Intersezione tra retta e parabola e tangenti

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1 L equazione di una parabola è in generale: y = ax 2 + bx +c mentre quella di una retta y = mx + q Per trovare i punti di intersezione tra una retta e una parabola si parte dalla considerazione che i punti di intersezione sono contemporaneamente punti della retta e della parabola (nella figura i punti di intersezione sono indicati con A e B; il problema si risolve scrivendo il sistema tra la parabola e la retta: { le soluzioni di questo sistema, se esistono, saranno le coordinate dei due punti di intersezione A e B. Risolviamolo col metodo del confronto, si ottiene Pagina 1

2 Questa è un equazione di II grado le cui soluzioni x 1 ed x 2 sono le ascisse dei due punti di intersezione tra la parabola e la retta Poiché in un equazione di II grado deve esserci un solo termine contenente la x, raccogliamo la x a fattore comune. In questa equazione il termine noto è formato da c q che, per identificarlo meglio, possiamo scrivere tra parentesi, (c q), quindi e, infine, risolviamo l equazione, applicando la formula risolutiva delle equazioni di II grado nella nostra equazione b = (b m) e c = (c q), di conseguenza Poiché nel nostro caso le soluzioni dell equazione sono le ascisse x A e x B dei due punti di intersezione A e B è meglio scrivere In questa equazione il discriminante b 2 4ac è dato da b m) 2 4a(c q); ricordiamo nuovamente che: 1. Le soluzioni x A ed x B, dell equazione di II grado che abbiamo risolto, sono le ascisse dei due punti di intersezione tra la parabola e la retta. 2. le soluzioni x A ed x B dipendono in modo fondamentale dal valore del discriminante b 2-4ac, infatti a. se b 2-4ac > 0, le soluzioni x A ed x B sono numeri reali diversi fra loro; b. se b 2-4ac = 0, le soluzioni x A ed x B sono numeri reali uguali fra loro; Pagina 2

3 c. se b 2-4ac < 0, l equazione non ha soluzioni reali. Cerchiamo di capire che significato ha ciascuna di queste situazioni nel nostro caso, cioè per l equazione di II grado che permette di ricavare, se esistono, le ascisse dei punti di intersezione tra la retta e la parabola 1. se b 2-4ac > 0, le soluzioni x A ed x B sono numeri reali diversi fra loro, questo significa che tra retta e parabola esistono due punti di intersezione separati; Pagina 3

4 2. se b 2-4ac < 0, l equazione non ha soluzioni reali; questo significa che tra retta e parabola non esistono punti di intersezione (la retta è esterna alla parabola) Pagina 4

5 3. se b 2-4ac = 0, le soluzioni x A ed x B sono numeri reali uguali fra loro; questo significa che tra retta e parabola esiste un unico punto di intersezione considerato doppio che prende il nome di punto di tangenza tra retta e parabola; in questo caso si dice che la retta è tangente alla parabola. RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA Il punto A = B è il PUNTO DI TANGENZA della retta con la parabola Pagina 5

6 Se il discriminante dell equazione di II grado che si ottiene risolvendo il sistema tra una retta e una parabola è zero, il trinomio al primo membro dell equazione è il quadrato di un binomio; la retta sarà tangente alla parabola. viene chiamata condizione di tangenza. L ascissa del punto di tangenza è data da: Per calcolare il valore della y si possono usare, indifferentemente, sia l equazione della retta sia quella della parabola; la più semplice da usare è quella della retta, con la sostituzione Quindi Pagina 6

7 Esercizio1 Determinare i punti di intersezione tra la retta di equazione y = 2x e la parabola di equazione y = x 2 + 3x 12. Prima di risolvere l esercizio riporta in un sistema di assi cartesiani la retta e la parabola. Svolgimento: Mettiamo a sistema l equazione della retta e quella della parabola { e Dall equazione della retta ricaviamo e riepilogando, le coordinate dei due punti di intersezione sono: A( 4; 8) B(3; 6) Controlla la figura che segue Pagina 7

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9 Esercizio2 Determinare i punti di intersezione tra la retta di equazione y = x 5 e la parabola di equazione y = x 2-3x 1. Prima di risolvere l esercizio riporta in un sistema di assi cartesiani la retta e la parabola. Svolgimento: Mettiamo a sistema l equazione della retta e quella della parabola { (il trinomio al primo membro è un quadrato di un binomio!!) In questa equazione questo significa che tra la retta e la parabola c è un solo punto di intersezione quindi, la retta è tangente alla parabola nell unico punto di intersezione la cui ascissa è data da Dall equazione della retta ricaviamo riepilogando, le coordinate del punto di intersezione (punto di tangenza) sono: A(2; 3) Controlla la figura che segue Pagina 9

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