Sistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo

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1 Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico ,

2 1 2 3 con R.C.+ o 1.10

3 Rango massimo e determinante con R.C.+ o 1.10 Theorem (di Rango massimo) Una matrice quadrata A, di ordine n (cioè n n) ha rango massimo n se se solo se det A 0. Dim La matrice A ha rango n se e solo se è equivalente a una matrice a gradini B con n gradini, quindi triangolare con elementi tutti non zero sulla diagonale. Perciò det B che è il prodotto di tali elementi è non zero e quindi è non zero det A che è un suo multiplo per un coefficiente diverso da zero. Viceversa A ha rango k minore di n se è equivalente a una matrice quadrata B con k gradini, quindi con det B = 0, perciò anche det A = 0.

4 con R.C.+ o 1.10 Il permette di stabilire quando un sistema di n equazioni in n incognite (lo stesso numero di equazioni ed incognite) ha una sola soluzione e fornisce un metodo per determinarla attraverso il calcolo del determinante di opportune matrici quadrate. Si consideri un sistema di n equazioni in n incognite, con A = (a ij ) j=1...n i=1...n matrice dei coefficienti (quadrata di ordine n) e vettore dei termini noti b. Per ogni indice j con 1 j n si definiscono le matrici B j quadrate di ordine n, ottenute sostituendo la j esima colonna di A con la colonna dei termini noti.

5 con R.C.+ Theorem (di ) Il sistema di n equazioni in n incognite Ax = b ha una sola soluzione det A 0. In tal caso, la soluzione è il vettore x = ( x j ) n j=1 con x j = det B j det A. o 1.10

6 con R.C.+ o 1.10 o Dato il sistema x + y + z = 2 2x z = 1 x y + 3z = 0 Poichè det R 1 + R 3 = ( ) det = 10 0, 2 1 det, = il garantisce che il sistema ha una sola soluzione.

7 con R.C.+ o 1.10 Per determinarla calcoliamodet B 1 con Sarrus det B 1 = det = = calcoliamo det B 2 con Laplace rispetto alla terza riga det B 2 = det =1 ( 2 1) 0 + 3(1 4) == Calcoliamo det B 3 prima semplificando con C1 + C2 det B 3 = det =det =1 (2 4) =

8 con R.C.+ o 1.10 Allora ( la soluzione è data da: 1 10 det B 1, 1 10 det B 2, 1 ( 3 5, 6 5, 1 5 ). 10 det B 3, ) =

9 con R.C.+ o 1.10 o Studio il sistema Calcolo det x 2y + 4z = 2 3x + y + 5z = 1 2x + y + 3z = 2 = = 0, quindi, per, il sistema non è determinato, può essere impossibile o indeterminato

10 con R.C.+ o 1.10 Data una matrice A si definisce sottomatrice di A una qualunque matrice ottenuta da A cancellando righe e/o colonne. Data una matrice A si definisce minore di ordine k di A il determinante di una qualunque sottomatrice quadrata di A di ordine k. Theorem (di Kronecker) (a) Il rango di una matrice è uguale a r se e solo se esiste un minore di ordine r di A diverso da zero e tutti i di ordine r + 1 di A sono nulli. (b) Se la matrice A contiene una sottomatrice quadrata B di ordine r con determinante diverso da zero e tutte le sottomatrici quadrate di A ordine r + 1 che contengono B (dette orlate di B) hanno determinante uguale a zero, allora rango(a) = r.

11 con R.C.+ o 1.10 NOTA Si può definire rango della matrice A l ordine massimo dei non nulli che si possono estrarre da A. In tal caso il si riduce al punto (b), mentre diventa un teorema l affermazione che il rango di A è uguale al numero r di righe non nulle di una sua qualunque matrice a gradini equivalente per trasformazioni elementari per riga. Determinare il rango delle seguenti matrici mediante i. ( ) 1 1 i) A = 2 3 Poichè ( ) 1 1 det = 5 0il corrispondente minore è diverso 2 3 da zero Quindi per rango(a)=2 (massimo).

12 con R.C.+ o 1.10 ii) A = Poichè det A = 0, deve essere rango(a) 2. perchè non ci sono di ordine 3 non nulli. Prendendo (ad esempio) ( le prime) due righe e colonne 1 2 si ottiene la sottomatrice B =,con 4 5 det B = 3 0,quindi rango(a) = 2;

13 con R.C.+ o 1.10 iii) A = rangoa Poichè la matrice A è 3 4, Per applicare Kronecker consideriamo ad esempio la sottomatrice ottenuta da ( A cancellano ) l ultima riga e le 1 3 ultime due colonne :B =, essa ha 2 1 det B = 5 0. Le sottomatrici quadrate di A di ordine 3 che sono orlate di B sono: B 1 = 2 1 3, B 2 = Poichè det B 1 = det B 2 = 0 entrambe le matrici di ordine 3 che orlano B hanno determinante nullo e quindi rangoa = 2.

14 Ricordiamo che il teorema di (di Capelli) risolve il problema della risolubililità del generico sistema lineare Ax = b attraverso il calcolo del rango di A e di (A b), che si possono calcolare con il metodo di (in alternativa al metodo di Gauss) con R.C.+ Theorem (di Rouché Capelli) Il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b è risolubile rango (A) = rango (A b). o 1.10

15 con R.C.+ o 1.10 Inoltre, se il sistema è risolubile, detta k la caratteristica comune delle due matrici, per trovare le soluzioni si procede così: 1 si fissa una sottomatrice B di A, quadrata di ordine k con det (B) 0 (se rangoa = k, esiste certamente un minore non nullo di ordine k); 2 si considera un nuovo sistema di k equazioni in k incognite ottenuto considerando solo le k (delle m) equazioni relative alle righe di B e le k incognite (variabili effettive) relative alle colonne di B. Le restanti n k incognite (variabili libere) sono trattate come parametri; 3 si risolve il sistema così ottenuto di k equazioni in k incognite (con determinante della matrice dei coefficienti non nullo) utilizzando, ad esempio, il.

16 con R.C.+ o 1.10 Dato il sistema (A b) = x 2y + 4z = 2 3x + y + 5z = 1 2x + y + 3z = per applicare R.C. calcolo rango(a) con i det = = 0, quindi rango(a) < 3d altra parte il minore associato alla matrice B sottomatrice di ( A ottenuta ) cancellando l ultima riga e l ultima 1 2 colonna è det = = 7 0quindi 3 1,

17 con R.C.+ o 1.10 Controlliamo rango (A b) studiando i di ordine 3 ottenuti da orlati di B. Uno è A che da un minore 0, controlliamo l altro orlato che da di ordine 3. det C 2 + C 3 = det =1 ( ) 1 2 det = 7 0. Quindi 3 1 rango(a b) = 3 >rango(a) e per R.C. il sistema è quindi impossibile.

18 con R.C.+ o 1.10 Dato il sistema (A b) x + y + z = 1 2x + z = 0 6x + 2y = det A = det R R 2 det = = (6 6) = 0 quindi non si può applicare. Si ha rango(a) < 3.,

19 con R.C.+ o 1.10 ( ) 3 1 Il minore det = 2 0, quindi rango(a) = Calcolo il ( rango(a b) ) controllando l altro minore di ordine che orla det = 0 Quindi rango(a b) = 2=rangoA e quindi il sistema è indeterminato ed ha 1 soluzioni che dipendono da una variabile libera.

20 con R.C.+ o 1.10 Per determinare le soluzioni, si considera il sistema delle prime due equazioni (quelle corrispondenti al minore non zero) nelle prime due incognite (variabili effettive), ponendo z = s a parametro: { x + y = 1 s 2x = s che ha soluzione ( s 2, 1 3s 2 ). (Calcolo immediato, ma per esercizio ricontrollare con ). Quindi l insieme delle soluzioni è: Sol(A b) = {( s 2, 1 3s 2, s) s R}.

21 con R.C.+ o 1.10 Discutere la risolubità al variare del parametro reale k, e trovare le eventuali soluzioni del sistema usando il metodo di R.C.+ x + 2y z = 1 x + y + 2z = 0 2x y = 0 x y z = k. A è 4 3 quindi rango(a) 3mentre (A b) è 4 4 quindi rango(a b) 3 se e solo se det (A b) = 0

22 con R.C.+ o 1.10 det det det det k k 1 2k 1 + k k 1 2k 1 + k k k) R 4 kr 1 = = 1 C 1 + 2C 2 = k 2 4k 1 2k 1 + k ( =det 1 1 5k

23 con R.C.+ o 1.10 Quindi det (A b) = 1 11k. Quando 1 11k 0 il sistema è impossibile per R.C. Se invece k = 1, so solo che rango(a b) 3.Trovo il rango di A = , sicuramente rango(a) 2 ( ) 1 2 perchè il minore det = = 3 0.Considero 1 1 i degli orlati della precedente sottomatrice Sono:det e det devo vedere se uno di questi è diverso da zero

24 con R.C.+ o 1.10 det R 2 + 2R 1 = R 2 + 2R 1 = det = 1 ( 1 10) = quindi rango(a) = 3 = rango(a b). Poichè le variabili sono 3 il sistema risulta determinato, si può considerare il sistema equivalente dato dalle prime 3 equazioni, che è un sistema che si può risolvere con, la matrice completa associata è ora

25 con R.C.+ o 1.10 Calcolo det B 1 = det det B 2 = det det B 3 = det = 4, = 1. = 2,

26 con R.C.+ o 1.10 Quindi ( l unica soluzione ) per è det B1 11, det B 2 11, det B 3 11 = ( 2 11, 4 11, 11) 1.

27 con R.C.+ o 1.10 Discutere la risolubità e trovare le eventuali soluzioni del sistema: x + 2y + z w = 2 2x + 3y z = 2 2y + 4z w = 9 x + z + w = 6 Il sistema è quadrato, calcolo det A, se è diverso da zero si può applicare direttamente ma occorre calcolare poi altre 3 determinanti di matricci quadrate di ordine 4. La soluzione è il vettore (2, 1, 3, 1),

28 con R.C.+ o 1.10 o 1.10 Discutere la risolubità al variare del parametro reale k, e trovare le eventuali soluzioni del sistema x 3y w = 1 5x 5y + z + kw = 0 2x + 4y + z = 0 Il sistema è 3 4, quindi può solo essere indeterminato o impossibile. (A b) = k

29 con R.C.+ o 1.10 Il minore di A, det D = det rango(a) 2. ( ) 3 0 quindi Controllo i 2 di ordine 3 dati dagli orlati di D in A det = = det 5 1 k = k = 3(3 + k) Quindi per k 3 rango(a) = 3, per k = 3 rango(a) = 2.

30 con R.C.+ o 1.10 Controllo il terzo minore di di ordine 3 di (A b) ottenuto come orlato di D det = 1( 5 4) = 9 Quindi rango(a b) = 3 per ogni k. Perciò per k = 3 il sistema è impossibile, mentre per k 3, il sistema dipende da 4-3=1 parametri. Si pone a parametro la variabile che non compare nel minore di rango massimo di A scelto, quindi x = s.

31 con R.C.+ o 1.10 Quindi il sistema da risolvere con nelle variabili y, z, w risulta: 3y w = 1 5y + z + kw = 5s 4y + z = 2s con matrice completa k s 5s 2s Il determinante della matrice dei coefficienti che è 3(3 + k)..

32 con R.C.+ o 1.10 Calcoliamo ora 1 s s 0 1 det(b 1 ) = 5s 1 k = 3s 0 k = 2s 1 0 2s ( k ks 3s) = k + 3s + ks det(b 2 ) = 3 1 s s det 5 5s k =det 5 3k 5s k sk 4 2s 0 4 2s 1 (10s + 6ks + 20s + 4ks + 4k) = 30s 10ks 4k, det (B 3 ) = s s det 5 1 5s =det 5 1 5s = 4 1 2s 9 0 3s 9s s = 9,

33 con R.C.+ o 1.10 L insieme delle soluzioni del sistema è: {(s, det B 1 3(3+k), det B 2 3(3+k), det B 3 3(3+k) ) s R}= {(s, k+3s+ks 3(3+k), 30s 10ks 4k 3(3+k), 9 3(3+k) ) s R}