Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 5

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1 Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 5 Soluzioni Esercizio alcolare i determinanti delle seguenti matrici: 3 (a) A = 3 A (b) = A (c) = i i A 3 i i Soluzione (a) alcoliamo il determinante con il metodo di Laplace lungo l ultima colonna: 3 det A = = «= 4 (4 ) = 8 (b) In questo caso portiamo in forma a scala con operazioni elementari: = A r 3 r 3 r r 4 r 4 r 3 A 3 3 r 3 r 3 + r r 4 r 4 + 3r r 4 r 4 + 7r 3 A A = 7 6 Nella trasformazioni che abbiamo effettuato il determinante non varia Allora si ha det = det = 6 (c) Anche in questo caso scegliamo il metodo della trasformazione con operazioni elementari: i = i A r 3 r 3 r r 4 r 4 + ir i + i i A i i + i 3i r i 3 r 4 r 4 r 4 4r 3 i 4i 3 i A i + i A = r 3 r 3 ( + i)r r 4 r 4 ( + i)r i + i 9i Nell ultimo passaggio abbiamo messo insieme uno scambio di righe e un operazione elementare Lo scambio di righe determina il cambio del segno del determinante Quindi det = det = (i ( i) ( 9i)) = + 9i Esercizio alcolare il rango delle seguenti matrici utilizzando il teorema degli orlati: (a) A = 3 A (b) = A (c) = 4 4 A Soluzione (a) Osserviamo che in A si ha r 4 = r + r + 3r 3 Quindi det A = rga < 4

2 D altra parte c è un minore di ordine 3 non nullo ad esempio A 334 = = 8 rga = 3 3 (b) alcoliamo il rango di questa matrice con il metodo della riduzione a scala = A r 3 r 3 r A 3 3 r 4 r 4 r r 4 r 4 r 3 A A = La matrice è la riduzione a scala di e il suo rango è dato dal numero dei suoi pivot Si ha rg = rg = 3 (c) Osserviamo che in si ha r 4 = r 3 Quindi det = rg < 4 D altra parte c è un minore di ordine non nullo ad esempio = 4 = 4 rg 3 Gli orlati di tale minore sono 33 = 4 4 = 34 = = 43 = 4 = 44 = 4 4 = Poiché tutti gli orlati di un minore di ordine non nullo sono nulli si ha rg = Esercizio 3 Dire se le seguenti matrici sono invertibili e se lo sono calcolare la matrice inversa: 3 i i i i i (a) A = A (b) = A (c) = i A (d) D = i A 3 i 3 i Soluzione (a) alcoliamo il determinante di A con Laplace lungo la seconda colonna: det A = = (4 ) = 4 Quindi A è invertibile I complementi algebrici degli elementi di A sono a = = a = = a 3 = = a = 3 = 4 a = 3 = a 3 = = a 3 = 3 = 4 a 3 = 3 = 4 a 33 = = 4

3 Dunque la matrice aggiunta di A (ricordiamo che è la trasposta della matrice ottenuta sostituendo ad ogni elemento il suo complemento algebrico e si denota con A ) è 4 4 A = 4 A 4 Quindi la matrice inversa di A è A = det A A = A = / /4 A 4 4 / ome conferma si può fare una verifica diretta osservando che AA = A A = I 3 (b) alcoliamo il determinante di con la regola di Sarrus: det = = 7 Quindi è invertibile I complementi algebrici degli elementi di sono b = 3 = b = 3 = 4 b 3 = = b = 3 = 5 b = 3 = b 3 = = 3 b 3 = = 3 b 3 = = b 33 = = Dunque la matrice inversa di è = det = 5 3 /7 5/7 3/7 4 A = 4/7 /7 /7 A 7 3 /7 3/7 /7 (c) alcoliamo il determinante di con la regola di Sarrus: det = 3i + + i i 3 = i + i = i Quindi è invertibile I complementi algebrici degli elementi di sono c = i i 3 = 4 c = i 3 = i c 3 = i = c = i i 3 = c = 3 = i c 3 = i i = c 3 = i i = i c 3 = i = c 33 = i = i Possiamo effetturare una specie di razionalizzazione sulla frazione / det (in realtà se la razionalizzazione classica ha lo scopo di trasformare i denominatori da irrazionali a razionali qui stiamo trasformando il denominatore da complesso a reale quindi potremmo parlare di realizzazione ): Allora la matrice inversa di è = det = i det = i = i i = i 4 i i i i i A = / / i/ A i i/ i/ / (d) alcoliamo il determinante di D con la regola di Sarrus: det D = i + + i i 3 = + i i =

4 Quindi D è invertibile I complementi algebrici degli elementi di D sono d = i i = d = i = i d 3 = i = d = i i i = + i d = = i d 3 = i i i = i d 3 = i i i = i d 3 = i = d 33 = i i = i Dunque la matrice inversa di D è D = det D D = D = + i i i i i i Esercizio 4 Discutere al variare del parametro reale k l invertibilità delle seguenti matrici e per i valori di k per cui sono invertibili calcolare l inversa (eventualmente in funzione di k): 3 k k k (a) A = A (b) = k A (c) = A (d) D = A k k Soluzione (a) Si ha det A = k Quindi A è invertibile se e solo se k / Si ha a = a = k a 3 = a = k a = k 3 a 3 = a 3 = a 3 = 5 a 33 = A Dunque per k / l inversa di A è A = det A A = k k k 3 5 A = k k k k 3 k (k ) k 5 k A k (b) Si ha det = k Quindi è invertibile se e solo se k Si ha b = b = b 3 = k b = b = b 3 = b 3 = k b 3 = b 33 = k Dunque per k l inversa di è = det = k A = k k k (c) Si ha det = k Quindi è invertibile se e solo se k Si ha k k A Dunque per k l inversa di è = det = k c = c = c 3 = c = c = k c 3 = c 3 = k c 3 = c 33 = k k k k A = /k A

5 (d) Si ha det D = k Quindi D è invertibile se e solo se k Si ha d = k d = d 3 = d = k d = k d 3 = k d 3 = d 3 = k d 33 = Dunque per k l inversa di D è D = det D D = k k /k /k k k A = /k ( k)/k /k A k k Esercizio 5 Si consideri il sistema di 3 equazioni in 4 incognite la cui matrice completa è k k k k k A k k (a) Risolvere il sistema al variare del parametro k R (b) Per quali valori di k l insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di R 4? (c) Per tali valori di k determinare la dimensione e una base del sottospazio delle soluzioni Soluzione (a) Scriviamo esplicitamente il sistema usando come incognite x y z e w: 8 < x + ky kz = k kx + y kw = : x + ky z + kw = Un minore di ordine non singolare della matrice dei coefficienti A (e dunque anche della matrice completa ) si ottiene ad esempio scegliendo le righe e 3 e le colonne e 3: «R = k Infatti det R = Quindi rg(a) onsideriamo ora un minore di ordine 3 che orla R Aggiungiamo la prima riga e la quarta colonna: k k R 3 = k A k k Si ha det R 3 = + k 3 + k + k = k 3 Possiamo allora distinguere due casi Se k si ha det R 3 dunque rga = 3 e rg = 3 Per il teorema di Rouché-apelli il sistema ammette 4 3 = soluzioni La variabile libera è quella corrispondente alla colonna di A fuori dal minore principale R 3 ovvero x Allora poniamo x = λ e il sistema diventa 8 < ky kz = k λ y kw = kλ : ky z + kw = λ Fissato λ R questo è un sistema quadrato nelle incognite y z e w la cui matrice dei coefficienti è R = R 3 non singolare Per il teorema di ramer questo ammette una soluzione (ȳ z w) con ȳ = det Ry det R det Rz z = det R e w = det Rw det R

6 dove R y (risp R z R w) è la matrice che si ottiene da R sostituendo la colonna dei coefficienti di y (risp z w) con la colonna dei termini noti Dunque k λ k det R y = kλ k λ k = λk + k(k + λ) λk 3 = k + λk( k k ) k k λ det R z = kλ k k λ k = λk3 + k (k + λ) λk + k(k + λ) = k (k + ) + λk( k ) k k k λ det R w = kλ k λ = λk3 + (k + λ) λk λk = k + λ( k k + k 3 ) = = k + λ( k)( k ) = k + λ(k + )(k ) Allora ȳ = k + λk( k k ) k 3 = k + λ k k k z = k (k + ) + λk( k ) = k + + λ k k 3 k k k + λ(k + )(k ) w = = (k + )(k ) + λ k 3 k k 3 Dunque per k la generica soluzione del sistema è k k k (x y z w) = λ + λ k + + λ k «(k + )(k ) + λ k k k k k 3 = k k + k «+ λ k k «k (k + )(k ) k k k k 3 e l insieme delle soluzioni è j k k + k «+ λ k k k k k k «ff (k + )(k ) : λ R k 3 (per ogni fissato k si tratta di una retta di R 4 passante per il punto ( /k (k + )/k /k )) Se k = la matrice e il sistema diventano rispettivamente 8 < x = A e y = : x z = La generica soluzione è (x y z w) = ( λ) Dunque l insieme delle soluzioni è {λ( ) : λ R} (si tratta di una retta di R 4 passante per l origine precisamente l asse w) (b) L insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale se e solo se il sistema è omogeneo e questo avviene se e solo se k = Quanto visto nel quesito (a) dà un ulteriore conferma di questo fatto (c) Se k = l insieme delle soluzioni è l asse w dunque una sua base è costituita dal vettore ( ) e la sua dimensione è Esercizio 6 Per ogni n Z consideriamo il numero complesso z n = ( + i) n (a) Scrivere z n nella forma trigonometrica ρ n(cos θ n + i sin θ n) e nella forma x n + iy n Per ogni n Z sia P n = (x n y n) il punto che rappresenta z n nel piano dei complessi (b) alcolare l area racchiusa dalla spezzata P P P mp dove m = min{n > : z n R + } (c) alcolare l area racchiusa dalla spezzata P P P mp Soluzione (a) Il modulo di + i è e il suo argomento è π/4 Dunque + i = cos π 4 + i sin π «4

7 In generale si ha [ρ(cos θ + i sin θ)] n = ρ n [cos(nθ) + i sin(nθ)] (formula di De Moivre) Dunque ( + i) n = ( ) n cos nπ 4 + i sin nπ «= n/ cos nπ i sin nπ «4 Per scrivere (+i) n nella forma x n+iy n osserviamo l andamento di cos(nπ/4) e sin(nπ/4) al variare di n Tali funzioni sono periodiche (con periodo uguale ad 8) e per i primi valori di n valgono n cos(nπ/4) / / / / sin(nπ/4) / / / / Osserviamo dunque che ( + i) n si può scrivere in modo elegante separando i casi in base al resto della divisione di n per 4 Se n = 4m con m intero si ha ( + i) n = n/ ( ) m = m ( ) m = 4 m ( ) m = ( 4) m Se n = 4m + con m intero osservando che n/ (/ ) = n/ / = (n )/ si ha ( + i) n = n/ ( ) m (/ )( + i) = (n )/ ( ) m ( + i) = m ( ) m ( + i) = ( 4) m ( + i) Analogamente per n = 4m + si ottiene ( + i) n = n/ ( ) m i = m+ ( ) m i = 4 m ( ) m i = ( 4) m i Infine per n = 4m + 3 si ottiene ( + i) n = n/ ( ) m (/ )(i ) = (n )/ ( ) m (i ) = m+ ( ) m (i ) = ( 4) m (i ) Riassumendo si ha 8 ( 4) m se n = 4m >< ( + i) n ( 4) m ( + i) se n = 4m + = ( 4) >: m i se n = 4m + ( 4) m (i ) se n = 4m + 3 (b) Si ha m = 8 Infatti dalla formula si vede che gli unici n per cui z n R sono i multipli di 4 e in particolare z n R + se e solo se n è multiplo di 8 I punti P n per n da a 8 sono ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 4) ( 8) (8 8) (6 ) L area della regione racchiusa dalla spezzata (una specie di ammonite) è la somma delle aree dei triangoli OP np n+ per n da a 7 Il triangolo OP np n+ è rettangolo e isoscele con cateto di lunghezza z n = n/ dunque la sua area è ( n/ ) / = n Allora l area richiesta è 7X n = n= 7X n= n = 8 = 55 = 8 «dove abbiamo usato la formula per la somma di termini in progressione geometrica: + x + x + + x n = xn+ x (c) La figura che si ottiene in questo caso è simile (in senso geometrico) a quella del quesito precedente Per determinare il fattore di scala lineare osserviamo che z n+8 = ( + i) n+8 = ( + i) 8 z n = 6z n ioè se n aumenta di 8 il numero z n si espande di un fattore 6 Dunque il fattore di scala lineare tra le due figure è 6 e il rapporto tra le loro aree è 6 = 8 Quindi l area richiesta è 55 8 = 55 = 5 «5 wwwmatuniromait/~incitti/9/algebralineare