I sistemi di equazioni di primo grado
|
|
- Alberto Simone
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 I sistemi di equazioni di primo grado RIPASSIAMO INSIEME SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un sistema di equazioni di primo grado in due (o più) incognite è l insieme di due (o più) equazioni di primo grado che devono essere soddisfatte contemporaneamente. Risolvere un sistema in due (o più) equazioni significa determinare, se esiste, ogni coppia (o terna, ecc.) di numeri che è soluzione di entrambe le equazioni contemporaneamente. Un sistema può essere: determinato, se ammette una sola soluzione; indeterminato, se ammette infinite soluzioni; impossibile, se non ammette soluzioni. Un sistema si dice ridotto in forma normale quando le sue equazioni sono ridotte in forma normale: ax by c a x b y c Anche senza risolvere il sistema, se ne può stabilire il tipo: a b se a b il sistema è determinato a b c se a b c il sistema è indeterminato a b c se a b c il sistema è impossibile SISTEMI EQUIVALENTI Due sistemi si dicono equivalenti se sono costituiti da equazioni che hanno le stesse incognite e che ammettono le stesse soluzioni. SISTEMI FRAZIONARI I sistemi frazionari sono i sistemi nelle cui equazioni almeno una delle incognite compare a denominatore. SISTEMI LETTERALI I sistemi letterali sono i sistemi le cui equazioni contengono, oltre alle incognite, altre lettere dette parametri. OSSERVA COME SI FA Metodi di risoluzione dei sistemi METODI ALGEBRICI RISOLUTIVI Sostituzione Confronto Riduzione Cramer Metodo di sostituzione ❶ Si risolve una delle due equazioni rispetto a una delle incognite e si ricava la sua espressione; ❷ si sostituisce l espressione trovata nell altra equazione; ❸ si risolve la seconda equazione ricavando la seconda incognita; ❹ si sostituisce il valore trovato nell espressione della prima incognita e si calcola il suo valore. 1 Risolvi il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione: x 3y 2 2x 4y 1 risolviamo la prima equazione rispetto a x e ricaviamo la sua espressione x 3y 2 2x 4y 1 90 Poichè il sistema è determinato. sostituiamo l espressione trovata per x nella seconda equazione
2 x 3y 2 2(3y 2) 4y 1 risolviamo la seconda equazione ricavando y x 3y 2 6y 4 4y 1 x 3y 2 10y 5 x 3y 2 y 1 2 sostituiamo nella prima equazione il valore di y e otteniamo il valore di x y 1 2 x x 1 2 y 1 2 la soluzione 1 2 ; 1 2. verifichiamo il risultato sostituendo nel sistema di partenza i valori ottenuti per x e y Entrambe le equazioni sono soddisfatte e pertanto la soluzione 1 2 ; 1 2 è corretta. Metodo del confronto ❶ Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita; ❷ si uguagliano le due espressioni ottenute; ❸ si risolve l equazione ricavando l incognita rimasta; ❹ si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni a scelta. 2 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto del confronto: x 3y 2 2x 4y 1 Poichè il sistema è determinato. ricaviamo x da entrambe le equazioni x 3y 2 x 4y 1 2 uguagliamo le due espressioni di x e abbiniamo l equazione ottenuta a una equazione a scelta (la più semplice) 3y 2 4y 1 2 x 3y 2 risolviamo la prima equazione ricavando y e sostituiamo poi il suo valore nella seconda equazione 6y 4 4y 1 x 3y 2 10y 5 x 3y 2 y 1 2 x y 1 2 x 1 2 la soluzione 1 2 ;
3 Metodo di riduzione ❶ Si moltiplicano le equazioni per un valore opportuno in modo che i coefficienti di una incognita nelle due equazioni siano uguali o opposti; ❷ si addizionano o si sottraggono membro a membro le due equazioni, ottenendo un equazione in una sola incognita; ❸ si risolve tale equazione e si ricava l incognita; ❹ si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni e si ricava l altra incognita. 3 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di riduzione: x 3y 4 2x 3y 2 I coefficienti di y sono opposti: non è necessario effettuare alcuna moltiplicazione. addizioniamo membro a membro le due equazioni x 3y 4 2x 3y 2 3x 0 6 ricaviamo il valore di x x 2 abbiniamo la soluzione trovata a una delle due equazioni iniziali (la più semplice) x 2 x 3y 4 sostituiamo il valore di x nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x 2 3y 2 x 2 y 2 3 la soluzione 2 ; 2 3. verifichiamo il risultato ottenuto Metodo di Cramer Dato il sistema di primo grado in due incognite a b a b ax bx c a x b x c c b c b ❶ si calcolano i determinanti: D ab a b D x cb c b D y x D x D ❷ se D 0, si ricavano le soluzioni: y D y D a c ac a c a c 4 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di Cramer: 2x 3y 6 x 3y calcoliamo i determinanti D D x D y poichè D 0 possiamo ricavare la soluzione x D x 27 3 D 9 y D y 36 4 D 9 la soluzione (3 ; 4).
4 Sistemi frazionari ❶ Si stabiliscono le condizioni di esistenza; ❷ si riduce il sistema in forma normale; ❸ si risolve il sistema con uno dei metodi visti; ❹ si controlla l accettabilità della soluzione. Risolvi i seguenti sistemi frazionari: x 3 2 y 1 5 x y 3 y x C.E.: determiniamo le condizioni di esistenza delle frazioni y 1 y x riduciamo il sistema in forma normale x 3 2(y 1) x y 3(y x) x 2y 1 4x 2y 0 risolviamo con il metodo di riduzione: sottraendo membro a membro le due equazioni, ricaviamo il valore di x x 2y 1 4x 2y 0 3x 0 1 sostituiamo il valore di x nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x 1 3 x 1 3 4x 2y 0 x y 0 y 2 3 Concludiamo: la soluzione 1 3 ; 2 3 è accettabile (perchè sono rispettate le condizioni di esistenza y 1 e y x), dunque il sistema è determinato x 2 y x 4 y scomponiamo i denominatori in fattori x 2 y (4 x) 4 y C.E.: determiniamo le condizioni di esistenza x 2 x 4 y 3 y 0 riduciamo il sistema in forma normale 2(y 3) 3(x 2) 0 2y x 4 2y 6 3x 6 0 2y x 4 risolviamo con il metodo di riduzione: sottraendo membro a membro le due equazioni, ricaviamo il valore di x 2y 3x 12 2y x 4 4x 8 x 2 sostituiamo nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x 2 x 2 x 2 2y 2 4 2y 2 4 y 3 La soluzione è (2 ; 3) e non è accettabile perché tali valori annullano i denominatori della prima equazione. Il sistema è impossibile. 93
5 Sistemi letterali ❶ Si stabiliscono le condizioni di esistenza; ❷ si riduce il sistema in forma normale: ❸ si calcolano i determinanti: ax by c a x b y c a b a b ❹ si discute e si risolve: D 0 sistema D ab a b D x b c bc D y x D x D y D y D c b c b determinato a c ac a c a c D 0 D x D y 0 D x 0 D y 0 sistema indeterminato sistema impossibile Risolvi i seguenti sistemi letterali: 7 2x by 3b x 3by b calcoliamo i determinanti D 2 b b 7b 1 3b 6b D x 3b b b 2 10b 2 b 3b 9b2 D y 2 3b 2b 3b b 1 b discutiamo i determinanti e risolviamo x 10 7 b b D 0: 7b 0, cioè b 0 b y 1 7b 7 D 0: b 0 x 0 x 0 il sistema è indeterminato 0y 0 equazione indeterminata Riepilogando i risultati ottenuti: b 0: si ha la soluzione 1 0 b ; e il sistema è determinato; b 2 94 b 0: il sistema è indeterminato.
6 8 3ax y a (2 a)x (2 a)y 1 calcoliamo i determinanti D 2 a 2 a 3a 1 2 a (2 a)3a 2 a 6a 3a 2 3a 2 5a 2 (3a 2 5a 2) (a 1)(3a 2) D x 1 2 a a 1 1 a(a 2) 1 a 2 2a (a 2 2a 1) (a 1) 2 D y 2 a 1 3a a a(2 a) 3a 2a a 2 3a a 2 a a(a 1) discutiamo i determinanti e risolviamo D 0: (3a 2)(a 1) 0 da cui 3a 2 0 a 1 0, cioè a 2 3 a 1 (a x (3 a 2 1) a 1 2)( a 1) 3 a 2 a(a 1) a y (3a 2)(a 1) 3a 2 D 0: 3a 2 0, cioè a 2 il sistema è impossibile; 3 a 1 0, cioè a 1 il sistema è indeterminato. Riepilogando i risultati ottenuti: a 2 3 a 1: si ha la soluzione a 1 a ; 3a 2 3a 2 e il sistema è determinato; per a 2 : il sistema è impossibile; 3 a 1: il sistema è indeterminato. Sistemi con più di due incognite 9 Risolvi il seguente sistema in più incognite: x y 1 3x y z 8 2y z 1 ricaviamo il valore di x dalla prima equazione e sostituiamo l espressione ottenuta nelle altre due x y 1 3(y 1) y z 8 2y z 1 svolgiamo i calcoli e portiamo la seconda equazione in forma normale 95
7 x y 1 4y z 5 2y z 1 ricaviamo il valore di z dalla terza equazione e sostituiamo l espressione ottenuta nella seconda equazione x y 1 4y (2y 1) 5 z 2y 1 ricaviamo il valore di y x y 1 x y 1 6y 6 y 1 z 2y 1 z 2y 1 sostituiamo il valore di y nelle altre due equazioni e ricaviamo x e z x 1 1 x 2 y 1 y 1 z 2 1 z 1 Concludiamo: il sistema è determinato e ammette come soluzione la terna di numeri: (2 ; 1 ; 1). Sistemi risolubili con artifici 10 Risolvi il seguente sistema: 3 y 2 x t 2t 1 41 u 3 2 4t 1 y 4 x 3 2 se eseguissimo i calcoli determinando il denominatore comune, otterremmo un sistema di quarto grado; eseguiamo perciò un opportuno cambiamento di variabile nel sistema 1 x t e 1 y u determiniamo le condizioni di esistenza C.E.: x 0 y 0 eseguiamo la sostituzione di variabile nel sistema iniziale 18 48t 8t 11 u 3 2 4t ricaviamo il valore di t e sostituiamolo nella seconda equazione per ottenere u 56t 7 u 3 2 4t t 1 8 u 1 t 1 8 u y 2 1 x u 2t y 4 1 x 3 2 u 4t 3 2 risolviamo applicando il metodo di sostituzione: ricaviamo u dalla seconda equazione e sostituiamo la sua espressione nella prima ricordando la sostituzione iniziale, otteniamo le soluzioni del sistema 1 x 1 8 x 8 1 y 1 y 1 la soluzione (8 ; 1).
8 LAVORIAMO INSIEME 1 Risolvi il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione: x y x 1 4 y 5 3 riduci il sistema in forma normale x y 5 risolvi la prima equazione rispetto a x e ricava la sua espressione x... sostituisci l espressione trovata nella seconda equazione x 5 y 4(...) 3y 20 risolvi la seconda equazione e ricava il valore di y sostituisci il valore di y nella prima equazione e calcola il valore di x la soluzione (5 ; 0). verifichiamo il risultato ottenuto Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto del confronto: 3x 2y 2 12x 6y 1 ricava l espressione di y da entrambe le equazioni y y uguaglia le due espressioni ottenute e mantieni una delle due equazioni... 12x 1 6 y 3x 2 2 risolvi la prima equazione ricavando x y 3x 2 2 sostituisci il valore di x trovato nella seconda equazione e calcola il valore di y Concludi: il sistema è... e ammette la soluzione: 1 3 ;
9 3 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di riduzione: x 4x y x 4y Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di Cramer: 1 2 (x y) 1 2 (x y) x y 1 2 y 1 riduci il sistema in forma normale riduci il sistema in forma normale i coefficienti di y diventano opposti se moltiplichi per 2 la prima equazione 2 11x 2y calcola i determinanti 1 7 D 4 15 addiziona membro a membro e ricava il valore di x 22x 4y x.. abbina alla soluzione trovata una delle due equazioni iniziali e determina il valore di y x D x D y poichè D 0, puoi determinare le soluzioni x D x D y D y D la soluzione: 1 ; 1 2. Concludi: il sistema è... e ammette la soluzione 2 0 ;
10 5 Risolvi il seguente sistema frazionario: 2x 1 x y 2 2 y 2 x xy 1 1 3y Risolvi il seguente sistema letterale: 4 2ax 2y x x 8a 2a 2 x 5 y 2ay riduci il sistema in forma normale determina le condizioni di esistenza C.E.: x... y... riduci il sistema in forma normale x 3y 1 4x y 2 risolvi con un metodo a scelta Concludi: il sistema è... e ammette la soluzione 5 ; La soluzione è accettabile perchè (...)x 2y 4 (...)x (...)y 8a 5 calcola i determinanti D D x D y (8a 2 18a 9) (8a 2 12a 6a 9) discuti i determinanti e risolvi D 0: a... x... y... D 0: a Riepiloga i risultati ottenuti: a...: la soluzione è (2 ; 2a 3); a...: il sistema è... 99
11 7 Risolvi il seguente sistema in tre incognite: 2x 3y 2z 5 4x 3y z 1 x 2 y z riduciamo in forma normale 2x 3y 2z 5 2x 3y 2z 5 4x 3y z 1 4x 3y z 1 2x 4 3y 3z 6 2x 3y 3z 2 ricava il valore di z dalla seconda equazione e sostituisci la sua espressione nelle altre due equazioni 10x 3y 3 z 4x 3y 1 z 4x 3y 1 14x 12y 1 ricava il valore di y dalla prima equazione e sostituisci la sua espressione nella terza equazione y 10x 3 3 z 4x 3y 1 ricava il valore di x dalla terza equazione e sostituiscilo nella prima equazione, ricavando y y 10x 3 3 z 4x 3y 1 z 4x 3y 1 x 1 2 sostituisci i valori di x e y nella seconda equazione e determina il valore di z y y z z x 1 2 x Concludi: il sistema è e ammette la soluzione (... ;... ;...).
12 8 Risolvi il seguente sistema in tre incognite: 3x 5y 2z 1 x 2y z 3 4x 25y 11z 12 ricava il valore di z dalla seconda equazione e sostituisci la sua espressione nelle altre due equazioni 3x 5y 2(...) 1 z x 2y 3 4x 25y 11(...) 12 5x y 7 z x 2y 3 z x 2y 3 15x 3y 21 semplifica la terza equazione dividendo entrambi i membri per 3 5x y 7 z x 2y 3 5x y 7 osserva che la prima e la terza equazione sono uguali. Ricava il valore di y da una di queste due equazioni e sostituiscilo nelle altre due equazioni 5x 5x 7 7 x x z x 2(5x 7) 3 z 11x 17 y 5x 7 y 5x 7 Concludi: il sistema è... e ammette infinite soluzioni, che sono del tipo: x x y 5x 7 z 11x
I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
I SISTEMI I EQUAZIONI I PRIMO GRAO Sistemi di primo grado con due o più equazioni in due o più incognite Numerici Letterali Interi Frazionari Interi Frazionari OBIETTIVI Le attività proposte in questa
DettagliSISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
Pagina 1 di 6 SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE L insieme di due equazioni di primo grado in due incognite si dice SISTEMA DI 1 GRADO. La soluzione del sistema è ogni coppia di numeri
DettagliAnno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite
Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione
DettagliSistemi di 1 grado in due incognite
Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con
Dettagli+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato
Sistemi di equazioni SISTEMI LINEARI Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni per le quali si cercano eventuali soluzioni comuni. +=7 =1 Ognuna delle due equazioni ha infinite soluzioni. La coppia
DettagliLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere
DettagliSistemi di equazioni
Sistemi di equazioni 19 191 Equazione lineare in due incognite Definizione 191 Una equazione di primo grado (in n incognite) si chiama equazione lineare Problema 191 Determinare due numeri naturali la
DettagliDefinizione: Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF3 / PS-MF3 II Lezione EQUAZIONI E SISTEMI Dr. E. Modica erasmo@galois.it www.galois.it IDENTITÀ ED EQUAZIONI Si consideri un uguaglianza
DettagliI sistemi lineari Prof. Walter Pugliese
I sistemi lineari Prof. Walter Pugliese Le equazioni lineari in due incognite Un equazione nelle incognite x e y del tipo #$ + &' = ) dove *,,, - sono numeri reali è un equazione lineare in due incognite
DettagliESERCIZI. Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva ESERCIZI
Indice capitolo Sistemi di primo grado... 4 5 Equazioni in due incognite... Generalità sui sistemi... 5 Metodi di risoluzione dei sistemi di primo grado 0 Sistemi letterali... Sistemi di tre equazioni
DettagliLe eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni
Le eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni Le eguaglianze algebriche possono essere di due tipi 1 - Identità - Equazioni L eguaglianza è verificata da qualsiasi valore attribuito alle lettere L eguaglianza
DettagliIdentità ed equazioni
Matematica e-learning - Identità ed equazioni Prof. erasmo@galois.it A.A. 2009/2010 1 Generalità sulle equazioni Si consideri un uguaglianza tra due espressioni algebriche A = B Se si sostituiscono al
DettagliLE EQUAZIONI LINEARI LE IDENTITA ( )( ) 5. a Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Uguaglianza (1) a
LE EQUAZIONI LINEARI 1 LE IDENTITA a b = ( a + b)( a b) () 1 a = a + a ( ) ( a + b) = a + ab + b () 3 Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Uguaglianza (1) a b = ( a+ b)( a b) È sempre vera qualunque
Dettagli( 5) 2 = = = +1
1 IDENTITA ED EQUAZIONI Consideriamo la seguente uguaglianza: ( 2x + 3) 2 = 4x 2 +12x + 9 Diamo alcuni valori arbitrari all incognita x e vediamo se l uguaglianza risulta vera. Per x = 1 si avrà: ( 2 1+
DettagliSISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Un equazione di primo grado in una incognita del tipo, con ha: una sola soluzione (equazione determinata) se nessuna soluzione (equazione impossibile) se tutte
DettagliINDICE UNITÀ 1 UNITÀ 2 I RADICALI I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO. 1. La radice n-esima aritmetica... 55
INDICE UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO. Le equazioni lineari in due incognite... Applica la teoria.... I sistemi di equazioni.... I princìpi di equivalenza dei sistemi... 4. I sistemi lineari
DettagliEquazioni. Istituto San Gabriele 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof.
Equazioni Istituto San Gabriele 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof. Andrea Pugliese Definizione ed esempi Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni
DettagliPreCorso di Matematica - PCM CANALE M-Z settembre 2019
PreCorso di Matematica - PCM CANALE M-Z settembre 2019 DOCENTE: M. Auteri Concetto di equazione Equazione: Eguaglianza fra due espressioni algebriche che risulta verificata soltanto da particolari valori
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA DISEQUAZIONI E SISTEMI Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Definizione: Si definisce
DettagliESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI
ESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI L equazione x x 0 non ha soluzioni nell insieme dei numeri reali; infatti, applicando la formula ridotta, si ottiene x, 3. Interpretando come numero immaginario, cioè
DettagliEquazioni e disequazioni
Equazioni e disequazioni Le equazioni Una uguaglianza tra espressioni letterali che risulta vera per ogni valore delle lettere che vi compaiono prende il nome di identità. 2a=2a (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 Una
DettagliSISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
ESERCIZI SVOLTI SISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Il metodo di sostituzione Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema di primo grado nelle incognite x e y: x y x + y 1 Quando il sistema da risolvere
DettagliLe equazioni di I grado
Le equazioni di I grado ITIS Feltrinelli anno scolastico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Le equazioni abbiamo una uguaglianza tra due quantità (espressioni algebriche, perché nei due termini ci possono essere
DettagliAppunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1
Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 1 Equazioni 1.1 Definizioni preliminari 1.1.1 Monomi Si definisce monomio ogni prodotto indicato di fattori qualsiasi, cioè uguali o diseguali, numerici
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni
DettagliLe equazioni di primo grado
Le equazioni di primo grado Definiamo prima di tutto cosa è una identità. Definizione : un identità è un uguaglianza, dove compaiono espressioni letterali, verificata per qualunque valore attribuito alle
Dettagli3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.
1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = 1 + 4 x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4
DettagliEquazioni frazionarie e letterali
Equazioni frazionarie e letterali 17 17.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado Nel capitolo 15 abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Adesso consideriamo le equazioni
DettagliI sistemi di secondo grado sono dunque composti da un equazione di secondo grado e da una di primo grado.
Sistemi non lineari Sistemi di secondo grado Ricordiamo che un sistema di equazioni non è altro che l insieme di più equazioni con le stesse incognite L insieme delle soluzioni è dato dall intersezione
Dettagli1 Identità ed equazioni
1 Identità ed equazioni Consideriamo l uguaglianza espressa dalla seguente frase: Trova un numero tale che il suo doppio sommato con se stesso sia uguale al suo triplo. x > 2x + x = 3x La relazione: 2x
DettagliSISTEMI LINEARI: Prof.ssa Maddalena Dominijanni
SISTEMI LINEARI: Prof.ssa Maddalena Dominijanni 1 PERCORSO Cos è un sistema lineare? Come si risolve un sistema lineare Regola di Cramer Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione
DettagliDisequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni
Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla
DettagliMatematica www.mimmocorrado.it 1
Equazioni letterali fratte di I grado Un equazione letterale fratta è un equazione fratta che contiene, oltre la lettera che rappresenta l incognita dell equazione, altre lettere, dette parametri, che
DettagliDr. Erasmo Modica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it IDENTITÀ ED EQUAZIONI Si consideri un uguaglianza
DettagliChi non risolve esercizi non impara la matematica.
5.5 esercizi 9 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è x/00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi
DettagliSistemi di più equazioni
A Sistemi di più equazioni Il metodo di risoluzione di un sistema di secondo grado con più di due equazioni e due incognite dipende dalla forma stessa del sistema; in genere è conveniente ricavare una
DettagliMatematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni. Domenico Cucina
Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni Domenico Cucina University of Roma Tre D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 1 / 19 Outline 1 Equazioni algebriche 2 Equazioni di primo grado
DettagliDef. Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più incognite dette variabili.
Def. Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più incognite dette variabili. Noi ci occuperemo delle equazioni di primo grado a una sola variabile Guarda nell esempio
Dettagli1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari
Secondo modulo: Algebra Obiettivi 1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari 2. risolvere equazioni intere e frazionarie di primo grado, secondo grado, grado superiore
DettagliEquazioni di primo grado
Equazioni di primo grado 15 15.1 Identità ed equazioni Analizziamo le seguenti proposizioni: a ) cinque è uguale alla differenza tra sette e due ; b ) la somma di quattro e due è uguale a otto ; c ) il
DettagliFrazioni algebriche. Osserviamo che un espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.
Frazioni algebriche 14 14.1 Definizione di frazione algebrica Diamo la seguente definizione: Definizione 14.1. Si definisce frazione algebrica un espressione del tipo A B polinomi. dove A e B sono Osserviamo
DettagliUnità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite 1. U.D. N 08 I sistemi di primo grado a due incognite
Unità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite 1 U.D. N 08 I sistemi di primo grado a due incognite 01) Coordinate cartesiane 0) I sistemi di primo grado a due incognite 03) Metodo di sostituzione
DettagliEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Cognome... Nome... Equazioni di primo grado EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono
DettagliMatematica. Equazioni di 1 grado. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica
Matematica Equazioni di grado Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Indice. Definizione di equazione. Classificazione delle equazioni. Equazioni equivalenti 4. Procedura risolutiva
DettagliI sistemi di primo grado
MATEMATICAperTUTTI 1 ESERCIZIO SVOLTO Un equazione che ha due incognite, x e y, salvo casi particolari, ha sempre infinite soluzioni rappresentate da tutte le coppie ðx, yþ che la soddisfano. Se di equazioni
DettagliMatematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni. Francesco Lagona
Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 1 / 19 Outline 1 Equazioni algebriche 2 Equazioni di primo grado
DettagliAnno 3. Equazioni esponenziali e logaritmiche
Anno 3 Equazioni esponenziali e logaritmiche 1 Introduzione Lo scopo delle pagine che seguono è quello di passare in rassegna le strategie risolutive per le equazioni esponenziali e logaritmiche. Al termine
DettagliLe equazioni e i sistemi di primo grado
Le equazioni e i sistemi di primo grado prof. Roberto Boggiani Isiss Marco Minghetti 1 settembre 009 Sommario In questo documento verrà trattato in modo semplice e facilmente comprensibile la teoria delle
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
DettagliVerifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione. risolvere con il metodo di Cramer
Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1. 5 x y x 3y 1 risolvere con il metodo di Cramer. x 1 3 y y x 3 risolvere con il metodo di riduzione
DettagliMATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO
MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO Equazioni fratte, di secondo grado o superiore Le equazioni di secondo grado Un equazione è di secondo grado se si può scrivere nella
DettagliMATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO
MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con
Dettagli4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre
www.matematicamente.it Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1.
DettagliLEZIONE DI MATEMATICA PROF : GIOVANNI IANNE. I sistemi di equazioni di I grado
LEZIONE DI MATEMATICA PROF : GIOVANNI IANNE I sistemi di equazioni di I grado Diamo la seguente definizione: Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni, tutte nelle stesse incognite, di
DettagliSistema di due equazioni di primo grado in due incognite
Sistema di due equazioni di primo grado in due incognite Problema Un trapezio rettangolo di area cm ha altezza di 8 cm. Sapendo che il triplo della base minore è inferiore di cm al doppio della base maggiore
DettagliEquazioni di primo grado ad un incognita. Identità
Def: Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2a = 2a è un identità a =
DettagliEquazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale.
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
Dettagli( 5) 2 = = = +1
1 IDENTITA ED EQUAZIONI Consideriamo la seguente uguaglianza: ( 2x + 3) 2 = 4x 2 +12x + 9 Diamo alcuni valori arbitrari all incognita x e vediamo se l uguaglianza risulta vera. Per x = 1 si avrà: ( 2 1+
Dettagli4 Capitolo Equazioni e disequazioni
4 Capitolo Equazioni e disequazioni algebriche 4.1. Equazioni algebriche in una incognita Cominciamo subito con delle definizioni. Un uguaglianza numerica o simbolica si dirà un identità in un certo insieme
DettagliIl calcolo letterale
Il calcolo letterale Si dice ESPRESSIONE ALGEBRICA LETTERALE (o semplicemente espressione algebrica) un espressione in cui compaiono lettere che rappresentano numeri. Esempio: 5ab 4a b 3 + b 5a 1 ab 3
DettagliAnno Scolastico 2014/15 - Classe 1D Verifica di matematica dell 11 Maggio Soluzioni degli esercizi. 2(x 2) 2(x 1) + 2 = 3x
Anno Scolastico 2014/15 - Classe 1D Verifica di matematica dell 11 Maggio 2015 - Soluzioni degli esercizi Risolvere le seguenti equazioni. Dove è necessario, scrivere le condizioni di accettabilità e usarle
DettagliLe equazioni di primo grado
Appunti di Matematica Le equazioni di primo grado Definiamo prima di tutto cosa è una identità. Definizione : un identità è un uguaglianza, dove compaiono espressioni letterali, verificata per qualunque
DettagliAlgebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo
Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13 Sistemi di equazioni lineari 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo ax = b, dove a e b sono numeri reali dati; a e il coefficiente
DettagliLe equazioni di primo grado
Le equazioni di primo grado Definiamo prima di tutto cosa è una identità. Definizione : un identità è un uguaglianza, dove compaiono espressioni letterali, verificata per qualunque valore attribuito alle
DettagliContinuando con altri valori di x, constateremo che l uguaglianza x + x = 2x è sempre valida. Un uguaglianza di questo tipo si chiama identità.
Consideriamo la frase: un numero più se stesso è uguale al suo doppio e traduciamola in termini matematici indicando un numero con la lettera : + = 2 Proviamo a verificarne la validità, sostituendo alla
DettagliMODULO 3 TITOLO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO FINALITA OBIETTIVI
MODULO TITOLO FINALITA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO Risoluzione delle equazioni e delle disequazioni algebriche di primo grado con una o più incognite e loro applicazioni PREREQUISITI
DettagliMonomi L insieme dei monomi
Monomi 10 10.1 L insieme dei monomi Definizione 10.1. Un espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio. Esempio 10.1. L espressione nelle due variabili
DettagliEquazioni di primo grado ad un incognita
Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2 = 2 è un identità =3 2 3=2 3
DettagliEquazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n
Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x
DettagliProntuario degli argomenti di Algebra
Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.
DettagliMatematica. Equazioni di 1 grado. Prof. Giuseppe Buccheri Menu
Matematica Equazioni di grado Avvertenze Premendo questo pulsante si va all indice degli argomenti che sono collegati ipertestualmente alle varie diapositive Pulsante diapositiva successiva Pulsante diapositiva
DettagliELETTRONICA E STRUMENTAZIONE PER INDAGINI BIOMEDICHE M ELETTRONICA 2 M BIOFISICA APPLICATA M INFORMATICA 2
8058874 - ELETTRONICA E STRUMENTAZIONE PER INDAGINI BIOMEDICHE M-57 - ELETTRONICA M-59 - BIOFISICA APPLICATA M-58 - INFORMATICA Lezione n. 1i Equazioni (1) L identità è una eguaglianza tra due espressioni
DettagliEquazioni di primo grado ad un incognita
Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. è un identità. Verificare un identità
DettagliUn monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di
DEFINIZIONE Espressione algebrica costituita dal prodotto tra una parte numerica (coefficiente) e una o più variabili e/o costanti (parte letterale). Variabili e costanti possono comparire elevate a potenza
DettagliSistemi di primo grado
Appunti di Matematica Sistemi di primo grado Consideriamo il seguente problema: Un trapezio rettangolo di area cm ha altezza di cm. Sapendo che il triplo della base minore è inferiore di cm al doppio della
DettagliLe equazioni. 2x 3 = x + 1. Definizione e caratteristiche
1 Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche, che è verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti alle variabili. L espressione che si
Dettagli3. (Da Medicina 2003) Moltiplicando i due membri di un'equazione per il numero -1, le soluzioni dell'equazione che si ottiene:
1 EQUAZIONI 1. (Da Veterinaria 2006) L equazione di secondo grado che ammette per soluzioni x1 = 3 e x2 = -1/ 2 è: a) 2x 2 + (2 3-2)x - 6 = 0 b) 2x 2 - (2 3-2)x - 6 = 0 c) 2x 2 - (2 3-2)x + 6 = 0 d) 2x
Dettagli1 Fattorizzazione di polinomi
1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente
Dettagli1.2 MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI
Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale. Monomi e operazioni con i monomi. MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI... L insieme dei monomi D ora in poi quando scriveremo un espressione letterale in
DettagliRipasso di matematica. Enrico Degiuli Classe terza
Ripasso di matematica Enrico Degiuli Classe terza Somma con i numeri relativi 1 3 =? 7 + 10 =? 8 + 3 =? 13 15 =? Regola: immaginare di partire dal primo numero e di spostarsi lungo la retta orientata in
DettagliUn monomio è un espressione algebrica che si presenta come prodotto tra un numero e un gruppo di lettere.
I MONOMI Un monomio è un espressione algebrica che si presenta come prodotto tra un numero e un gruppo di lettere. +2x 3 y 7 z 4 4 5 a4 bc 3 coefficiente parte letterale Attenzione gli esponenti delle
DettagliEquazioni di primo grado ad un incognita
Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2a = 2a è un identità a = 3 2 3
DettagliArgomento 13 Sistemi lineari
Sistemi lineari: definizioni Argomento Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto
DettagliCORSO DI MATEMATICA. Argomenti delle lezioni: Lezione n. 1 Giovedì 21 marzo 2013 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
IPSIA G. MARCONI - PRATO CORSO DI MATEMATICA Classe II B Argomenti delle lezioni: Lezione n. 1 Giovedì 21 marzo 2013 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Lezione n. 2 Giovedì 4 aprile 2013 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
DettagliLe equazioni lineari
Perchè bisogna saper risolvere delle equazioni? Perché le equazioni servono a risolvere dei problemi! Le equazioni lineari Un problema è una proposizione che richiede di determinare i valori di alcune
DettagliNessuno potrebbe avere dubbi sulla validità di questa uguaglianza numerica. Esse può essere definita una identità.
Identità ed equazioni Nessuno potrebbe avere dubbi sulla validità di questa uguaglianza numerica. Esse può essere definita una identità. Molti potrebbero avere dubbi sull uguaglianza precedente, tanto
Dettagli4 Sistemi di equazioni.
4 Sistemi di equazioni. Risolvere un sistema significa erminare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi di tali equazioni. 4. Sistemi
DettagliMatematica II
Matematica II 29..0. Somma di due matrici. Siano m ed n due interi positivi fissati. Date due matrici A, B R m n di tipo m n, sommando a ciascun elemento di A il corrispondente elemento di B, si ottiene
DettagliEsercitazione 6 - Soluzione
Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione
DettagliPrecorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A.
Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A. Scomposizione dei polinomi in fattori primi ( 2.4 del testo) Equazioni di primo grado ( 3.1 del testo) Equazioni
DettagliPROBLEMI DI SECONDO GRADO: ESEMPI
PROBLEMI DI SECONDO GRADO: ESEMPI Problema 1 Sommando al triplo di un numero intero il quadrato del suo consecutivo si ottiene il numero 9. Qual è il numero? Il campo di accettabilità delle soluzioni è,
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
DettagliEquazioni di Primo grado
Equazioni di Primo grado Definizioni Si dice equazione di primo grado un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per un determinato valore della variabile x, detta incognita. Si chiama
DettagliMatematica per esami d idoneità o integrativi della classe 2 ITI
UNI EN ISO 9001:008 I.I.S. PRIMO LEVI Torino ISTITUTO TECNICO - LICEO SCIENTIFICO - LICEO SCIENTIFICO Scienze Applicate LICEO SCIENTIFICO SPORTIVO Contenuti di Matematica per esami d idoneità o integrativi
DettagliLe disequazioni di primo grado
Le disequazioni di primo grado Cos è una disequazione? Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche (una delle quali deve contenere un incognita) che può essere vera o falsa a seconda
DettagliSistemi lineari di due equazioni in due incognite
Sistemi lineari di due equazioni in due incognite Incognite Lettere (di solito X e Y) alle quali è possibile sostituire dei valori numerici Coppia ordinata Coppia (X;Y) di valori numerici, per la quale
DettagliSistemi di primo grado
Sistemi di primo grado Consideriamo il seguente problema: Determina due numeri la cui somma è e la cui differena è. Possiamo risolvere questo problema utiliando due incognite per indicare i due numeri
Dettagli