MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI

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1 MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI

2 LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne M = M è una matrice formata da 2 righe e 3 colonne. DEFINIZIONE: Se il numero delle righe coincide con quello delle colonne, la matrice è quadrata.

3 ELEMENTI DI UNA MATRICE L elemento di una matrice appartenente alla riga i e alla colonna j si indica con: Esempio: m ij M = m = DEFINIZIONE Dimensione di una matrice: dim = n o righe dim = 2 3 o n colonne

4 VETTORI I vettori sono delle matrici particolari: V = [ ] Vettore riga dim = 1 4 Vettore colonna dim = 4 1 V 4 8 = 1 3 La dimensione è differente!!!!

5 MATRICI PARTICOLARI(1/2) MATRICE NULLA: matrice composta da zeri. MATRICE IDENTITA : matrice quadrata avente gli elementi della diagonale principale uguali a 1. I 1 0 = 0 1 MATRICE SIMMETRICA: la matrice A è simmetrica se aij =aji per ogni i e j con i=j. S 1 2 = 2 3

6 MATRICI PARTICOLARI(2/2) MATRICE TRIANGOLARE: è una matrice quadrata i cui elementi al di sopra (m. triangolare inferiore) o al di sotto (m. triangolare superiore) della diagonale sono tutti nulli. T a11 a12 K a1 n 0 a K a 0 0 K K a nn 22 2n = Matrice triangolare inferiore MATRICE DIAGONALE: è una matrice in cui gli elementi aij sono nulli per ogni i e j con i=j. Si osservi che una matrice diagonale è simmetrica, ed è triangolare sia superiore che inferiore.

7 ALGEBRA DELLE MATRICI (1/3) 1. ADDIZIONE date 2 matrici A e B (stessa dimensione), si definisce la loro somma la matrice C i cui elementi sono le somme dei corrispondenti elementi di A e B: C = A+ B c = a + b ij ij ij 2. MOLTIPLICAZIONE PER UN NUMERO si definisce il prodotto di un numero reale λ per una matrice A come la matrice λa i cui elementi sono quelli di A moltiplicati per λ: C = λ A c = λa ij ij

8 ALGEBRA DELLE MATRICI (2/3) 3. PRODOTTO Siano M e N due matrici dello stesso ordine, si definisce il loro prodotto la matrice P i cui elementi pij si ottengono come somma dei prodotti degli elementi della riga i-esima di M per gli elementi della colonna j-esima di N. p p p p M = = 1*2 + 3*1+ 7*0 = 1*3+ 3*2 + 7*4 = 2*2 + ( 5)*1+ 1*0 = 2*3 + ( 5)*2+ 1*4 X N 2 3 = P 5 37 = M N = 1 0

9 ALGEBRA DELLE MATRICI (3/3) ATTENZIONE: Il prodotto tra matrici non è in generale commutativo!!! Il prodotto tra 2 matrici A e B può essere effettuato solo se il numero di colonne di A coincide col numero di righe di B: A= [ n m] B= [ m p] C = A B= [ n m] [ m p] = [ n p] es:( 2 x 3 ) ( 3 x 2 ) = ( 2 x 2 ) dimensione della matrice prodotto.

10 TRASPOSTA DEFINIZIONE: Si definisce matrice trasposta di A e si indica con A T la matrice i cui elementi aij sono gli elementi aji della matrice originaria. La matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne. M = M T 1 2 =

11 INVERSA E DETERMINANTE(1/2) DEFINIZIONE: Si definisce matrice inversa di A e si indica con A -1 la matrice (se esiste) tale che: 1 1 A A = A A= I Se una matrice A ammette inversa, allora A è detta INVERTIBILE o NON SINGOLARE. DEFINIZIONE: Si definisce determinante di una matrice A(2x2) la quantità a11 a12 A = det( A) = a11a22 a21a12 a21 a22

12 INVERSA E DETERMINANTE(2/2) TEOREMA: La matrice A è invertibile se e solo se det( A) 0 In tal caso l inversa della matrice A è: A 1 1 a a = det( A) a21 a11

13 RANGO E ORDINE Una qualsiasi matrice possiede delle sottomatrici quadrate. Ad esempio una matrice 3 x 5 possiede sottomatrici quadrate di ordine 1, 2, 3 e per tali sottomatrici è possibile calcolare il determinante. M = Con minore si intende il determinante di una sottomatrice quadrata e con ordine la dimensione di tale sottomatrice. La caratteristica o RANGO di una matrice A, denotata con il simbolo r(a), è il massimo ordine dei minori non nulli.

14 RANGO E ORDINE (esempio) Determinare il rango della matrice A = Essendo A di dimensioni 3 x 4, la massima dimensione di una sua sottomatrice quadrata è 3 e quindi r(a) 3. Poiché la matrice A possiede almeno un elemento diverso da zero, il suo rango è sicuramente maggiore uguale a 1, quindi 1 ra ( ) 3 Per stabilire se r(a) = 3 si devono calcolare i determinanti delle sottomatrici 3 x 3. Le sottomatrici di 3 x 3 possibili sono 4!!. Calcolo i determinanti. A = A = A = A =

15 RANGO E ORDINE (esempio) Una delle sottomatrici 3 x 3 è la seguente: A1 = Regola facile per calcolare il determinante di una matrice 3 x 3: A = si aggiungono 2 colonne uguali alle prime 2; 2. si addizionano i prodotti delle diagonali destra-sinistra; 3. si sottraggono i prodotti delle diagonali sinistra-destra. det(a)= = 0 Anche le altre sottomatrici 3 x 3 hanno determinante nullo. La matrice A ha rango 2.

16 DETERMINANTE DI UNA MATRICE DI ORDINE n In generale ad ogni matrice quadrata è possibile associare determinante reale che permette di stabilire l invertibilità o meno di una matrice. Il calcolo del determinante è effettuato tramite lo sviluppo di Laplace. n i+ j det( A) = ( 1) aij det( Aij ) j= 1 minore complementare dove Aij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna. i+ j ( 1) det( ) A ij complemento algebrico

17 ESEMPIO A = det( A) = ( 1) 1det A + ( 1) 0det A + ( 1) 1det A det( A) = det det = 0 4

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione

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