Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1

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1 Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria R. Vitolo Dipartimento di Matematica Università di Lecce SaLUG! - Salento Linux User Group Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1

2 Introduzione OCTAVE è un programma per il calcolo matriciale (e non solo). Le sue caratteristiche sono: è a linea di comando; è software libero (e gratuito); è facilmente installabile; è semplice da apprendere. NOTA: L utilizzo di un programma non si apprende con un manuale, ma lavorando con il programma al calcolatore. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 2

3 Primi Passi Come si ottiene aiuto su di un comando? Basta scrivere al terminale > help nomecomando Come si introduce una matrice? Basta scrivere al terminale la matrice: > A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] L aggiunta di un ; alla fine sopprime l output del terminale. La matrice rimane in memoria, fino a che non viene cancellata o rimpiazzata, o il programma viene chiuso. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 3

4 Primi passi Come si selezione un elemento di matrice? Con i suoi indici: A(2,3) stampa il valore 6. Come si inserisce una matrice complessa? Basta inserire i numeri complessi senza spazi così: > C=[1+ i 2 2 i ; 3+ i 0.5+ i ] Come si ottiene la matrice trasposta? A. Come si crea un vettore colonna? Così: > pippo = [ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ] oppure così: > pippo =[ ] Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 4

5 Primi passi Come si ottengono le dimensioni di una matrice? > [m, n ]= size ( pippo ) Quali operazioni tra matrici sono disponibili? +,,,ˆ,, \, /. Si inserisca un altra matrice B di tipo e si calcoli A+B, A B, A B. Che cos è la divisione matriciale? Equivale a risolvere un sistema lineare: > b=[1 2 3 ] > A=[1 2 1; 2 3 5; 8 0 2] > X=A \ b Si effettui la verifica A X=b. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 5

6 Primi passi Ci sono matrici predefinite? Si: eye(n), zeros(m,n), rand(m,n), diag, triu e tril, ecc.. Come si crea una matrice di tipo 5 5 di numeri pseudocasuali compresi tra 0 e 100? Così: E= f l o o r (100 ( rand ( 5, 5 ) ) ) Come si seleziona una sottomatrice? Si consideri la sottomatrice di E formata dalle colonne 2 e 3 e dalle righe 3, 4, 5: E( 2 : 3, 3 : 5 ) I : indicano un ciclo a passo 1. La prima riga si può ottenere da E (1,:). Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 6

7 Il workspace Come si visualizzano le variabili? who. Come si salvano le variabili? save. Come si cancellano le variabili? Così: clear A oppure clear all. Come si ricaricano le variabili salvate? load nomefile.mat Come si misura il tempo di calcolo? Così: > t1=cputime ; X=A \ b ; cputime t1 Come si seleziona il formato di output? format Qual è la precisione del programma? eps. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 7

8 Problemi Problema 1. Si moltiplichino le matrici A e B, dove A è la matrice quadrata che ha per diagonale il vettore (1, 2, 3) e 1 2 B = SOLUZIONE. > s o l =diag ( [ 1 2 3]) B Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 8

9 Problemi Problema 2. Si verifichi che il determinante di A = calcolato con la regola di Laplace è uguale al determinante di A calcolato con la funzione det. SOLUZIONE. Si ha det(a)=166. Si usa la quarta riga per sviluppare det(a): si ottiene > temp=1 det (A( 1 : 3, [ ] ) ) 9 det (A( 1 : 3, [ 1 2 4])) 3 det (A ( 1 : 3, 1 : 3 ) ) Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 9

10 Problemi Problema 3. Si verifichi che il determinante di A cambia segno se si scambiano due righe. SOLUZIONE. Si utilizzi l assegnazione > temp=a ( [ ], : ) per effettuare lo scambio di righe. Problema 4. Si verifichi che il determinante di A è moltiplicato per 5 se si moltiplica la prima riga per 5. Che succede se si moltiplica A per 5? Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 10

11 Problemi Problema 5. Data la matrice B = , si verifichi la regola di Binet per il prodotto AB. Problema 6. Si verifichi che AB BA, (AB) T A T B T ma che (AB) T = B T A T. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 11

12 Problemi Problema 7. Si calcoli la matrice inversa della matrice D = mediante la matrice dei complementi algebrici. SOLUZIONE. Si calcola solo il primo complemento algebrico > D11=( 1) (1+1) det (D( 2 : 3, 2 : 3 ) ) L inversa sarà data da > E=( det (D) ) ( 1) ([D11 D12 D13 ; D21... ] ) Si verifichi che questa coincide con la matriceinv(d). Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 12

13 Problemi Problema 8. Si calcoli il rango della matrice F = utilizzando il teorema degli orlati (o di Kronecker). SOLUZIONE. Si trovino minori di F di dimensioni crescenti con determinante diverso da 0. Si calcolino gli orlati di questi per stabilire il rango. Si confronti la soluzione ottenuta con quella che si ha dal comando rank. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 13

14 Problemi Problema 9. Date le matrici G = ( ) , H = ( ) provare che (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 14

15 La programmazione È possibile automatizzare le operazioni in OCTAVE in due modi: tramite i function files (o funzioni). Una funzione è scritta in un file di testo (anche col blocco note ); inizia con la riga function xyz dove xyz.m sarà il nome del file; è interpretata come il BASIC, non compilata come il FORTRAN o il c. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 15

16 La programmazione Esempio 1. Scrivere una funzione che stampi la frase ciao mondo sullo schermo. SOLUZIONE. function ciao p r i n t f ( ciao mondo\n ) ; endfunction L istruzione endfunction non è strettamente necessaria. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 16

17 La programmazione Esempio 2. Scrivere una funzione che calcoli il fattoriale di un numero n dato. SOLUZIONE. function v a l o r e = f a t t o r i a l e ( n ) i f ( n > 0) v a l o r e = n f a t t o r i a l e else v a l o r e = 1; end endfunction ( n 1); Si noti che la funzione è stata definita ricorsivamente. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 17

18 La programmazione Esempio 3. Scrivere una funzione che calcoli la media aritmetica di un vettore v dato. SOLUZIONE. function r e t v a l = media ( v ) r e t v a l = sum ( v ) / length ( v ) ; endfunction Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 18

19 La programmazione Esempio 4. Scrivere una funzione che calcoli la media aritmetica di un vettore v dato, effettuando prima un controllo sul tipo di dato. SOLUZIONE. function r e t v a l = mediacontr ( v ) r e t v a l = 0; i f ( i s v e c t o r ( v ) ) r e t v a l = sum ( v ) / length ( v ) ; else e r r o r ( mediacontr : dato non v e t t o r i a l e ) ; end endfunction Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 19

20 La programmazione Esempio 5. Scrivere una funzione (di due variabili) che calcoli l area di un rettangolo. SOLUZIONE. function [ A, p, d ] = r e t t a n g ( a, b ) A = a b ; p = 2 ( a + b ) ; d = sqrt ( a 2 + b 2 ) ; endfunction Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 20

21 La programmazione Esempio 6. Scrivere una funzione che crei una matrice triangolare superiore di numeri casuali compresi tra 0 e 100 di ordine n. SOLUZIONE. function a=mat sup ( n ) temporanea= f l o o r (100 rand ( n, n ) ) for end for end j =1:n i =1: j a ( i, j )= temporanea ( i, j ) ; endfunction Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 21

22 La programmazione Esempio 7. Scrivere una funzione di due variabili che risolva un sistema con matrice triangolare superiore. Iniziare la funzione con un test sulle variabili. SOLUZIONE. function x= t r i s u p ( a, b ) % C o n t r o l l a l e dimensioni d i a : [ n,m] = size ( a ) ; i f m = n end p r i n t f ( A non e quadrata ) return Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 22

23 La programmazione for i =1:n for j =1: i 1 i f a ( i, j ) =0 p r i n t f ( A non e t r i a n g o l a r e supe return end end end i f length ( b ) = n p r i n t f ( B non e c o m p a t i b i l e ) return end Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 23

24 La programmazione % Risolve i l sistema x ( n ) = b ( n ) / a ( n, n ) ; for i =n 1: 1:1 sum=b ( i ) ; for j = i +1:n sum = sum a ( i, j ) x ( j ) ; end x ( i ) = sum/ a ( i, i ) ; end endfunction Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 24

25 Problemi Problema 10. Scrivere una funzione che crei una matrice di ordine n che ha 2 sulla diagonale principale, 1 sulla sottodiagonale e sulla sopradiagonale e 0 altrimenti. Problema 11. Scrivere un programma che confronti la velocità di risoluzione di un sistema triangolare superiore usando, rispettivamente, la funzione dell esercizio precedente e la funzione di divisione matriciale di OCTAVE. Problema 12. Scrivere una funzione di due variabili (matrice incompleta e termine noto) che risolva un sistema con matrice triangolare inferiore. Iniziare la funzione con un test sulle variabili. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 25

26 Problemi Problema 13. Scrivere una funzione di una variabile (matrice quadrata) che calcoli il determinante con uno sviluppo di Laplace. Si confronti il tempo di esecuzione con il tempo di esecuzione della funzione det e con la funzione dell esercizio precedente. Problema 14. Scrivere una funzione di una variabile che calcoli l inversa di una matrice quadrata con il metodo di Cramer Laplace. Si confronti il tempo di esecuzione con il tempo di esecuzione della funzione inv. Problema 15. Scrivere una funzione di due variabili (matrice incompleta e termine noto) che risolva un sistema lineare a matrice quadrata con il metodo di eliminazione. Alla fine, si usi la funzione tri sup. Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 26