 b = 4 = 4a 6 + 4c = 4 a = b = 4 0 = 4c L asse è parallelo all asse y, poiché il vertice ed il fuoco sono disposti sulla stessa x. Scriviamo le equazioni di cui siamo a conoscenza, ovvero quelle per trovare le coordinate di V ed F. Determino Δ. Per sostituzione di Δ, determino a. Per sostituzione di a, determino b. Per sostituzione di a e di b, determino c. 7 0 = 4 c 4 4 a = b = 4 c = 5 c = 5 y = x + 4x 5 Determinate le incognite, scrivo l equazione. 0

12 Vertice e direttrice noti. L asse parallelo è perpendicolare alla direttrice. e Dati V(6; ) direttrice: x = 5 4 Direttrice: x = 5 4 b a = 4a = 6 + 4a = 5 4 4a = 6 = 4a = 4a 4 = 4a 4a = + 4a = 5a a = 5 a = a = b = 4 ( ) b = 4 6 = 4a 6 + 4c = 4 c = 7 a = x = y + 4y + b = 4 c = = 4a 4c = 4 6 4a = 4 c = La direttrice interseca x, dunque è parallelo all asse y. L asse dell equazione, perpendicolare a d, è quindi parallelo ad x. L equazione generica di riferimento è quindi: x = ay + by + c Scriviamo le equazioni note. Determino il Δ. Per sostituzione determino a. Per sostituzione determino b. Per sostituzione determino c. Determinate le incognite, scrivo l equazione della parabola. Nota la tangente e due punti. e Dati A(; 0) B(; -) tangente: y = x + 5 y = x + 5 y = ax + bx + c ax + x(b + ) + c 5 = 0 Metto a sistema l equazione della tangente con quella (generica) della parabola. Ottengo la risolvente con il metodo di sostituzione. Δ = (b + ) 4a(c 5) = 0 Vi impongo la condizione di tangenza. 0 = 4a + b + c = a + b + c (b ) 4a(c + 5) = 0 Imposto il sistema a tre icognite.

13 4 5 c = 4a b c = 4a b 0 = a + b 4a b + c = 4a ( a + ) b = a + c = a b = a + c = a b = a ( a + + ) 4a(a 5) = 0 Trovo i valori di b e di c in funzione di a. Sostituisco i valori trovati a quelli nella terza condizione. 6 ( a + ) 8a + 8a = 0 9a 8a + 9 8a + 8a = 0 a + 0a + 9 = 0 Esco dal sistema e svolgo i calcoli sull equazione in a. 7 a ; = 0 ± 00 6 a = = a = 8 = 9 = 0 ± 8 Trovo le radici dell equazione, ovvero i valori di a. 8 c = a b = a + a = c = 4 b = 4 a = Risolvo il sistema con il primo valore di a e trovo la prima parabola. Parabola : y = x + 4x 4 9 c = a b = a + a = 9 c = 0 b = 8 a = 9 Risolvo il sistema con il secondo valore di a e trovo la seconda parabola. Parabola : y = 9x + 8x 0 Realizzato il /05/04 da Paolo Franchi, BC (A.S. 0/04) Rivisto il 06/09/5 per Sapere Aude! AMDG