Esercitazione di Matematica sui sistemi lineari 2 2 e 3 3

Transcript

1 Esercitazione di Matematica sui sistemi lineari e Esercizio 1. Risolvere i seguenti sistemi lineari : { 5x + y = 6 (a) x + y = 8 ; { x + 5y = 4 4x 7y =. Esercizio. sistemi: (a) { x + y = 6 x y = 1 ; { 5x + y = 10 7x 6y = 1. Risolvere, sia per via analitica sia per via graca, i seguenti Esercizio. Risolvere i seguenti sistemi riconducibili a sistemi di 1 grado: (a) { x 1 + y 5 7x 5y = (x + ) (x + 4)(x 4) = y + ; { y(y + ) + (x + 5)(5x + 6) 8 = 9x(x + 1) 16x + x + y y = 4x 1 Esercizio 4. Risolvere i seguenti sistemi lineari : x + y + z = 1 (a) 5x + 10y + 10z = 1 ; 6x y 7z = x + y + 4z = 5 x + y 6z = 4x + 5y + z = 5.. 1

2 Risoluzione degli esercizi Esercizio 1. (a) Metodo di sostituzione. Ricavando y dalla prima equazione e sostituendola nella seconda, si ha: x + (6 5x) = 8 x x = 8 1x = 8 18 { { y = 6 5x y = 6 5x { y = 6 5 = 6 10 = 4 1x = 6 x = 6 1 = x = e, in denitiva, la soluzione del sistema è data dalla coppia (x, y) = (, 4). Metodo del confronto. Ricavando y sia dalla prima sia dalla seconda equazione, si ha: 8 x y = da cui, confrontando le due equazioni, 6 5x = 8 x (6 5x) = 8 x Riducendo quest'ultima a forma normale, si ottiene: 18 15x = 8 x. 1x + 6 = 0 1y = 6 x = 6 1 = Sostituendo x = in una delle due equazioni, si calcola anche la y data da y = 4 ottenendo la coppia soluzione (x, y) = (, 4) come già trovato col metodo di sostituzione. Metodo di riduzione. Sottraendo alla seconda equazione il triplo della prima allo scopo di eliminare la y, si ottiene { (5x + y = 6) x + y = 8 { 15x y = 18 x + y = 8 1x = 6 e, da quest'equazione, x = 6 = che, sostituita in una delle due 1 equazioni originarie, conduce anche al calcolo della y. Sostituendo nella prima, si trova 10 + y = 6 da cui y = 4 sicché il sistema è risolto dalla coppia (x, y) = ( 1, 1) come già calcolato con gli altri due metodi. Si noti che, per determinare y, si può eliminare x dalla seconda equazione moltplicandola per 5 e sottraendovi il doppio della prima pervenendo all'equazione 1y = 5 da cui y = 5 1 = 4.

3 Metodo di Cramer. Risulta per cui D = 5 1 = 5 = 15 = 1 0 D x = = 6 1 ( 8) = = 6 D y = = ( 8) 6 = 40 1 = 5 x = D x D = 6 1 = y = D y D = 5 1 = 4 come ottenuto con gli altri metodi sopra applicati. Procedendo ad un'applicazione dei quattro metodi analogamente alla precedente lettera (a), si ha la soluzione (x, y) = ciascuna applicazione. ( 19 17, 6 ) 17 con Esercizio. (a) Risolviamo il sistema per riduzione, nella variante detta anche di addizione e sottrazione, eliminando y dalla seconda equazione addizionandovi la prima: { x + y = 6 x y = 1 5x = 7 e, da questa equazione, x = 7 5 x = 7 5 che, sostituita in una delle due equazioni originarie, conduce anche al calcolo della y pervenendo alla soluzione del sistema. y = 16 5 La risoluzione per via graca comporta il disegno delle rette r : x+y = 6 (in forma esplicita y = x+6) ed s : x y = 1 (in forma esplicita y = x 1) e, dall'esame del graco, si evince che le rette sono incidenti in P (7/5, /5) che rappresenta la soluzione del sistema. La situazione graca è rappresentata nel diagramma cartesiano di Fig. 1. Risolvendo il sistema col metodo di Cramer, si ha: D = = 0 14 = 44 0 D x = = 60 4 = 84

4 da cui D y = = = 10 x = D x D = = 1 11 y = D y D = = 5 Tracciando, in uno stesso diagramma cartesiano, le rette r (in forma esplicita y = 7 6 x ) ed s (in forma esplicita y = 5 x + ), rappresentate dalle equazioni del sistema, si procede alla risoluzione col metodo graco esaminando la situazione riportata nella seguente Fig.. Graci delle rette dell'esercizio. Figura 1: Graco delle rette r ed s rappresentate dalle equazioni del sistema (a) che è risolto dalle coordiate di P 0 punto d'incidenza delle rette. 4

5 Figura : Graco delle rette r ed s rappresentate dalle equazioni del sistema che è risolto dalle coordiate di P 0 punto d'incidenza delle rette. Esercizio. (a) Portiamo dapprima il sistema in forma normale liberando dai denominatori la prima equazione, semplicando le espressioni letterali nella seconda e trasportando i termini con le incognite al primo membro e i termini noti al secondo in entrambe le equazioni: { 6(x 1) + y (5 7x 5y) + 18 = 1 1 x + 4x + 4 (x 16) = y + { 6x + y + 14x + 10y = x y = 0 { 6x 6 + y = 10 14x 10y + 18 x + 4x + 4 x + 16 = y + { 0x + 11y = 4 4x y = 18 Risolvendo quest'ultimo, ad es. per sostituzione ricavando y dalla seconda equazione (y = 4x + 18) e sostituendola nella prima per poi tornare alla y una volta risolta l'equazione in x così ottenuta, si trova la soluzione (x, y) = ( 9/8, 7/). Portiamo dapprima il sistema in forma normale analogamente alla precedente lettera (a). Così facendo, si ha: { 5x + y = 4 x + 7y = 6 5

6 Risolvedo quest'ultimo, ad es. per sostituzione ricavando x dalla seconda equazione (= 7y 6) e sostituedola nella prima per poi tornare alla x una volta ( risolta l'equazione ) in y così ottenuta, si trova la 8 soluzione (x, y) = 4, Esercizio 4. (a) Procediamo per sostituzione ricavando x dalla prima equazione e sostituendola nelle altre due: x = 1 y z 5(1 y z) + 10y + 10z = 1 6(1 y z) y 7z = x = 1 y z 5y = 1 5 0y 19z = 6 x = 1 y z 5 15y 10z + 10y + 10z = y 1z y 7z = x = 1 y z 5y = 4 0y + 19z = 4 avendo cambiato segno a seconda e terza equazione nello scrivere l'ultimo sistema. Dalla seconda equazione, si ricava y = 4 5 conduce a z = Ne consegue x = 1 y z = ( 95 = 1 95 dunque, risolto dalla terna (x, y, z) = 1 95, 4 ) 5, che, sostituita nella terza, e il sistema è, Ricavando z dalla terza equazione e sotituendola nelle altre due, si ha: 5 4x 5y x + y + 4 = 5 x + y + (5 4x 5y) = 5 5 4x 5y x + y 6 = x + 5y (5 4x 5y) = 5 4x 5y 5 4x 5y z = z = x + y x 10y = 5 6x 7y = 5 x + 5y x + 15y = 15x + 5y = 1 5 4x 5y z = 5 4x 5y z = Risolvendo il sistema (sotto-sistema di quello ), costituito dalle prime due equazioni con uno dei quattro metodi applcati nell'esercizio 1., si trova x =, y = 1 che sostituite nella terza equazione, conducono al calcolo di z = 1 e, quindi, il sistema di partenza è risolto da (x, y, z) = (, 1, ). 6