I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

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1 I SISTEMI I EQUAZIONI I PRIMO GRAO Sistemi di primo grado con due o più equazioni in due o più incognite Numerici Letterali Interi Frazionari Interi Frazionari OBIETTIVI Le attività proposte in questa sezione sono studiate per: imparare a risolvere sistemi di equazioni di primo grado con due o più incognite; imparare a risolvere problemi utilizzando i sistemi. 89

2 I sistemi di equazioni di primo grado RIPASSIAMO INSIEME SISTEMI I EQUAZIONI I PRIMO GRAO Un sistema di equazioni di primo grado in due (o più) incognite è l insieme di due (o più) equazioni di primo grado che devono essere soddisfatte contemporaneamente. Risolvere un sistema in due (o più) equazioni significa determinare, se esiste, ogni coppia (o terna, ecc.) di numeri che è soluzione di entrambe le equazioni contemporaneamente. Un sistema può essere: determinato, se ammette una sola soluzione; indeterminato, se ammette infinite soluzioni; impossibile, se non ammette soluzioni. Un sistema si dice ridotto in forma normale quando le sue equazioni sono ridotte in forma normale: ax by c a x b y c Anche senza risolvere il sistema, se ne può stabilire il tipo: a b se a b il sistema è determinato a b c se a b c il sistema è indeterminato a b c se a b c il sistema è impossibile SISTEMI EQUIVALENTI ue sistemi si dicono equivalenti se sono costituiti da equazioni che hanno le stesse incognite e che ammettono le stesse soluzioni. SISTEMI FRAZIONARI I sistemi frazionari sono i sistemi nelle cui equazioni almeno una delle incognite compare a denominatore. SISTEMI LETTERALI I sistemi letterali sono i sistemi le cui equazioni contengono, oltre alle incognite, altre lettere dette parametri. OSSERVA OME SI FA Metodi di risoluzione dei sistemi METOI ALGEBRII RISOLUTIVI Sostituzione onfronto Riduzione ramer Metodo di sostituzione ❶ Si risolve una delle due equazioni rispetto a una delle incognite e si ricava la sua espressione; ❷ si sostituisce l espressione trovata nell altra equazione; ❸ si risolve la seconda equazione ricavando la seconda incognita; ❹ si sostituisce il valore trovato nell espressione della prima incognita e si calcola il suo valore. 1 Risolvi il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione: x y x 4y 1 risolviamo la prima equazione rispetto a x e ricaviamo la sua espressione x y x 4y 1 90 Poichè 1 4 il sistema è determinato. sostituiamo l espressione trovata per x nella seconda equazione

3 x y (y ) 4y 1 risolviamo la seconda equazione ricavando y x y 6y 4 4y 1 x y 10y x y y 1 sostituiamo nella prima equazione il valore di y e otteniamo il valore di x y 1 x 1 x 1 y 1 oncludiamo: il sistema è determinato e ammette la soluzione 1 ; 1. verifichiamo il risultato sostituendo nel sistema di partenza i valori ottenuti per x e y Entrambe le equazioni sono soddisfatte e pertanto la soluzione 1 ; 1 è corretta. Metodo del confronto ❶ Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita; ❷ si uguagliano le due espressioni ottenute; ❸ si risolve l equazione ricavando l incognita rimasta; ❹ si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni a scelta. Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto del confronto: x y x 4y 1 Poichè 1 4 il sistema è determinato. ricaviamo x da entrambe le equazioni x y x 4y 1 uguagliamo le due espressioni di x e abbiniamo l equazione ottenuta a una equazione a scelta (la più semplice) y 4y 1 x y risolviamo la prima equazione ricavando y e sostituiamo poi il suo valore nella seconda equazione 6y 4 4y 1 x y 10y x y y 1 x 1 y 1 x 1 oncludiamo: il sistema è determinato e ammette la soluzione 1 ; 1. 91

4 Metodo di riduzione ❶ Si moltiplicano le equazioni per un valore opportuno in modo che i coefficienti di una incognita nelle due equazioni siano uguali o opposti; ❷ si addizionano o si sottraggono membro a membro le due equazioni, ottenendo un equazione in una sola incognita; ❸ si risolve tale equazione e si ricava l incognita; ❹ si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni e si ricava l altra incognita. Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di riduzione: x y 4 x y I coefficienti di y sono opposti: non è necessario effettuare alcuna moltiplicazione. addizioniamo membro a membro le due equazioni x y 4 x y x 0 6 ricaviamo il valore di x x abbiniamo la soluzione trovata a una delle due equazioni iniziali (la più semplice) x x y 4 sostituiamo il valore di x nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x y x y oncludiamo: il sistema è determinato e ammette la soluzione ;. verifichiamo il risultato ottenuto Metodo di ramer ato il sistema di primo grado in due incognite a b a b ax bx c a x b x c c b c b ❶ si calcolano i determinanti: ab a b x cb c b y x x ❷ se 0, si ricavano le soluzioni: y y a c ac a c a c 4 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di ramer: x y 6 x y 1 9 calcoliamo i determinanti x y poichè 0 possiamo ricavare la soluzione x x 7 9 y y oncludiamo: il sistema è determinato e ammette la soluzione ( ; 4).

5 Sistemi frazionari ❶ Si stabiliscono le condizioni di esistenza; ❷ si riduce il sistema in forma normale; ❸ si risolve il sistema con uno dei metodi visti; ❹ si controlla l accettabilità della soluzione. Risolvi i seguenti sistemi frazionari: x y 1 x y y x.e.: determiniamo le condizioni di esistenza delle frazioni y 1 y x riduciamo il sistema in forma normale x (y 1) x y (y x) x y 1 4x y 0 risolviamo con il metodo di riduzione: sottraendo membro a membro le due equazioni, ricaviamo il valore di x x y 1 4x y 0 x 0 1 sostituiamo il valore di x nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x 1 x 1 4x y 0 x y 0 y oncludiamo: la soluzione 1 ; è accettabile (perchè sono rispettate le condizioni di esistenza y 1 e y x), dunque il sistema è determinato. 0 x y x 4 y scomponiamo i denominatori in fattori 0 x y 1 1 (4 x) 4 y.e.: determiniamo le condizioni di esistenza x x 4 y y 0 riduciamo il sistema in forma normale (y ) (x ) 0 y x 4 y 6 x 6 0 y x 4 risolviamo con il metodo di riduzione: sottraendo membro a membro le due equazioni, ricaviamo il valore di x y x 1 y x 4 4x 8 x sostituiamo nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x x x y 4 y 4 y La soluzione è ( ; ) e non è accettabile perché tali valori annullano i denominatori della prima equazione. Il sistema è impossibile. 9

6 Sistemi letterali ❶ Si stabiliscono le condizioni di esistenza; ❷ si riduce il sistema in forma normale: ❸ si calcolano i determinanti: ax by c a x b y c a b a b ❹ si discute e si risolve: 0 sistema ab a b x b c bc y x x y y c b c b determinato a c ac a c a c 0 x y 0 x 0 y 0 sistema indeterminato sistema impossibile Risolvi i seguenti sistemi letterali: 7 x by b x by b calcoliamo i determinanti b b 7b 1 b 6b x b b b 10b b b 9b y b b b b 1 b discutiamo i determinanti e risolviamo x 10 7 b b 0: 7b 0, cioè b 0 b y 1 7b 7 0: b 0 x 0 x 0 il sistema è indeterminato 0y 0 equazione indeterminata Riepilogando i risultati ottenuti: b 0: si ha la soluzione 1 0 b ; e il sistema è determinato; b 94 b 0: il sistema è indeterminato.

7 8 ax y a ( a)x ( a)y 1 calcoliamo i determinanti a a a 1 a ( a)a a 6a a a a (a a ) (a 1)(a ) x 1 a a 1 1 a(a ) 1 a a (a a 1) (a 1) y a 1 a a a( a) a a a a a a a(a 1) discutiamo i determinanti e risolviamo 0: (a )(a 1) 0 da cui a 0 a 1 0, cioè a a 1 (a x ( a 1) a 1 )( a 1) a a(a 1) a y (a )(a 1) a 0: a 0, cioè a il sistema è impossibile; a 1 0, cioè a 1 il sistema è indeterminato. Riepilogando i risultati ottenuti: a a 1: si ha la soluzione a 1 a ; a a e il sistema è determinato; per a : il sistema è impossibile; a 1: il sistema è indeterminato. Sistemi con più di due incognite 9 Risolvi il seguente sistema in più incognite: x y 1 x y z 8 y z 1 ricaviamo il valore di x dalla prima equazione e sostituiamo l espressione ottenuta nelle altre due x y1 (y 1) y z 8 y z 1 svolgiamo i calcoli e portiamo la seconda equazione in forma normale 9

8 x y1 4y z y z 1 ricaviamo il valore di z dalla terza equazione e sostituiamo l espressione ottenuta nella seconda equazione x y1 4y (y 1) z y 1 ricaviamo il valore di y x y1 x y1 6y 6 y 1 z y 1 z y 1 sostituiamo il valore di y nelle altre due equazioni e ricaviamo x e z x 1 1 x y 1 y 1 z 1 z 1 oncludiamo: il sistema è determinato e ammette come soluzione la terna di numeri: ( ; 1 ; 1). Sistemi risolubili con artifici 10 Risolvi il seguente sistema: y x y 4 x se eseguissimo i calcoli determinando il denominatore comune, otterremmo un sistema di quarto grado; eseguiamo perciò un opportuno cambiamento di variabile nel sistema 1 t x e 1 u y determiniamo le condizioni di esistenza.e.: x 0 y 0 eseguiamo la sostituzione di variabile nel sistema iniziale 4t t 1 41 u 4t 18 48t 8t 11 u 4t ricaviamo il valore di t e sostituiamolo nella seconda equazione per ottenere u 6t 7 u 4t u t 1 8 u 1 t y 1 x u t y 4 1 x u 4t risolviamo applicando il metodo di sostituzione: ricaviamo u dalla seconda equazione e sostituiamo la sua espressione nella prima ricordando la sostituzione iniziale, otteniamo le soluzioni del sistema 1 x 1 x y 1 y oncludiamo: il sistema è determinato e ammette la soluzione (8 ; 1).

9 LAVORIAMO INSIEME 1 Risolvi il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione: x y 1 1 x 1 4 y riduci il sistema in forma normale x y risolvi la prima equazione rispetto a x e ricava la sua espressione x... sostituisci l espressione trovata nella seconda equazione x y 4(...) y 0 risolvi la seconda equazione e ricava il valore di y sostituisci il valore di y nella prima equazione e calcola il valore di x oncludiamo: il sistema è determinato e ammette la soluzione ( ; 0). verifichiamo il risultato ottenuto Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto del confronto: x y 1x 6y 1 ricava l espressione di y da entrambe le equazioni y y uguaglia le due espressioni ottenute e mantieni una delle due equazioni... 1x 1 6 y x risolvi la prima equazione ricavando x y x sostituisci il valore di x trovato nella seconda equazione e calcola il valore di y oncludi: il sistema è... e ammette la soluzione: 1 ; 1 97

10 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di riduzione: x 4x y x 4y 1 4 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di ramer: 1 (x y) 1 (x y) x y 1 y 1 riduci il sistema in forma normale riduci il sistema in forma normale i coefficienti di y diventano opposti se moltiplichi per la prima equazione 11x y 1... calcola i determinanti addiziona membro a membro e ricava il valore di x x 4y x.. abbina alla soluzione trovata una delle due equazioni iniziali e determina il valore di y x x y poichè 0, puoi determinare le soluzioni x x y y oncludiamo: il sistema è determinato e ammette la soluzione: 1 ; 1. oncludi: il sistema è... e ammette la soluzione 0 ;

11 Risolvi il seguente sistema frazionario: x 1 x y y x xy 1 1 y 6 Risolvi il seguente sistema letterale: 4 ax y x x 8a a x y ay riduci il sistema in forma normale determina le condizioni di esistenza.e.: x... y... riduci il sistema in forma normale x y 1 4x y risolvi con un metodo a scelta oncludi: il sistema è... e ammette la soluzione ; La soluzione è accettabile perchè (...)x y 4 (...)x (...)y 8a calcola i determinanti x y (8a 18a 9) (8a 1a 6a 9) discuti i determinanti e risolvi 0: a... x... y... 0: a Riepiloga i risultati ottenuti: a...: la soluzione è ( ; a ); a...: il sistema è... 99

12 7 Risolvi il seguente sistema in tre incognite: x y z 4x y z 1 x y z 1 riduciamo in forma normale x y z x y z 4x y z 1 4x y z 1 x 4 y z 6 x y z ricava il valore di z dalla seconda equazione e sostituisci la sua espressione nelle altre due equazioni 10x y z 4x y 1 z 4x y 1 14x 1y 1 ricava il valore di y dalla prima equazione e sostituisci la sua espressione nella terza equazione y 10x z 4x y 1 ricava il valore di x dalla terza equazione e sostituiscilo nella prima equazione, ricavando y y 10x z 4x y 1 z 4x y 1 x 1 sostituisci i valori di x e y nella seconda equazione e determina il valore di z y y z z x 1 x oncludi: il sistema è e ammette la soluzione (... ;... ;...).

13 8 Risolvi il seguente sistema in tre incognite: x y z 1 x y z 4x y 11z 1 ricava il valore di z dalla seconda equazione e sostituisci la sua espressione nelle altre due equazioni x y (...) 1 z x y 4x y 11(...) 1 x y 7 z x y z x y 1x y 1 semplifica la terza equazione dividendo entrambi i membri per x y 7 z x y x y 7 osserva che la prima e la terza equazione sono uguali. Ricava il valore di y da una di queste due equazioni e sostituiscilo nelle altre due equazioni x x 7 7 x x z x (x 7) z 11x 17 y x 7 y x 7 oncludi: il sistema è... e ammette infinite soluzioni, che sono del tipo: x x y x 7 z 11x

14 Problemi risolvibili con sistemi di equazioni di primo grado con due o più incognite RIPASSIAMO INSIEME Per risolvere i problemi è fondamentale tradurre in equazioni le relazioni che legano le incognite. Per risolvere questo genere di problemi occorre: 1) leggere più volte l enunciato; ) individuare i dati e le grandezze incognite; ) scegliere le incognite e indicarle con le lettere x, y, z,...; 4) tradurre in equazioni i legami tra i dati e le incognite; ) controllare che il numero delle incognite sia uguale al numero delle equazioni; 6) risolvere il sistema formato da tali equazioni; 7) analizzare la soluzione trovata, verificando se è accettabile. UN PROBLEMA PUÒ ESSERE eterminato ammette una soluzione Indeterminato ammette infinite soluzioni Impossibile non ammette soluzioni OSSERVA OME SI FA 1 Quali sono i due numeri naturali che hanno per somma 4 e per differenza 7? Incognite x numero naturale maggiore y numero naturale minore x y 4 Equazioni x y 7 10 Risoluzione x y 4 x y 7 x 0 x x x y x 7 y 18 Analisi del risultato Le soluzioni trovate sono accettabili perché e 18 sono numeri naturali. onclusione I numeri cercati sono e 18. etermina due numeri naturali sapendo che il quoziente della divisione del maggiore con il minore è e il resto è 6 e inoltre che la differenza tra il doppio del maggiore e il triplo del minore è 4. Incognite x numero naturale maggiore y numero naturale minore x y 6 Equazioni x y 4 Risoluzione x y 6 (y 6) y 4 x y 6 6y 1 y 4 x y 6 x 6 y 0 y 10 Analisi del risultato Le soluzioni sono accettabili perché 6 e 10 sono numeri naturali.

15 etermina la lunghezza dei lati di un triangolo isoscele in cui il lato supera di 8 cm la base e il perimetro misura 46 cm. ati A B A AB 8 cm p(ab) 46 cm? AB, A, B A B Incognite A x AB y Equazioni x y 8 x y 46 Risoluzione x y 8 (y 8) y 46 x y 8 y 16 y 46 x y 8 y 0 x 18 y 10 Analisi del risultato Le soluzioni sono accettabili perché sono numeri positivi. onclusione I lati misurano 18 cm e la base 10 cm. 4 etermina area e perimetro di un trapezio rettangolo avente la diagonale minore perpendicolare al lato obliquo, sapendo che la differenza tra il lato obliquo e il doppio della diagonale minore è di m, mentre la differenza tra i del lato obliquo e i della diagonale minore è di, m. A H B ati AB // AB 90 AB 90 B A m B A, m? A(AB) p(ab) Incognite B x A y Equazioni x y x y, Risoluzione x y x y (y ) y (y ) y 6 10 x y x y x 1 6y 6 y 6 4y 0 y Analisi del risultato Le soluzioni sono accettabili perché sono numeri positivi. Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo AB: AB A B AB

16 eterminiamo l altezza: H A B A B A H eterminiamo la base minore: A A alcoliamo l area: A(AB) (AB 1 94 ) H ,44 m 169 alcoliamo il perimetro: p(ab) ,4 1,4 m onclusione Il perimetro misura 1,4 m e l area misura 4,44 m. LAVORIAMO INSIEME 1 Un numero di due cifre è tale che, sommando della cifra delle decine con 1 della cifra delle unità si ottiene e sommando il numero con quello che si ottiene scrivendo le sue cifre in ordine inverso, si 1 ottiene 110. etermina il numero. Incognite x cifra decine y cifra unità Numero cercato: 10x y Numero a cifre scambiate: Limitazioni Equazioni x, y N 0 x 9, 0 y 9 x x y Risoluzione x y 10 y 7 6x y x Analisi del risultato Le soluzioni sono accettabili perché e 7 sono numeri naturali compresi tra 0 e onclusione Il numero cercato è....

17 La somma delle diagonali di un rombo misura 6 cm e il triplo della minore supera di 4 cm la maggiore. alcola l area e il perimetro del rombo. A O B ati AB......? A(AB) p(ab) Incognite x B y Equazioni x y 4 Risoluzione x 0 y 6 AB AO OB AB A(AB) cm..... p(ab) 8,4 cm AESSO PROVA TU Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione o di confronto: x y [(8 ; 1)] x y x 1 y 1 4 [(9 x y 7 [(1 ; )] x 1 y 8 4 x y 4 y 1 (x ) x 4y [( ; 4 4x y (y ) x 7 ; 8)] ; 4)] 6 (x ) 1 y (x ) [( ; )] (x y)(x y) x (x y) (6xy 9y ) 7 (x 1) (x )(x ) y 1 x 7 ; (x ) 1 (x )(x ) 4y 10

18 Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione: 8 x y 9 x y 0 [( ; )] 11 x y x 4y ; 9 10 x y 4x y y x 1 y 6 x 7 0 ; [(1 ; 7)] 1 1 x 1 y ; 14 x y 1 4 x 1y 1 [indeterminato: ( 4y ; y)] x 4y 14 (x 1) (y ) 4 (x 1)(x 1) (y 1)(y 1) (x ) (y ) (x ) (y )(y ) 1 7 ; 8 1 (x ) (y 1) x y ; y 7 (x ) 4 1 x 1 x Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di ramer: 16 x y 4 6x y 1 [( ; 1)] 0 x y 7 1 x 1 8 y 4 4 [(1 ; 4)] x y x y 7 x y 1 x y 4 [(1 ; 4)] ; x y x y x ; x 4y x y x y x y x y [impossibile] x 4y 6x 8y 10 [indeterminato] Risolvi i seguenti sistemi frazionari: y 1 y x 1 4 ; 1 y y x x x y 1 [( x y ; 1)] (y ) 4(x ) [(1 4 0 y x ; )] 6 x x 1 y y 1 ; 1 1 y 4 0 x 1

19 Risolvi i seguenti sistemi letterali: 7 x 4y a ax ay a x a per a 0: y a per a 0: indeterminato 9 (m 1)x (m 1)y 4m x y m x m 1 per m 0: y m 1 per m 0: indeterminato 8 x y a(1 x) a(x 4a) y 0 y a per a 1 : x a per a 1 : indeterminato 0 x y 1 ax y a a 1 x a per a 1: y a 1 per a 1: indeterminato 1 x y (a )x (a 1)y a a x a 1 per a 1: y a a 1 per a 1: impossibile (x 1) b y x 8b y b b 4 b per b b b : x b y b per b b : la seconda eq. perde significato per b : indeterminato x y (k 1) k 1 k x y k k 1 per k 0 k 1 k 1 k 4 7 : x k 1 y k k per k 1 k 0 k 1: eq. perdono significato per k 4 : indeterminato 7 Risolvi i seguenti sistemi con più di due incognite: 4 x y z 6 y x z [( ; 1 ; 1)] y x z 7 x z y 9 (x y 7) z 1 ; 0 ; 11x 8z 9y 11 6 x y 7 x y 1 [(4 ; ; )] y z x y z 1 x y z [(1 ; ; 4)] x y z 4 8 x y z u 4 x y u 0 y z u 9x y z 0 [(1 ; ; ; )] 107

20 Risolvi i seguenti problemi: 9 Trova due numeri naturali sapendo che la loro somma è 4 e la loro differenza 8. [41; 1] 40 La somma di due numeri è 4 e uno è i dell altro. Trova i due numeri. [7; 18] 41 Trova un numero di tre cifre sapendo che la somme delle cifre è 14 e che la cifra delle decine supera di quella delle unità, mentre 1 della cifra delle centinaia è uguale a quella delle decine diminuita di. [90] 4 etermina le ampiezze di due angoli complementari sapendo che la loro differenza è di 0. [70 ; 0 ] 4 Il perimetro di un rettangolo misura 140 cm e la sua altezza è i 4 della base. Trova i lati e l area del rettangolo. [40 cm; 0 cm; 100 cm ] 9 44 La base di un triangolo isoscele è i dell altezza. Sapendo che il doppio della base supera 0 di 1 cm i dell altezza, trova i lati del triangolo, l altezza e l area. [18 cm; 41 cm; 40 cm; 60 cm ] 4 Il perimetro di un trapezio isoscele è 96 cm e ciascun lato obliquo misura cm. Sapendo che la base minore è 1 della maggiore, trova le misure delle basi. [1 cm; 17 cm] 46 Il costo di e di V è di 18. Sapendo che il costo di 1 è pari ai 4 di quello di un V, determina i costi di un e di un V. [ 0; ] 47 In un campus universitario frequentato da italiani, francesi e inglesi il numero degli studenti italiani è 1 di quello dei francesi e gli inglesi 4 sono 48 in più degli italiani. Sapendo che il numero totale degli studenti è 16, determina quanti sono gli italiani, i francesi, gli inglesi. [19; 76; 67] 48 etermina due numeri sapendo che la loro somma è 7 e il loro quoziente è con resto 6. [; ] 49 Trova le età di tre persone sapendo che insieme hanno 100 anni, la differenza tra l età della prima e della seconda è 0 anni e la somma dell età della seconda con 1 dell età della terza è 0. [0; 0; 0] 0 etermina il valore delle lettere a e b in modo tale che il polinomio P(x) (a )x (b 1)x 1 sia divisibile per x 1 e che, diviso per x, dia per resto. [; ] 108

21 VERIFIA LE TUE ONOSENZE Indica le risposte corrette fra quelle proposte: 1 La soluzione di un sistema di primo grado a due incognite è un insieme di valori che sostituiti alle rispettive incognite: A traformano le equazioni in altre equivalenti. B verificano almeno un equazione del sistema. verificano entrambe le equazioni del sistema. verificano solo una delle due equazioni del sistema. Un sistema di primo grado di due equazioni in due incognite è: A determinato se ha una sola soluzione. B indeterminato se non ammette soluzione. impossibile se ha infinite soluzione. nessuna delle precedenti. Un sistema di primo grado avente un equazione impossibile è: A determinato. B indeterminato. impossibile. nessuna delle precedenti. 4 ue sistemi si dicono equivalenti quando: A ammettono la stessa soluzione. B hanno lo stesso numero di equazioni. hanno il numero di incognite e il numero di equazioni coincidenti. hanno il numero di incognite e il numero di equazioni diverso. y 4x 1 Il sistema è: y 4x 1 A determinato. B indeterminato. impossibile. nessuna delle precedenti. 6 Quali, fra i seguenti sistemi, è scritto in forma normale? 1 (x 1) 1 (y ) 1 1 x y 11 x y x y 0 x y 1 x 1 y 1 x y (x 1) 7y 1 7 Quale delle seguenti affermazioni relative al sistema y 1 x 1 è corretta? x x y 8 A B A B Il sistema è impossibile. Il sistema ha come soluzione (1 ; 0). Le.E. del sistema sono x 1 e x y. Il sistema è determinato. Il sistema A B x a y a 0 indeterminato per ogni valore reale di a. è: determinato se e solo se a 0. determinato per ogni valore reale di a. impossibile per ogni valore reale di a. 109

22 VERIFIA LE TUE ABILITÀ Indica le risposte corrette fra quelle proposte: 1 Se si completa il sistema x 7y 0 con ue numeri naturali, x e y, hanno per somma s e... per differenza d. Allora, necessariamente: una delle seguenti equazioni esso diventa impossibile. on quale? A B s d s d A x 7y 0 B x 7y 0 s d nessuna delle precedenti. x 7y 1 x 7y 1 6 Per quali valori di a il sistema: Il sistema A B x y 14 ha soluzione: x y 4 x 1, y x 9, y x 10, y 4 nessuna delle precedenti. La coppia ordinata (1 ; ) è soluzione del sistema: x y 1 A x y 0 x y B x y 1 1 x y 6 x y nessuno dei precedenti. 4 Senza risolvere i seguenti sistemi: x 6y 4x y 4 a) b) x y 1 x y 1 puoi affermare che: A il sistema a è impossibile e il sistema b è indeterminato. B sono entrambi impossibili. il sistema a è impossibile e il sistema b è determinato. il sistema a è indeterminato e il sistema b è determinato x ay a 4 6x y a 1 è indeterminato? A B a 0 a 1 Nessun valore di a. a 1 x a y 1 x 1 ax a a 7 ato il sistema ( a 1)x a 1 a y possiamo affermare che: A B per a 1 a 1 a 0 è impossibile. per a 1 a 1 è indeterminato; per a è impossibile e per a 0 è privo di significato. per a 1 a 1 a è indeterminato e per a 0 è privo di significato. per a 1 a 1 è impossibile e per a 0 è privo di significato. 8 Se la differenza di due numeri è uguale alla loro somma, allora, necessariamente: A i due numeri sono positivi. B i due numeri sono negativi. uno dei due numeri è uguale a 0. i due numeri sono discordi.

23 VERIFIA FINALE Risolvi con i metodi più opportuni i seguenti sistemi: 8 x 1 4 y 1 7y 10 6 x 1 x (x 4y) 1 x y x y 1 x y 4z x y z 10 x y z x y x 1 a a 4 x y a a a 1 a a alcola le età di Gianni e di suo padre sapendo che cinque anni fa il padre aveva il quintuplo dell età del figlio Gianni e che fra due anni ne avrà il triplo. 6 etermina i valori delle lettere a, b, c in modo tale che i seguenti polinomi siano identici: P(x) (a 1)x (b c)x c Q(x) (b )x 6x a 1 111