Definizioni e operazioni fondamentali

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1 MATRICI Definizioni e operazioni fondamentali Autovalori e autovettori Potenza Esponenziale Limiti, derivate e integrali Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1

2 DEFINIZIONI E OPERAZIONI FONDAMENTALI Generalità Matrice: tabella di numeri o funzioni organizzate in n righe e m colonne A = a 11 a 12 ::: a 1m a 21 a 22 ::: a 2m a n1 a n2 ::: a nm 3 7 5? A = 0: matrice nulla? n = 1: vettore riga? m = 1: vettore colonna? n = m = 1: scalare Matrice quadrata (n = m)? elementi a ii : diagonale? a ij = 0, i < j: matrice triangolare inferiore? a ij = 0, i > j: matrice triangolare superiore? a ij = 0, i 6= j: matrice diagonale, A = I (a ii = 1): matrice diagonale Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 2

3 Partizione in blocchi A (n1 +n 2 )(m 1 +m 2 ) = Bn1 m 1 C n1 m 2 E n2 m 2 D n2 m 1 Matrice quadrata con blocchi (di pari indice) quadrati? matrice diagonale a blocchi? matrice triangolare a blocchi? diagonale dei blocchi Matrici uguali: stesse dimensioni ed elementi uguali Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 3

4 Operazioni su una matrice Trasposta: b ij = a ji B = A 0 Complemento algebrico ^A ij di a ij di una matrice quadrata n n: matrice (n ; 1)(n ; 1) ottenuta eliminando la riga i e la colonna j Determinante det(a) = ( a11 P n i=1 a ij(;1) i+j det P n ^A ij = j=1 a ij(;1) i+j det ^A ij? n = 2 det(a) = a 11 a 22 ; a 12 a 21? n = 3 det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 32 a 21 ; a 31 a 13 a 22 ; a 32 a 23 a 11 ; a 12 a 21 a 33? matrice triangolare a blocchi con blocchi quadrati sulla diagonale: prodotto dei determinanti dei blocchi Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

5 Matrice aggiunta di una matrice quadrata adj(a) = [(;1) i+j det( ^A ij )] 0 i = 1 ::: n j = 1 ::: n Matrice non singolare (invertibile) A ;1 = 1 det(a) adj(a) det(a ;1 ) = 1 det(a)? n = 2 A ;1 = 1 a22 ;a 12 a 11 a 22 ; a 12 a 21 ;a 21 a 11? A = diagfa 1 a 2 ::: a n g A ;1 = diag ::: a 1 a 2 a n Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

6 Prodotto di uno scalare per una matrice A: A (moltiplicando tutti gli elementi di A per )? matrice quadrata det(a) = n det(a) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

7 Minore: determinante del blocco quadrato estratto Rango (A) di una matrice nm: massimo intero per cui esiste un minore diverso da zero 0 (A) minfn mg? matrice di rango massimo: (A) = minfn mg, n = m ) det(a) 6= 0 k righe (colonne) A i linearmente indipendenti: kx i=1 i A i 6= 0 8 i 6= 0? max numero di righe (colonne) linearmente indipendenti = rango Traccia tr(a) = nx i=1 a ii tr(a 0 ) = tr(a) tr(a) = tr(a) Norma di un vettore (w 2 R n ) ; kwk = w w2 2 + :::+ 1=2 w2 n Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

8 Operazioni tra matrici Somma C = A + B A +0= A c ij = a ij + b ij Prodotto C nq = A nm B pq c ij = mx k=1 a ik b kj? AB 6= BA!? AI m = I n A = A? n = m: AA ;1 = A ;1 A = I? A B quadrate: (AB) ;1 = B ;1 A ;1 Potenza (k 2 N) A k = AA:::A A ;k = ; A k ;1 = ; A ;1 k A 0 = I? A diagonale A k = diag a k 1 ak 2 ::: ak n Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

9 Proprietà? A nm, B mn tr(ab) = tr(ba) det(ab) = det(ba)? A B quadrate tr(a+b) = tr(a)+tr(b) det(ab) = det(a)det(b) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9

10 AUTOVALORI E AUTOVETTORI Generalità Polinomio caratteristico: A nn, 2 C '() = det(i;a) = n + 1 n;1 + 2 n;2 +:::+ n;1 + n? equazione caratteristica ( i 2 R) '() = 0 soluzioni: autovalori di A (reali o complessi coniugati a coppie) det(a) = ny i=1 i tr(a) = nx i=1? matrice diagonale (triangolare) a blocchi: autovalori dei blocchi sulla diagonale i Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 10

11 Trasformazione di similitudine: T non singolare det ; I ; TAT ;1 = det ; TT ;1 ; TAT ;1 = det(t )det(i ; A)det ; T ;1 = det(i ; A)? teorema di Cayley-Hamilton '(A) = A n + 1 A n;1 + 2 A n;2 +:::+ n;1 A+ n I = 0 Autovettore v i 6= 0: ( i I ; A)v i = 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 11

12 Forma diagonale i (A) distinti A [ v 1 v 2 ::: v n ] = [ v 1 v 2 ::: v n ] diagf 1 2 ::: n g? matrice degli autovettori non singolare T ;1 D = [ v 1 v 2 ::: v n ] + A D = T D AT ;1 D = diagf 1 2 ::: n g Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 12

13 POTENZA A nn, k 2 N (k) = A k ; = T ;1 k D A DT D = T ;1 D = T ;1 D D(k)T D Ak D T D? (k) diagonalizzata per similitudine D (k) = T D (k)t ;1 D = diag k 1 k 2 ::: k n ' (k) = nx r i k i i=1 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 13

14 ESPONENZIALE A nn, t 0 (t) = e At = 1X i=0 = T ;1 D diag D(t)T D 1 i! (At)i = I n + At + (At) 2! 2 + :::? (t) diagonalizzata per similitudine D(t) = T D (t)t ;1 D = e 1t e 2 t ::: e n t (k) = nx i=1 p i e it Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 14

15 LIMITI, DERIVATE E INTEGRALI Mera estensione dal caso scalare Derivata di un vettore rispetto a un vettore df(x) dx = n 1 (x 2 (x n (x n 2 1 (x 2 2 (x 2 n (x n m (x 2 (x n (x m Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 15