Sistemi e problemi, Pag. 1\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 SISTEMI E PROBLEMI

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1 Sistemi e problemi, Pag. 1\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 SISTEMI E PROBLEMI Affrontare un problema richiede spesso l'uso di alcuni strumenti algebrici: fra essi vi sono i sistemi di equazioni. Infatti, I sistemi sono definiti come: insiemi di due o più equazioni da risolvere simultaneamente. In altre parole, le soluzioni di un sistema sono l'insieme dei numeri che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni che lo compongono e, pertanto, ciascuna di esse diventa una identità quando i numeri soluzione vengono sostituiti alle lettere delle incognite. Grado di un sistema:il prodotto dei gradi delle sue equazioni. Ricordiamo che le fasi con le quali un problema può pensarsi svolto sono: 1) analisi del testo 2) modello matematico 3) risoluzione del modello 4) verifica della soluzione. Durante la fase 2)la costruzione del modello comporta talvolta il dovere considerare più di una singola relazione, coinvolgendo un numero maggiore che una sola incognita e, in tal caso, il modello può essere un sistema algebrico formato da due o più equazioni. Problema risolubile con sistema di tre equazioni. Dalla lettura degli elaborati di una prova di Matematica, costituita da 10 quesiti, 5 esercizi e 5 problemi, si notano i seguenti risultati: Anna: voto 6; quesiti 8, esercizi 4, problemi 2; Marco: voto 7; quesiti 10, esercizi 3, problemi 3; Paola: voto 8; quesiti 4, esercizi 4, problemi 5. Determinare i punteggi attribuiti dal docente a

2 Sistemi e problemi, Pag. 2\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 ciascuna richiesta eseguita correttamente. Svolgimento del problema. 1) Analisi del testo: voti di Anna (6), di Marco (7) e di Paola (8); le incognite sono 3: x=punti attribuiti ai quesiti; y=punti attribuiti agli esercizi; z=punti attribuiti ai problemi; Si suppone che i punteggi assegnati a ciascuna delle tre categorie, non varino al variare della richiesta dello stesso tipo: ogni quesito, esercizio o problema valga come gli altri. Dominio delle incognite: i punteggi possono considerarsi come numeri interi positivi anche se, è bene precisare, in alcuni tipi di prove possono venire assegnati dei valori negativi e, inoltre, moltiplicando ciascun punteggio per il rispettivo numero di richieste si deve ottenere un numero strettamente minore del voto massimo che si suppone sia 10, per ciascuna delle tre prove valutate. numero risposte corrette : n, n, n x y z n x < 10, n y < 10, n z < 10 x y z Dominio x > 0, y > 0, z > 0 2) Modello matematico: le tre componenti che compongono ciascuna delle tre prove vengono uguagliate ai rispettivi voti, originando un sistema algebrico dei tre equazioni intere di primo grado in tre incognite:

3 Sistemi e problemi, Pag. 3\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 ì 8x + 4y + 2z = 6 10x + 3y + 3z = 7 î 4x + 4y + 5z = 8 3) Risoluzione del modello. Metodo di sostituzione: questo metodo consiste nel isolare una delle incognite in funzione delle rimanenti in una delle equazioni a scelta, generalmente quella più conveniente da svolgere, e poi sostituirla nelle equazioni rimanenti in modo da costituire un nuovo sistema con una equazione in meno ed una incognita in meno. Se consideriamo il sistema dell'esempio, dopo avere diviso la prima equazione per 2, possiamo scegliere di isolare la z nella prima equazione e poi sostituirla nella rimanenti, rispettivamente seconda e terza equazione, in modo tale da costituire un sottosistema di due sole incognite, come mostrano i passaggi seguenti: ì 4x + 2y + z = 3 ì z = 3-4x - 2y 10x + 3y + 3z = 7 10x + 3y + 3 ( 3-4x - 2y ) = 7 4x 4y 5z 8 î + + = î 4x + 4y + 5 ( 3-4x - 2y ) = 8 ìz = 3-4x - 2y ìz = 3-4x - 2y -2x - 3y = -2 2x + 3y = 2 16x 6y 7 î- - = - î16x + 6y = 7 Considerato che le soluzioni sono una terna di numeri che soddisfano simultaneamente tutte e tre le equazioni, possiamo ora risolvere il sottosistema in due sole incognite (x e y) formato dalla seconda e dalla terza equazione e, una volta ottenute le sue soluzioni, sostituirle nella prima per ottenere il valore della z:

4 Sistemi e problemi, Pag. 4\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 ì2x + 3y = 2 ì3y = 2-2x î16x + 6y = 7 î16x + 2 3y = 7 2 2x y 2 2x ì - ì - ì = - y = y = = î16x + 2 ( 2-2x ) = 7 î12x = 3 î x = 1 4 = 0.25 z = = 1 La soluzione del problema è quindi: 0.25 punti per ogni risposta corretta; 0.5 punti per ogni esercizio portato a termine; 1.0 punti per ogni problema risolto. 4) Verifica della soluzione. Notiamo anzitutto che i valori ottenuti sono accettabili in quanto numeri positivi e rimane soltanto da verificare se corrispondono ai tre voti: Anna: 8*0.25+4*0.5+2*1 = = 6 Marco: 10*0.25+3*0.5+3*1 = = 7 Paola: 4*0.25+4*0.5+5*1 = = 8 c La soluzione del problema è verificata. <<<<<>>>>>> Nel problema visto si è passati da un sistema di 3 equazioni in 3 incognite ad uno di 2 equazioni i due incognite che a sua volta ha prodotto una sola equazione in una sola incognita. Possiamo generalizzare circa il numero di equazioni che devo comporre un sistema di primo grado affinché si possano determinare delle soluzioni: sono necessarie tante equazioni quante sono le incognite. Esempio con due incognite per sostituzione.

5 Sistemi e problemi, Pag. 5\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 In un rettangolo la differenza fra base ed altezza vale 2cm. Diminuendo ciascun lato di 1 cm l'area diminuisce di 11cmq. Determinare le lunghezze dei due lati. 1) Analisi del testo. Il problema richiede le lunghezza dei lati, x e y, essendo dati: a) differenza fra i lati=x-y=2 cm b) differenza delle aree dopo l'accorciamento dei lati di 1 cm= 11 cmq. 2) Modello matematico. Area del rettangolo prima= xy Area del rettangolo dopo=(x-1)(y-1) ìx - y = 2 îxy - ( x - 1) ( y - 1) = 11 3) Risoluzione per sostituzione. ìx - y = 2 ìx = y + 2 îxy - ( x - 1) ( y - 1) = 11 îxy - xy + x + y - 1 = 11 ìx = y + 2 ìx = y + 2 ìx = y + 2 îx + y = 12 îy y = 12 î2y = 10 ìx = 7 cm îy = 5 cm 4) Verifica della soluzione. Differenza lati=7-5=2cm Differenza aree=7*5-6*4=35-24=11cmq Metodo del confronto. Si tratta di una variante del metodo di sostituzione e consiste nel ricavare da due equazioni la stessa incognita per poi costruire una equazione in una sola incognita mediante

6 Sistemi e problemi, Pag. 6\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 l'uguaglianza dei due secondi membri. Esempio: ì 2y + 6 x = ì 3x - 2y = 6 3 2y y + 1 = î2x + y = 1 - y x = î 2 2y y = 6 4y + 12 = - 3y (- 9 7) y = -9 y = - x = = L'esempio visto si riferisce a due sole incognite ma si applica allo stesso modo con un qualunque numero di incognite. Metodo di riduzione o di somma-differenza. Con questo metodo si eliminano le incognite semplicemente sommando oppure sottraendo a due a due le equazioni del sistema, dopo averle opportunamente moltiplicate oppure divise per numeri positivi o negativi in modo da determinare dei termini opposti. Esempio: ì4 x + 2y = 0 5 ìdivisione per due 3 Moltiplicazione per (-1) x + y = -1 î î 5 ì 2 x + y = somma delle equazioni: x - x x - y = 1 î 5 = x = 1 x = -5; y=- x y = - (- 5) = 2 L'esempio del metodo di riduzione mostra, come anche negli altri metodi visti, che si può ottenere la seconda soluzione (in questo caso la y) mediante la sostituzione della prima soluzione ottenuta (la x dell'esempio) in una qualunque

7 Sistemi e problemi, Pag. 7\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 delle equazioni del sistema. <<<<>>>> Sistemi di primo grado in due incognite. Sono formati da due equazioni di primo grado nelle due incognite moltiplicate dai rispettivi coefficienti numerici: Si può dimostrare (anche se l'argomento non è trattato per ora qui) che le due equazioni rappresentano graficamente due rispettive rette. Sistemi determinati: Un sistema di primo grado è determinato se ha una sola soluzione ovvero se è possibile calcolare i valori corrispondenti alle incognite. Questa proprietà si ha solo se i 3 coefficienti delle due equazioni non sono a due a due proporzionali fra loro. Gli esempi visti si riferiscono a sistemi determinati. Sistemi impossibili: ìax + by = c îa x + b y = c Sono quelli nei quali almeno una equazione risulta impossibile. Questo accade quando i coefficienti numerici delle incognite nelle due equazioni sono proporzionali fra loro. Esempio: ì3x + 4y = 1 î15x + 20y = 6 I coefficienti delle incognite nelle due

8 Sistemi e problemi, Pag. 8\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 equazioni sono proporzionali secondo il fattore 5: 15/3=20/4=5. Notiamo anche che i termini noti non rispettano la stessa proporzione: 6/1=6 Dividendo la seconda equazione per 5 e poi uguagliano tra loro i secondi membri si ha: ì3x + 4y = 1 ì3x + 4y = x + 4y = 1 = î 5 î 5 Sistemi indeterminati. Impossibile Un sistema di primo grado si dice indeterminato quando le sue soluzioni sono infinite e ciò accade quando i coefficienti di una equazione sono proporzionali a quelli dell'altra in modo che il sistema possa ricondursi ad una sola equazione in due incognite senza possibilità di ridurle ad una. ì 2x - 3 y = 3 Esempio di sistema indeterminato: î - 6x + 9y = - 9 Notiamo che in questo caso i coefficienti sono proporzionali a due a due secondo un fattore (-3): -6/2=9/(-3)=-3 Dividendo per tale fattore (-3) la seconda si ottiene un sistema formato dalla stessa equazione: ì î 2x - 3y = 3 2x - 9y = 3 Si può pensare che al variare di tutti i possibili valori attribuibili ad una delle due incognite (per esempio la x) l'altra incognita assuma dei valori corrispondenti tali per cui il

9 Sistemi e problemi, Pag. 9\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 numero di soluzioni siano infinite. <<<<>>>> Segue ora, in base a quanto detto sopra circa i sistemi e il loro numero di soluzioni, un classificazione basata sui rapporti dei coefficienti delle due equazioni. Un sistema di primo grado in due incognite: ìax + by = c îa x + b y = c risulta Determinato se Impossibile se Indeterminato se a b 1 1 ¹ a b a b c = ¹ a b c 1 soluzione 0 soluzioni a b c = = a b c soluzioni Sistemi fratti In sistemi nei quali almeno una delle equazioni è fratta, con almeno una incognita al denominatore, si risolvono con gli stessi metodi già visti, con l'importante differenza di dovere lavorare per eliminare i denominatori. Esempi di sistemi fratti riconducibili a sistemi di primo grado interi.

10 Sistemi e problemi, Pag. 10\10 Prof. I. Savoia - Giugno 2011 ì ì = - = 2 - A) CE: x ¹ y; x - y x - y 2x 3y 1 î - = - î2x - 3y = -1 ì1 = 2x - 2y ì1 + 2y = 2x ì2x = 1 + 2y î2x - 3y = -1 î2x - 3y = - 1 î1 + 2y - 3y = -1 ì2x = 1 + 2y ìx = ( 1 + 2y ) 2 = 5 2 é 5 S æ,2 öù ç - y = - 2 y = 2 ê ëè 2 ø ú î î û ( x y ) ( x y ) ì1 y ì 1 y + 1 = 2x æ 1 ö ç + = 2x B) CE: x ¹ 0 ; x 2x è x ø 2x îx - y = 2 îx - y = 2 ì2 + 2x = y ì2x - y = - 2 ì2 ( y + 2) - y = -2 îx - y = 2 îx = y + 2 îx = y + 2 ìy + 4 = - 2 ìy = -6 S [( 4, -6)] îx = y + 2 îx = 4 ìy ì y - = x = x x x C) CE : x ¹ 0, y ¹ 0; x + 2 x + 2 = 2 y = 2y î y î y ìy - 1 = x ìy = x + 1 ìy = x + 1 îx + 2 = 2y î x - 2y = -2 îx - 2 ( x + 1) = -2 ìy = 1 il sistema è impossibile essendo CE: x ¹ 0 îx = 0 <<<<>>>> L'autore si riserva di modificare o ampliare il presente lavoro.