Esercitazione di Matematica sui problemi di 1 o grado in una e in due incognite

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1 Esercitazione di Matematica sui problemi di 1 o grado in una e in due incognite 1. In un triangolo rettangolo isoscele l'ipotenusa e il perimetro misurano rispettivamente 0 cm e 50 cm calcolare l'altezza relativa all' ipotenusa.. Determinare il numero razionale che, triplicato e diminuito di 5, è pari alla sua quarta parte. 3. Un rettangolo ha il perimetro di 48 cm. Sapendo che una dimensione misura 10 cm, calcolare l'altra. 4. Il prezzo di un articolo, scontato del 5%, è di 100 euro. Qual è il prezzo iniziale? 5. Qual'è quel numero naturale il cui successore triplicato è uguale al doppio del suo predecessore aumentato di 9? 6. Qual è quel numero razionale che, diviso 3, è uguale al suo quadruplo più 10? 7. Qual è quel numero razionale il cui doppio, aumentato di 1, è uguale al doppio della somma del numero stesso più 7? 8. Qual è quel numero razionale che, diminuito della sua metà, è uguale al doppio aumentato di 1? 9. Qual è quel numero intero il cui quadruplo del successore è uguale al suo predecessore aumentato di 1? 10. Da una cisterna contenente vino, vengono estratti 3000 litri per un primo imbottigliamento. Sapendo che tale quantitativo corrisponde ai 5 del totale, calcolare quanto vino è presente nel serbatoio del travaso considerato. 11. In un rettangolo base e altezza hanno loro somma uguale a 45 cm e una è i 4/5 dell'altra. Calcolare le dimensioni del rettangolo. 1. Un articolo viene venduto al prezzo di 300 euro. Sapendo che tale prezzo è ottenuto maggiorando il prezzo originario del 15%, calcolare il prezzo originario e a quanto ammonta la maggiorazione praticata. 13. Un numero razionale supera un altro numero di 16. Sapendo che la somma tra il primo e il doppio del secondo uguaglia 0, cal calcolare i due numeri. 14. La somma di numeri interi è 7 e la loro dierenza è 5. Calcolare i due numeri. 1

2 15. In un triangolo rettangolo la somma dei cateti è cm e uno supera di 1 cm il doppio dell'altro. Calcolare perimetro ed area del triangolo. 16. Un quadrato ha il perimetro congruente a quello di un rettangolo la cui base misura 10 cm. Sapendo che l'altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato, calcolare area e il perimetro di entrambe le gure considerate. 17. Due numeri interi sono tali che la somma del primo più il successivo del secondo è uguale a 3 e la loro dierenza è. Calcolare i due numeri. 18. Calcolare l'area del triangolo isoscele in cui l'altezza supera di 5 cm la base che è i 4 5 dell'altezza stessa. 19. Un numero più il quadrato di un secondo numero è uguale al quadrato del successivo ancora del secondo numero. Sapendo che il quadruplo del primo numero uguaglia 1 diminuito del doppio del secondo, calcolare i due numeri. 0. In un negozio, acquistando due articoli si spendono 170 euro. Sapendo che il prezzo del secondo, diminuito di un importo pari al 30% del primo articolo, è di 45 euro, calcolare i prezzi unitari.

3 Risoluzione degli esercizi Procediamo ad una risoluzione dei problemi posti tenendo presente che va individuata l'incognita (o le incognite) da determinare ottenendo una equazione di primo grado (o un sistema di equazioni) secondo i dati e le condizioni del problema stesso. 1. Indicando con x l'altezza relativa all'ipotenusa i e con A l'area del triangolo, si ha: da cui essendo i = 0 cm. A = ix = 0x A = 10x (1) Risulta, poi, c = P i = 50 0 = 30 = c = 30 = 15 cm avendo indicato con c e P le misure del cateto e del perimetro. L'area del triangolo rettangolo isoscele è, quindi, A = c = 15 5 cm che, sostituita nella (1), conduce all'equazione 5 = 10x da cui x = 5 5 e, in denitiva, x = = 11, 5 cm che rappresenta 10 0 l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo.. Indicando on x il numero d a calcolare si ha che il suo triplo è 3x che, diminuito di 5, deve uguagliare la sua quarta parte x/4. Ciò conduce all'equazione = 3x 5 = x 4 = 4(3x 5) = x = 1x 0 = x = 1x x = 0 = 11x = 0 e, quindi, x = Indichiamo con x la dimensione incognita. Ricordando che, in un rettangolo il perimetro è la somma delle dimensioni ciascuna raddoppiata, si perviene alla equazione x + 0 = 48 = x = 48 0 = x = 8 = x = 8 e, quindi, l'altra dimensione misura 14 m. = x = Ricordando che il prezzo scontato è pari a quello iniziale meno il 5% di quest'ultimo ed indicando con x il prezzo iniziale (incognita da calcolare), si perviene alla equazione: 100 = x 5%x 3

4 da cui, essendo il 5% = 5/100 = 1/4 e rileggendo l'uguaglianza da destra verso sinistra, x x = 100 = 4x x = 4800 = 3x = 4800 = x = = x = Il prezzo iniziale è, dunque, di 1600 euro. 5. Indicando con x il numero da determinare, tenendo conto che successore e predecessore sono x + 1 e x 1 rispettivamente, si ha: 3(x+1) = (x 1)+9 = 3x+3 = x +9 = 3x x = +9 3 = x = 4 Osservazione. Si noti che, nel caso l'equazione avesse condotto al calcolo di un valore negativo o frazionario per l'incognita, il problema non avrebbe ammesso soluzione pur non essendo impossibile l'equazione formulata per la sua risoluzione. 6. Posto x quale il numero incognito, tenendo conto dei dati e della relazione richiesta, si perviene all'equazione: x 3 = 4x+10 = x = 1x+30 = 1x x = 30 = 11x = 30 = x = Indicando con x il numero da calcolare, si ha: x+1 = (x+7) = x+1 = x+14 = x x = 14 1 = 0x = 13 Quest'ultima è un'equazione impossibile sicché il problema non ammette soluzione. 8. Indichiamo con x il numero da determinare. In base ai dati del problema, si ha: x x = x+1 = x x = 4x+ = x 4x = 1 = 3x = 1 = x = Indichiamo con x il numero incognito. In base ai dati del problema, si perviene all'equazione: 4(x 1) = (x+1)+1 = 4x 4 = x+1+1 = 4x x = +4 = 3x = 6 = x = 6 3 = e, quindi, il numero cercato è x =. 10. Indicando con x il totale da determinare, in base ai dati, si ha: 3000 = 5 x = x = = x = 7500 Pertanto, il serbatoio contiene 7500 litri iniziali. 4

5 11. Indicando con x e y le dimensioni, in base ai dati del problema, si ha: x + y = 40 x = 4 5 y da cui il sistema lineare { x + y = 45 x = 4 5 y che risolto, ad esempio per sostituzione essendo x già ricavata nella seconda equazione, conduce alla soluzione { x = 5 y = 0 Dunque le dimensioni del rettangolo sono 5 cm e 0 cm. 1. Indichiamo con x il prezzo originario e con y la maggiorazione. In base ai dati, si ha: { x + y = 300 y = x = { x + y = 300 y = 3 0 x Risolvendo il sistema, ad esempio col metodo di sostituzione essendo già ricavata y nella seconda equazione che può essere immediatamente sostituita nella prima, si ha: { x = 000 y = 300 Pertanto il prezzo originario è di 000 euro ed è stato maggiorato di 300 euro corrispondenti al suo 15%. 13. Indicando con x e y i due numeri, in base ai dati e alle relazioni del problema, si ha: x = y + 16 x + y = 0 da cui il sistema lineare { x = y + 16 x + y = 0 che risolto, ad esempio col metodo di riduzione (sottraendo dalla seconda equazione la prima dopo aver trasportato y al primo membro e, successivamente, calcolando anche la x sostituendo il valore della y in una delle due equazioni), conduce alla coppia soluzione x = 5 3 y = 4 3 5

6 14. Indicando con x ed y i due numeri, in base ai ndati del problema, debbono valere contemporaneamente le relazioni x + y = 7 e x y = 5 e, quindi, i nunmeri incogniti sono dati dalle soluzioni del sistema { x + y = 7 x y = 5 risolto, come si determina con uno dei metodi di risoluzione per sistemi lineari, dalla coppia (x, y) = (6, 1). Pertanto in due numeri sono 1 e Indicando con x e y la misura dei cateti, in base ai dati del problema, si ha: x + y = x = y + 1 da cui il sistema lineare { x + y = x = y + 1 che risolto, ad esempio per sostituzione essendo x già ricavata nella seconda equazione, conduce alla soluzione { x = 5/3 y = 1/3 Dunque i cateti misurano 5 3 cm 1.67 cm e 1 3 cm 0.34 cm. Calcoliamo, adesso, l'area A del triangolo avendosi A = xy = = 5 18 cm 0.8 cm Per procedere al calcolo del perimetro P, occorre calcolare l'ipotenusa i. Dal teorema di Pitagora, si ricava: i = x + y = = da cui P = x + y + i = 3, 71 cm 16. Indicando con l il lato del quadrato e con h l'altezza del rettangolo, in base ai dati del problema, si ha: 4l = h + 0 h = l essendo h + 10 = h + 0 il perimetro del rettangolo. 6

7 Dunque, si perviene al sistema lineare nelle incognite l, h: { 4l = h + 0 h = l Risolvendo il sistema, ad esempio per sostituzione, si trova { l = 0/ h = 10/ Ne consegue che perimetro ed area del quadrato sono dati da P Q = 4l = = 6.68 cm A Q = l = (6.67) = cm mentre area e perimetro del rettangolo sono dati da A R = bh = 10h = = 33.4 cm (b = 10 è la base) P R = h + 0 = = 6.68 cm 17. Indicando con x e y i due numeri e tenendo presente che il successivo di y è y + 1 e le altre relazioni imposte dal problema, si perviene al sistema lineare: { x + (y + 1) = 3 x y = = { x + y = x y = la cui soluzione è x =, y = 0 costituenti i due numeri cercati. 18. Indicando con b la base e con h l'altezza, in base ai dati del problema, si perviene al sistema lineare nelle incognite b, h { h = b + 5 { h b = 5 b = 4 5 h = b = 4 5 h Risolvendo il sistema (ad esempio per sostituzione essendo già ricavata b nella seconda equazione), si trova b = 0 cm, h = 5 cm da cui l'area del triangolo A = bh = 50 cm. 19. Indicando con x e y i due numeri, in base alle condizioni imposte dal problema, deve aversi x + y = (y + 1) 4x = 1 y e, cioè, il sistema lineare { x + y = (y + 1) 4x = 1 y 7

8 che, in forma normale (sviluppando il quadrato di binomio al secondo membro della prima equazione e trasportando tutti i termini con le incognite al primo membro di entrambe le equazioni), si scrive come { x y = 1 4x + y = 1 che ammette come soluzione la coppia (x, y) = ( 5, 3 ). 10 La soluzione trovata non è accettabile poiché i due numeri debbono essere interi o, quantomeno, deve esserlo il secondo poiché il successivo è un concetto che riguarda solo i numeri interi. In denitiva, il problema non ammette soluzione pur essendo determinato il sistema cui si è pervenuti. 0. Indicando con x ed y il prezzo dei due articoli, si ha (in base alle due relazioni del problema poste nell'ordine di elencazione): { x + y = 170 { x + y = 170 x 30 = y = x 3 10 y = 45 Risolvendo il sistema e scrivendo le soluzioni razionali in forma decimale tenendo conto dell'approssimazione a due decimali che si fa per l'euro, si determinano i due prezzi: x = 73, 85 euro, y = 96, 15 euro. 8