Equazioni Polinomiali II Parabola

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1 Equazioni Polinomiali II Parabola - 0

2 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente: ax 2 + bx + c = 0 Essa è pertanto contraddistinta dalla presenza di tre parametri, il cui significato verrà analizzato, così come verranno analizzati i loro effetti sul grafico. Soluzioni della Polinomiale II (gli zeri della funzione) Secondo il teorema fondamentale dell algebra dei polinomi, la polinomiale II possiede due soluzioni complesse, il che si traduce in zero, una, o due possibili soluzioni reali. L interpretazione grafica aiuta a capire questo aspetto, nota la caratteristica forma della parabola e noto che per soluzioni di una funzione si intendono le intersezioni con l asse delle ascisse, i punti cioè in cui l ordinata vale zero, gli zeri della funzione appunto. È facile capire dal grafico che le intersezioni tra asse x e parabola possono: non esistere può essere unica nel caso in cui il vertice poggia sulle ascisse possono essere due nel caso che le braccia della parabola attraversano l asse orizzontale x. x x x Nessuna soluzione Una soluzione Due soluzioni Tecniche risolutive per il polinomio di secondo grado La soluzione del polinomio II appare meno evidente della risoluzione del polinomio I, in quanto, diversamente da quest ultimo, non risulta essere così intuitivo isolare l incognita. Esistono quindi alcune tecniche per la sua risoluzione, alcune hanno il vantaggio di essere praticamente immediate ma sono efficaci solo per una determinata categoria di polinomi II, altre hanno il vantaggio di essere universalmente valide e sono in grado di risolvere ogni polinomio II, a scapito però di qualche passaggio di calcolo. Considerando il polinomio II ax 2 + bx + c, il termine a non può essere uguale a zero, altrimenti il polinomio si ridurrebbe al polinomio I. I termini b e c però possono anche essere nulli, in tal caso, la soluzione del polinomio II risulta essere semplice e di facile interpretazione. - 1

3 CASOA: Risoluzione del Polinomio II con b = c = 0 Quando b = c = 0, il Polinomio II diventa: ax 2 = 0 In questo caso è evidente che per soddisfare l equazione deve essere x = 0 CASO B: Risoluzione del Polinomio II con b = 0 Quando b = 0, il Polinomio II diventa: ax 2 + c = 0 In questo caso, per risolvere l equazione occorre portare a sinistra dell uguale il termine noto (c) ax 2 = c Si divide poi per a x 2 = c a e si possono già fare le prime considerazioni circa l esistenza o meno di soluzioni reali, infatti, siccome il quadrato di x può solo generare un numero positivo, l esistenza di soluzioni è vincolata dai segni di a e di c. Più specificatamente, a e c devono avere segni opposti. Se a e c hanno effettivamente segni diversi, possiamo applicare la radice e trovare i due valori dell incognita x 1,2 = c a Da notare l esistenza del segno positivo e negativo per il segno di radice, a sottolineare l esistenza dei due possibili valori. Globalmente, le soluzioni sono: S = { c a, + c a, } CASO C: Risoluzione del Polinomio II con c = 0 Quando c = 0, il Polinomio II diventa: ax 2 + bx = 0 In questo caso, per risolvere l equazione occorre mettere in evidenza la x, dopo questo passaggio l equazione diventa x (ax + b) = 0 Il polinomio si è pertanto fattorizzato, il primo fattore è dato dal termine x, il secondo fattore è (ax + b). Siccome l equazione è uguale a zero, per soddisfarla basta che uno dei due fattori sia nullo. La prima soluzione è dunque evidentemente x 1 = 0 La seconda soluzione si ricava calcolando ax + b = 0, dunque: globalmente, le soluzioni sono: x 2 = b a S = {0, b a } - 2

4 Risoluzione del Polinomio II con il riconoscimento del quadrato di un binomio In alcuni casi, ci si può imbattere in trinomi particolari che sono lo sviluppo di un prodotto notevole, per risolverli basta fattorizzare il trinomio. Esempio: x 2 + 6x + 9 = 0 può essere visto come x 2 + 6x + 9 x 2 + 6x per scoprire che si tratta di un prodotto notevole del tipo A 2 + 2AB + C 2 basta prendere le basi dei termini elevati al quadrato (che nell esempio sono la x e il 3) e verificare che il loro doppio prodotto (2 x 3) sia l altro termine del trinomio dato (6x). 2 x 3 6x dunque x 2 + 6x + 9 x x e che quindi si tratta di prodotto notevole, dunque x 2 + 6x + 9 (x + 3) 2 e per finire, siccome il polinomio è uguagliato a zero, (x + 3) 2 = 0 le soluzioni sono S = { 3} Risoluzione del Polinomio II con la tecnica della fattorizzazione del Trinomio Tipico Caso in cui a = 1 P(x) TrT = x 2 + bx + c P(x) TrT è trinomio tipico se esistono due numeri (x a, x b Z) il cui prodotto sia uguale al termine c e la cui somma sia uguale al termine b { x a x b = c x a + x b = b Trovati i due numeri, si può esprimere il trinomio tipico fattorizzato x 2 + bx + c = (x + x a )(x + x b ) In modo equivalente, l equazione polinomiale II del trinomio tipico si esprime nella forma x 2 + bx + c = 0 (x + x a )(x + x b ) = 0 Dunque le soluzioni sono S = { x a, x b } Esempio, dato il polinomio x 2 + 2x 15 per trovare i due numeri il cui prodotto vale 15 e la cui somma 2, si trovano le coppie di sottomultipli di 15 e si guarda quale coppia, sommata dà = ( 15) 1 = ( 5) 3 = 5 ( 3) = 15 ( 1) l unica coppia la cui somma vale 2 è 2 = 5 ( 3) dunque il trinomio si fattorizza con il prodotto di due binomi x 2 + 2x 15 = (x + 5)(x 3) e l equazione equivalente x 2 + 2x 15 = 0 (x + 5)(x 3) = 0 Per cui, le soluzioni: S = { 5, 3} - 3

5 Caso in cui a 1 P(x) TrT = ax 2 + bx + c In quest altro caso, il prodotto dei due numeri x a e x b deve essere uguale al prodotto tra a e c { x a x b = ac x a + x b = b al posto del termine bx, si può scrivere x a x + x b x P(x) TrT = ax 2 + x a x + x b x + c Si mettono in evidenza i fattori comuni tra il primo ed il terzo termine e i fattori comuni tra il secondo e il quarto. Si mette poi in evidenza il binomio comune per ottenere il trinomio fattorizzato in due binomi. Esempio, si fattorizzi il polinomio 3x 2 2x 8 e se ne trovino gi zeri Si trovano innanzitutto i possibili doppi fattori di ac ( 8) 3 = 24 = = ( 24) 1 = ( 12) 2 = ( 8) 3 = ( 4) 6 = = 24 ( 1) = 12 ( 2) = 8 ( 3) = 4 ( 6) E si scelgono quei fattori la cui somma sia anche b. Il polinomio può essere espresso nel modo seguente: 3x 2 2x 8 = 3x 2 4x + 6x 8 tra il primo ed il terzo termine si mette in evidenza 3x, e tra il secondo ed il quarto termine si mette in evidenza 4 3x 2 2x 8 = 3x 2 4x + 6x 8 = 3x(x + 2) 4(x + 2) si può mettere in evidenza (x + 2) 3x 2 2x 8 = 3x 2 4x + 6x 8 = 3x(x + 2) 4(x + 2) = (x + 2)(3x 4) è il polinomio è fattorizzato. Per trovarne gli zeri occorre uguagliarlo a zero: 3x 2 2x 8 = 0 (x + 2)(3x 4) = 0 Pertanto le soluzioni sono: S = { 2, 4 3 } Ricavo della Formula di Vieta Per ricavare la formula di Vieta si sfrutta la proprietà del quadrato del binomio. ax 2 + bx + x = 0 (4a) 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 +(b 2 b 2 ) (x) x b + b 2 b 2 + 4ac = 0 A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2 (x + b) 2 b 2 + 4ac = 0 (x + b) 2 = b 2 4ac!Un termine elevato al proprio quadrato non può essere negativo! = b 2 4ac x + b = b 2 4ac x = b 2 4ac b x = b2 4ac b Si osservi che la soluzione di una radice offre due soluzioni, una positiva e una negativa x 1,2 = b ± b2 4ac - 4

6 Si Giunge quindi alla formula di Vieta: = b 2 4ac x 1,2 = b ± Schema riassuntivo per la risoluzione delle Equazioni Polinomiali II ax 2 + bx + c = 0 b = c = 0 ax 2 = 0 x = 0 S = {0} b = 0 ax 2 + c = 0 x 2 = c a sgn(a) = sgn(c) S = { } sgn(a) sgn(c) S = { c a } c = 0 ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 S = {0, b a } Δ < 0 S = { } ax 2 + bx + c = 0 Δ = b 2 4ac Δ = 0 S = { b } b ± Δ > 0 S = { } - 5

7 La Parabola Una parabola viene rappresentata attraverso la funzione polinomiale di secondo grado P(x) = ax 2 + bx + c Parabola passante per tre punti Se per definire una retta sono necessari e sufficienti due punti non sovrapposti, per definire una parabola sono necessari tre punti distinti e non allineati, come si può evincere dalla presenza di tre parametri (a, b, c ). Esempio, trovare la parabola passante per i punti A = ( 6, 4), B = ( 2, 6) e C = (+4, +6). Si scrive un equazione polinomiale II per ognuno dei tre punti l equazione della parabola è a ( x ) 2 + b ( x ) + c = y che genera la matrice A = ( 6, 4): a ( 6) 2 + b ( 6) + c = B = ( 2, 6): C = (+4, +6): { a ( 2) 2 + b ( 2) + c = 6 a (+4) 2 + b (+4) + c = +6 M = Che può essere risolta utilizzando il metodo di Cramer e la tecnica di Sarrus M a = = M b = = M c = = M D = = i valori dei parametri a, b e c sono dunque = ( 4)( 2)(1) + ( 6)(1)(6) + (1)( 6)(4) + (6)( 2)(1) (4)(1)( 4) (1)( 6)( 6) = = = 60 = (36)( 6)(1) + ( 4)(1)(16) + (1)(4)(6) + (16)( 6)(1) (6)(1)(36) (1)(4)( 4) = = = 360 = (36)( 2)(6) + ( 6)( 6)(16) + ( 4)(4)(4) + (16)( 2)( 4) (4)( 6)(36) (6)(4)( 6) = = = 960 = (36)( 2)(1) + ( 6)(1)(16) + (1)(4)(4) + (16)( 2)(1) (4)(1)(36) (1)(4)( 6) = = = 240 a = M a M D = = 1 4 b = M b M D = = 3 2 c = M c M D = = 4 e l equazione della parabola passante per A, B e C y = 1 4 x x 4-6

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9 I Coefficienti della Parabola Il coefficiente a Il coefficiente a controlla la convessità della parabola: a > 0 : concavità verso l'alto, vertice in basso ; a < 0 : concavità verso il basso, vertice in alto ; a = 0 : nessuna concavità: la parabola degenera in una retta. a = 1 a = -1 a = 10 a = 1/10 Il coefficiente b Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse della parabola, in particolare, la retta tangente alla parabola nel punto di incontro con l asse delle ordinate, ha pendenza pari a b. Questo significa che se b vale zero, l asse della parabola coincide con l asse delle ordinate. Mentre la derivata prima, potrà essere facilmente individuata in quanto il suo punto di incontro con l'asse delle ascisse sarà pari all'ascissa del vertice (-b/(2 a)), mentre l'incontro con l'asse delle ordinate sarà pari al valore di b. La retta tangente alla parabola y = x 2 3x 4 nel punto x = 0, ha equazione y = 3x 4. L intersezione della derivata prima alla parabola (y = 2x 3) con l asse delle ordinate, vale -3, ha lo stesso valore di b. Le parabole y = x 2 + bx 4, variando b da -5 a + 5, hanno i vertici che giacciono lungo la curva della parabola x

10 f(x)=x^2-3x-4 y=-3x-4 f(x)=2x-3 f(x)=x^2-5x-4 f(x)=x^2-4x-4 f(x)=x^2-3x-4 f(x)=x^2-2x-4 f(x)=x^2-x-4 f(x)=x^2-4 f(x)=x^2+x-4 f(x)=x^2+2x-4 f(x)=x^2+3x-4 f(x)=x^2+4x-4 f(x)=x^2+5x-4 f(x)=-x^2-4 Il coefficiente c Il coefficiente c determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate. Se il termine c non è presente, il braccio della parabola passerà per l'origine degli assi. f(x)=-(1/2)*x^2+3x+5 f(x)=-(1/2)*x^2+3x Intersezioni con gli assi Intersezione con l asse delle ascisse La Parabola, essendo la rappresentazione di un polinomio di grado 2, interseca l asse x nei punti x 1 = b b2 4ac x 2 = b + b2 4ac A seconda del segno del termine sotto radice: b 2 4ac, detto discriminante e indicato con la lettera greca Δ, si possono avere o non avere intersezioni con l asse delle x: < 0: nessuna intersezione = b 2 4ac { = 0: il vertice poggia sul vertice delle ascisse > 0: la parabola taglia le ascisse in due punti distinti - 9

11 Δ < 0 Δ = 0 Δ > 0 f(x)=(1/3)*x^2+3x+8 f(x)=(3/8)*x^2+3x+6 f(x)=(1/4)*x^2+3x-7 Intersezione asse y La Parabola interseca l asse delle ordinate nel punto yo = c. Il vertice della Parabola Il vertice ha le seguenti coordinate: V = ( b ; 4a ) Ricavo delle coordinate del vertice della parabola Si può partire dalle due intersezione tra la parabola e l asse delle ascisse: x 1 = b x 2 = b + Essendo la Parabola simmetrica rispetto al suo Asse, l ascissa del Vertice sarà data dal Punto Medio tra le due intersezioni: x v = 1 2 (x 1 + x 2 ) x v = b x v = 1 2 ( b + b + ) Per trovare l ordinata del Vertice, basta inserire x v nell equazione della Parabola: y v = a x v + b x v + c y v = a ( b ) 2 + b ( b ) + c y v = a b2 b2 4a2 + c y v = b2 4a 2b2 4a + 4ac 4a y v = b2 2b 2 + 4ac 4a y v = b2 + 4ac 4a b 2 + 4ac = (b 2 4ac) = y v = 4a - 10