MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO

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1 MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO

2 Equazioni fratte, di secondo grado o superiore Le equazioni di secondo grado Un equazione è di secondo grado se si può scrivere nella forma: ax + bx + c = 0, con a 0. Le lettere a, b, c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell equazione; c è anche detto termine noto. Tipi di equazioni Completa Un equazione è detta completa se ha a 0, b 0, c 0. Incompleta Prende nome di incompleta se anche un solo coefficiente è 0. In particolare assume vari nomi in base ai casi: Coefficienti Forma normale Nome Esempio b 0, c = 0 ax + b 0 Equazione spuria x 0 b = 0, c 0 ax + c = 0 Equazione pura x + = 0 b = 0, c = 0 ax = 0 Equazione monomia x = 0 Definizione di Soluzione Una soluzione (o radice) dell equazione è un valore che, sostituito all incognita rende vera l uguaglianza fra i due membri. Formula risolutiva In un equazione completa la formula risolutiva, ovvero applicando la quale si ottiene la soluzione è x 1 ; = b ± b ac a e Data l equazione x x = 0 applichiamo la formula: 1 x x = 0 L equazione come data, di secondo grado e completa. ± ( ) Applichiamo la formula di risoluzione. 3 ± 3 ( ) Eseguiamo i calcoli. ± 100 ± 10 Ottenuto il discriminante, ovvero il contenuto della radice quadrata, riduciamo anche esso. Svolgiamo i calcoli residui ed otteniamo la radice 1

3 x 1 = 1 = ; x = = 1 dell equazione prima per +10 e quindi per -10. Otteniamo le radici: e 1. Il discriminante L espressione che nella formula risolutiva è sotto radice è detta discriminante ed è indicato con la lettera greca Δ (delta): Δ = b ac È comodo risolvere il discriminante prima del resto dell equazione, dal suo risultato è infatti possibile comprendere se l equazione ha due, una o nessuna soluzione reale: Con Δ > 0 l equazione ha due soluzioni reali e distinte. Con Δ = 0 l equazione ha due soluzioni reali coincidenti. Con Δ < 0 l equazione non ha soluzioni reali, dunque si dice impossibile in. La formula ridotta Se in un equazione ax + bx + c = 0 il coefficiente b è un numero pari, è utile applicare una formula, detta ridotta, che ricaviamo dividendo per il Δ, che prenderà quindi nome di delta quarti, e per il numeratore ed il denominatore. Otteniamo dunque: b ± ( b ) ac x 1 ; = a e Data l equazione x x = 0 applichiamo la formula ridotta: 1 x x = 0 L equazione come data, di secondo grado e completa. Ha b pari, possiamo dunque applicare la formula ridotta. Applichiamo la formula di ( ) risoluzione ridotta. 3 x 1 = = ; 3 ± 9 ( 1) 3 ± 3 ± x = = 1 Eseguiamo i calcoli. Ottenuto il discriminante Δ/, ovvero il contenuto della radice quadrata, riduciamo anche esso. Svolgiamo i calcoli residui ed otteniamo la radice dell equazione prima per 3+ e quindi per 3-. Otteniamo le radici: e 1.

4 Risolvere le equazioni incomplete Pura Per risolvere un equazione di secondo grado pura è sufficiente portare al secondo membro il termine noto (cambiando quindi il segno). e x = 0 x = x = Con a e c concordi, l equazione non ha soluzioni reali: nessun numero elevato al quadrato dà come risultato un numero negativo. e x + = 0 x = x = Spurie Nelle equazioni spurie si raccoglie la x, ottenendo come risultato 0 e un equazione pura. e 3x 7 0 x(3x 7) = 0 x 1 = 0 3x 7 = x = 7 3 Monomie Le equazioni monomie hanno due soluzioni reali coincidenti uguali a zero. e x = 0 x 1 = x = 0 Le equazioni fratte Le equazioni fratte sono equazioni che nella forma data presentano al denominatore le incognite. Per risolverle è sufficiente calcolare il minimo comune multiplo fra denominatori, svolgere quindi i conseguenti calcoli al numeratore ed eliminare il denominatore. Fatto ciò si otterrà una normalissima equazione (spesso di secondo grado o superiore). e Data l equazione fratta 1 x 3 = 1+x x risolviamo: 1 1 x 3 = 1 + x x L equazione come data. C.E. x 0 Λ x + Ricaviamo le Condizioni di Esistenza (C.E.) 3 x 3x(x ) x(x ) x(x ) = x + x Calcoliamo l m.c.m. x(x ) L m.c.m. è x(x ) Eliminiamo l m.c.m. dai x 3x x + x denominatori e svolgiamo i primi calcoli. x 0 Otteniamo l equazione ma è necessario riordinare i termini. x + x + = 0 Riordiniamo i termini e invertiamo i segni moltiplicando per ± 3 3 Svolgere l equazione normalmente. 3

5 ± ; x 1 = 10 = ; x = = 1 Ottengo la soluzione delle equazioni. Formulare equazioni dati due numeri Sapendo che le equazioni di secondo grado sono nella forma x sx + p = 0 dove s sta per somma e p sta per prodotto; è possibile ricavare un equazione di secondo grado partendo da due numeri a e b, ottenendo la loro somma (a + b) e il loro prodotto (a * b). e Dati i numeri e -3 ricaviamo un equazione: 1 ; 3 I due numeri che voglio utilizzare. s = + ( 3) = 1 p = ( 3) = Ricaviamo la somma ed il prodotto. 3 x sx + p = 0 x ( 1)x + ( ) = 0 x + x = 0 Poniamo la somma (-1) ed il prodotto (-) ottenuti all interno dell equazione. x + x = 0 Otteniamo dunque l equazione, che ha per soluzione e -3. Equazioni di grado superiore al secondo Esistono formule risolutive per equazioni di terzo e quarto grado, ma per la loro complessità non saranno illustrate. Esistono però metodi più semplici per la risoluzione di alcuni tipi di equazioni di grado superiore al secondo: Scomposizione in fattori In un polinomio P(x) = 0 dove P(x) è un polinomio di grado n, è possibile ottenere una o più soluzioni delle equazioni scomponendo il polinomio in un prodotto di polinomi di grado minore di n e applicando la legge di annullamento del prodotto. e Data l equazione fratta x 3 3x + 0 risolviamo: 1 x 3 3x + 0 L equazione come data. x(x 3x + 1) Raccogliamo la x. 3 x 1 = 0 x 3x + 1 = 0 Per la legge dell annullamento del prodotto otteniamo la prima soluzione. x 1 = 0 x ; 3 = 3 ± 3 1 Risolviamo l equazione di secondo grado. 3 ± 9 x = 3+1 = 1 x 3 = 3 1 = 1 Troviamo le soluzioni. x = 1; x 3 = 1

6 Uso di Ruffini È possibile diminuire di un grado un polinomio che ha uno zero x 1 del polinomio, usando la regola di Ruffini. Indicando con Q(x) il polinomio quoziente, ovvero il polinomio abbassato di un grado con la regola di Ruffini, è possibile scrivere: P(x) = (x x 1 ) Q(x) e Data l equazione di terzo grado x x 3x = 0 risolviamo: 1 x x 3x = 0 L equazione come data. Ricaviamo le possibili radici S = {±1, ± 1, ±, ± 1 3, ± 1, ± 3 } delle equazione: una frazione ± N dove N è un divisore del D termine noto (-), e D è un divisore del coefficiente di x 3 3 P(1) = (1) (1) 3(1) = 1 0 P( 1) = ( 1) ( 1) 3( 1) = 0 P ( 1 3 ) = (1 ) + 11 ( 1 ) 3 ( 1 ) = 0 (). Verifichiamo le soluzioni. 3. x 1 = 1 Una radice dell equazione è ½. Applichiamo Ruffini (x + 1x + ) (x 1 ) = 0 Otteniamo un equazione di secondo grado ed un binomio. x + 1x + = 0 3x + 7x + = 0 Semplifichiamo l equazione di secondo grado. 7 x ; 3 = 7 ± Risolviamo l equazione. Le soluzioni sono: x ; 3 = 7 ± 9 x = 1 3 x 3 =. x ; 3 = 7 ± x = 7+ = = 1 3 x 3 = 7 = 1 = Esercizi Sono proposti di seguito alcuni esercizi sulle nozioni sopra spiegate. Ogni tipo di esercizio è svolto in esempio, per tutti gli altri è presente la soluzione. Realizzato il 13/03/01 da Paolo Franchi, rivisto l 0/09/1 per Sapere Aude! AMDG