Matrici. Basilio Bona. DAUIN-Politecnico di Torino. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

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1 Matrici Basilio Bona DAUIN-Politecnico di Torino Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

2 Definizione Definizione La matrice è un insieme di N numeri reali o complessi organizzata in m righe e n colonne, con m n = N a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n [ ] a ij i = 1,...,m j = 1,...,n a m1 a m2 a mn Una matrice viene sempre indicata con lettera maiuscola in grassetto, ad es. A Per indicarne le dimensioni si usa una delle seguenti notazioni A m n A m n A F m n A F m n dove F = R per elementi reali e F = C per elementi complessi Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

3 Matrice trasposta Data una matrice A m n si definisce matrice trasposta la matrice ottenuta scambiando le righe con le colonne a 11 a 21 a m1 A T n m = a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn Vale la proprietà che (A T ) T = A Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

4 Matrice quadrata Una matrice si dice quadrata se m = n Una matrice quadrata n n si dice triangolare superiore se a ij = 0 per i > j a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n A n n = a nn Se una matrice quadrata è triangolare superiore, la sua trasposta è triangolare inferiore e viceversa a A T a 12 a 22 0 n n = a 1n a 2n a nn Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

5 Matrice simmetrica Una matrice reale quadrata si dice simmetrica se A = A T, ossia A A T = O In una matrice reale simmetrica vi sono al più n(n+1) elementi 2 indipendenti Se una matrice K ha elementi complessi k ij = a ij +jb ij, (dove j = 1) si indica con K la matrice coniugata, che ha elementi k ij = a ij jb ij Data una matrice complessa K, si definisce matrice aggiunta K la matrice trasposta coniugata, K = K T = K T Una matrice complessa si dice autoaggiunta o hermitiana se K = K. Alcuni testi indicano questa matrice con K oppure con K H Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

6 Matrice diagonale Una matrice quadrata si dice diagonale se a ij = 0 per i j a a 2 0 A n n = diag(a i ) = a n Una matrice diagonale è sempre simmetrica Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

7 Matrice antisimmetrica Matrice antisimmetrica Una matrice quadrata A si dice antisimmetrica se A+A T = 0 A = A T Dati i vincoli imposti da questa relazione, la matrice antisimmetrica ha la seguente struttura 0 a 12 a 1n a 12 0 a 2n A n n = a 1n a 2n 0 n(n 1) In una matrice antisimmetrica vi sono al più elementi 2 indipendenti e non nulli. Vedremo in seguito alcune importanti proprietà delle matrici antisimmetriche 3 3. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

8 Matrice a blocchi È possibile una rappresentazione a blocchi A 11 A 1n A = A ij A m1 A mn dove i blocchi A ij sono di dimensioni opportune Date le matrici A 11 A 1n A 11 O O A 11 O O A 1 = O A ij ;A 2 = A ij O ;A 3 = O A ij O O O A mn A m1 A mn O O A mn A 1 è triangolare (superiore) a blocchi, A 2 è triangolare (inferiore) a blocchi; infine A 3 è diagonale a blocchi Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

9 Operazioni su matrici Le matrici formano un algebra, cioè uno spazio vettoriale con l aggiunta dell operatore prodotto. Le principali operazioni sono: prodotto per scalare, somma, prodotto di matrici Prodotto per scalare a 11 a 12 a 1n αa 11 αa 12 αa 1n a 21 a 22 a 2n αa = α = αa 21 αa 22 αa 2n a m1 a m2 a mn αa m1 αa m2 αa mn Somma a 11 +b 11 a 12 +b 12 a 1n +b 1n a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 2n +b 2n A+B = a m1 +b m1 a m2 +b m2 a mn +b mn Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

10 Somma Proprietà della somma Valgono le seguenti proprietà: A+O = A A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (A+B) T = A T +B T L elemento neutro o nullo O prende il nome di matrice nulla. L operazione differenza viene definita con l ausilio dello scalare α = 1: A B = A+( 1)B. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

11 Prodotto Prodotto di matrici L operazione si effettua con la regola riga per colonna : il generico elemento c ij della matrice prodotto C m p = A m n B n p vale c ij = n k=1 a ik b kj La proprietà di bilinearità del prodotto di matrici è garantita, in quanto si verifica immediatamente che, dato uno scalare generico α, vale la seguente identità: α(a B) = (αa) B = A (αb) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

12 Prodotto Proprietà del prodotto In generale: A B C = (A B) C = A (B C) A (B+C) = A B+A C (A+B) C = A C+B C (A B) T = B T A T il prodotto di matrici non è commutativo: A B B A, salvo in casi particolari; A B = A C non implica B = C, salvo in casi particolari; A B = O non implica che sia A = O oppure B = O, salvo in casi particolari. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

13 Matrice identità Esiste un elemento neutro rispetto al prodotto, che prende il nome di matrice identità e viene indicata con I n oppure semplicemente I quando non ci sono ambiguità sulla dimensione; data una matrice rettangolare A m n si ha A m n = I m A m n = A m n I n Matrice identità I = Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

14 Matrice idempotente Data una matrice quadrata A R n n, la potenza k-esima di matrice vale A k = k l=1 Una matrice si dice idempotente se A 2 = A. A Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

15 Traccia Traccia La traccia di una matrice quadrata A n n è la somma dei suoi elementi diagonali tr(a) = n k=1 a kk La traccia di una matrice soddisfa le seguenti proprietà tr(αa+βb) = α tr(a)+β tr(b) tr(ab) = tr(ba) tr(a) = tr(a T ) tr(a) = tr(t 1 AT) per T non singolare (vedi oltre) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

16 Minore Si definisce minore di ordine p di una matrice A m n il determinante D p di una sottomatrice quadrata ottenuta selezionando p righe e p colonne qualsiasi di A m n La definizione formale di determinante verrà data tra poco Esistono tanti minori quante sono le scelte possibili di p su m righe e p su n colonne Si definiscono minori principali di ordine k di una matrice A m n i determinanti D k, con k = 1,,min{m,n}, ottenuti selezionando le prime k righe e k colonne della matrice A m n Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

17 Esempio Sia data la matrice A = Calcoliamo un generico minore D 1, ad esempio quello ottenuto cancellando una riga e una colonna, e in particolare la seconda riga e la terza colonna. Quindi la matrice di cui dobbiamo calcolare i determinante risulta la seguente [ ] 1 3 A 23 = 1 3 da cui possiamo calcolare il determinante D 1 = det(a 23 ) = 3 1 ( 3 1) = 0 Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

18 Minore complementare - cofattore Data la matrice A R n n, indichiamo con A (ij) R (n 1) (n 1) la matrice ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna di A. Si definisce minore complementare D rc di un generico elemento a rc di una matrice quadrata A n n il determinante della matrice ottenuta cancellando la r-esima riga e la c-esima colonna, ossia deta (rc) D rc = deta (rc). Si definisce complemento algebrico o cofattore (in inglese cofactor) di un elemento a rc di una matrice quadrata A n n il prodotto A rc = ( 1) r+c D rc Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

19 Determinante Una volta definito il cofattore si può finalmente definire il determinante di A Fissata una qualsiasi riga i, si ha la definizione per riga : det(a) = n k=1 a ik ( 1) i+k det(a (ik) ) = n k=1 a ik A ik oppure, fissata una qualsiasi colonna j, si ha la definizione per colonna : det(a) = n k=1 a kj ( 1) k+j det(a (kj) ) = n k=1 a kj A kj Poiché queste definizioni sono ricorsive e coinvolgono i determinanti di minori via via sempre più piccoli, occorre definire il determinante della matrice 1 1, che vale semplicemente det(a ij ) = a ij. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

20 Proprietà del determinante Il determinante ha le seguenti proprietà: det(a B) = det(a)det(b) det(a T ) = det(a) det(ka) = k n det(a) se si effettua un numero s di scambi tra righe o tra colonne della matrice A ottenendo la matrice A s, si ha det(a s ) = ( 1) s det(a) se la matrice A ha due righe o due colonne uguali o proporzionali, si ha det(a) = 0 se la matrice A ha una riga o una colonna ottenibile da una combinazione lineare di altre righe o colonne, si ha det(a) = 0 se la matrice A è triangolare superiore o inferiore, si ha det(a) = n i=1 a ii se la matrice A è triangolare a blocchi, con p blocchi A ii sulla diagonale, si ha det(a) = p i=1 deta ii Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

21 Matrice singolare e rango Una matrice A si dice singolare se det(a) = 0. Si definisce rango (o caratteristica) della matrice A m n il numero ρ(a m n ) definito come il massimo intero p per cui esiste almeno un minore D p non nullo Valgono le seguenti proprietà: ρ(a) min{m,n} se ρ(a) = min{m,n}, la matrice A si dice a rango pieno se ρ(a) < min{m,n}, la matrice non ha rango pieno e si dice che cade di rango ρ(a B) min{ρ(a),ρ(b)} ρ(a) = ρ(a T ) ρ(a A T ) = ρ(a T A) = ρ(a) se A n n e deta < n la matrice non ha rango pieno Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

22 Matrice invertibile Data una matrice quadrata A R n n si dice invertibile o non singolare se esiste la matrice inversa A 1 n n tale che AA 1 = A 1 A = I n La matrice è invertibile se e solo se ρ(a) = n, ossia è di rango pieno; ciò equivale ad avere det(a) 0. L inversa si ottiene come: A 1 = 1 det(a) Adj(A) Valgono le seguenti proprietà: (A 1 ) 1 = A; (A T ) 1 = (A 1 ) T. La matrice inversa, quando esiste, permette risolvere l equazione matriciale seguente y = Ax in funzione dell incognita x, come x = A 1 y. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

23 Matrice ortonormale Si definisce matrice ortonormale la matrice quadrata per cui A 1 = A T. Per queste matrici vale quindi l identità A T A = AA T = I Date due matrici quadrate di pari dimensioni A e B, vale la seguente identità (AB) 1 = B 1 A 1 Esiste un importante risultato, chiamato Lemma d inversione, che stabilisce quanto segue: se A e C sono matrici quadrate invertibili e B e D sono matrici di dimensioni opportune, allora (A+BCD) 1 = A 1 A 1 B(DA 1 B+C 1 ) 1 DA 1 La matrice (DA 1 B+C 1 ) deve essere anch essa invertibile. Il lemma di inversione è utile per calcolare l inversa di una somma di matrici A 1 +A 2, quando A 2 è decomponibile nel prodotto BCD, in cui la matrice C è facilmente invertibile, ad esempio diagonale o triangolare. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

24 Derivata di matrice Se la matrice quadrata A(t) è composta da elementi a ij (t) tutti derivabili nel tempo t, allora la derivata della matrice vale [ ] d d A(t) = Ȧ(t) = dt dt a ij(t) = [ȧ ij (t)] Se la matrice quadrata A(t) ha rango ρ(a(t)) = n per ogni valore del tempo t, allora la derivata della sua inversa vale d dt A(t) 1 1 = A (t)ȧ(t)a(t) 1 Ricordiamo che, poiché l inversione di matrice non è un operatore lineare, risulta in generale [ ] da(t) 1 d [ A(t) 1 ] dt dt Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

25 Decomposizione in simmetrica e antisimmetrica Data una matrice reale di dimensioni qualsiasi A R m n, risultano simmetriche entrambe le matrici seguenti A T A R n n AA T R m m Data una matrice quadrata A, è sempre possibile decomporla in una somma di due matrici, come segue: A = A s +A a dove A s = 1 2 (A+AT ) matrice simmetrica A a = 1 2 (A AT ) matrice antisimmetrica Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

26 Trasformazione di similarità Trasformazioni di similarità Data una matrice quadrata A R n n e una matrice quadrata non singolare T R n n, la matrice B R n n ottenuta come B = T 1 AT oppure B = TAT 1 si dice similare ad A e la trasformazione T si dice di similarità. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

27 Autovalori e autovettori Se si trova una matrice U per cui la matrice A sia similare alla matrice diagonale Λ = diag(λ i ) A = UΛU 1 postmoltiplicando per U si può scrivere AU = UΛ e se indichiamo con u i la i-esima colonna di U, ossia U = [ u 1 u 2 u n ] avremo Au i = λ i u i Questa relazione è la ben nota formula che lega autovalori e autovettori; quindi possiamo dire che le costanti λ i sono gli autovalori di A e i vettori u i sono gli autovettori di A, in generale non normalizzati. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

28 Autovalori e autovettori Data una matrice quadrata A n n, si chiamano autovalori della matrice (in inglese eigenvalues) le soluzioni λ i (reali o complesse) dell equazione caratteristica det(λi A) = 0 det(λi A) è un polinomio in λ, detto polinomio caratteristico. Se gli autovalori sono tutti distinti, si chiamano autovettori (in inglese eigenvectors) i vettori u i che soddisfano l identità Au i = λ i u i Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

29 Autovettori generalizzati Se gli autovalori non sono tutti distinti, si ottengono autovettori generalizzati, la cui determinazione va oltre gli scopi di questi appunti. Da un punto di vista geometrico, gli autovettori rappresentano quelle particolari direzioni nello spazio R n (dominio della trasformazione lineare rappresentata da A), che si trasformano in sé stesse; sono quindi le direzioni invarianti rispetto alla trasformazione A, mentre gli autovalori forniscono le rispettive costanti di scalamento lungo queste direzioni. L insieme degli autovalori di una matrice A sarà indicato con Λ(A) oppure con {λ i (A)}; l insieme degli autovettori di A sarà indicato con {u i (A)}. In generale, poiché gli autovettori sono rappresentazioni di direzioni invarianti rispetto alla trasformazione data, essi sono definiti a meno di una costante, ossia possono o meno essere normalizzati; tuttavia è convenzione tacita che essi abbiano norma unitaria, salvo quando altrimenti dichiarato. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

30 Autovalori Proprietà degli autovalori Data una matrice A e i suoi autovalori {λ i (A)}, vale {λ i (A+cI)} = {(λ i (A)+c)} Data una matrice A e i suoi autovalori {λ i (A)}, vale {λ i (ca)} = {(cλ i (A)} Data una matrice triangolare (superiore o inferiore) a 11 a 12 a 1n a a 22 a 2n......, a 21 a a nn a n1 a n2 a nn i suoi autovalori sono gli elementi sulla diagonale {λ i (A)} = {a ii }; lo stesso vale per una matrice diagonale. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

31 Invarianza degli autovalori Data una matrice A n n e i suoi autovalori {λ i (A)}, vale e det(a) = tr (A) = n λ i i=1 n λ i i=1 Data una qualunque trasformazione invertibile, rappresentata dalla matrice T, gli autovalori di A sono invarianti alle trasformazioni di similarità B = T 1 AT ossia {λ i (B)} = {λ i (A)} Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

32 Matrice modale Se costruiamo una matrice M ordinando per colonne gli autovettori normalizzati u i (A) M = [ u 1 u n ] allora la trasformazione di similarità rispetto a M fornisce una matrice diagonale λ λ 2 0 Λ = = M 1 AM 0 0 λ n La matrice M prende il nome di matrice modale. Se la matrice A è simmetrica, i suoi autovalori sono tutti reali e si ha l identità Λ = M T AM In questo caso la matrice M è ortonormale. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

33 Decomposizione ai valori singolari Data una matrice A R m n qualsiasi, di rango r = ρ(a) s con s = min{m,n}, essa si può fattorizzare secondo la nel modo seguente: Decomposizione ai Valori Singolari (Singular value decomposition) A = UΣV T = s i=1 elementi caratterizzanti della decomposizione sono: σ i u i v i come vedremo ora σ i u i v T i (1) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

34 Decomposizione ai valori singolari σ i (A) 0 sono detti valori singolari e coincidono con le radici quadrate non negative degli autovalori della matrice simmetrica A T A: {σ i (A)} = { λ i (A T A)} σ i 0 ordinati in ordine decrescente σ 1 σ 2 σ s 0 se r < s vi sono r valori singolari positivi; i restanti sono nulli σ 1 σ 2 σ r > 0; σ r+1 = = σ s = 0 U è una matrice (m m) ortonormale U = [ u 1 u 2 ] u m contenente per colonne gli autovettori u i della matrice AA T Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

35 Decomposizione ai valori singolari V è una matrice (n n) ortonormale V = [ v 1 v 2 v n ] contenente per colonne gli autovettori v i della matrice A T A Σ è una matrice (m n) con la seguente struttura se m < n Σ = [ Σ s O ] se m = n Σ = Σ s se m > n Σ = [ Σs O La matrice Σ s = diag(σ i ) è diagonale di dimensioni s s e contiene sulla diagonale i valori singolari: ]. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

36 Decomposizione ai valori singolari Alternativamente, possiamo decomporre la matrice A nel modo seguente, che è del tutto analogo a quello descritto in (1), ma mette in evidenza i soli valori singolari positivi: [ ][ ] Σr O Q T dove A = [ P P ] }{{} U O O }{{} Σ Q T }{{} V T = PΣ r Q T (2) P è una matrice ortonormale m r, P è una matrice ortonormale m (m r); Q è una matrice ortonormale n r, Q T è una matrice ortonormale n (n r); Σ r è una matrice diagonale r r che contiene sulla diagonale i valori singolari positivi σ i, i = 1,,r. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

37 Decomposizione ai valori singolari e rango Il rango r della matrice A è pari al numero r s di valori singolari non nulli. Data una matrice A R m n qualsiasi, le due matrici A T A e AA T sono simmetriche, hanno gli stessi valori singolari positivi e differiscono soltanto per il numero di valori singolari nulli. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

38 Matrici come rappresentazione di operatori lineari Dati due spazi vettoriali X R n e Y R m, aventi rispettivamente dimensioni n e m, e dati due generici vettori x X e y Y, la più generica trasformazione lineare tra gli spazi si può rappresentare attraverso l operatore matriciale A R m n, come segue: y = Ax; x R n ; y R m. Quindi una matrice può essere sempre interpretata come un operatore che prende un vettore dello spazio di partenza X e lo trasforma in un vettore dello spazio di arrivo Y. Perciò qualunque trasformazione lineare ha (almeno) una matrice che la rappresenta e, di converso, qualunque matrice è la rappresentazione di una qualche trasformazione lineare. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

39 Spazio immagine e spazio nullo Si definisce spazio immagine (in inglese range) della trasformazione A il sottospazio di Y definito dalla seguente proprietà: R(A) = {y y = Ax, x X }; R(A) Y Si definisce spazio nullo (in inglese kernel o null-space) della trasformazione A il sottospazio di X definito dalla seguente proprietà: N (A) = {x 0 = Ax, x X }; N (A) X Lo spazio nullo rappresenta perciò tutti quei vettori di X che vengono trasformati nel vettore nullo (l origine) di Y. Le dimensioni dello spazio immagine e dello spazio nullo si chiamano, rispettivamente, rango ρ(a) (che abbiamo già definito precedentemente e nullità ν(a): ρ(a) = dim(r(a)); ν(a) = dim(n (A)). Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

40 Relazioni tra spazio immagine e spazio nullo Se X e Y hanno dimensioni finite, e questo è il nostro caso in quanto X R n e Y R m, allora valgono le seguenti relazioni: N (A) = R(A T ) R(A) = N (A T ) N (A) = R(A T ) R(A) = N (A T ) dove il simbolo indica il complemento ortogonale al (sotto-)spazio corrispondente. Ricordiamo che {0} = R. Vale anche la seguente decomposizione ortogonale degli spazi X e Y X = N (A) N (A) = N (A) R(A T ) Y = R(A) R(A) = R(A) N (A T ) dove il simbolo indica la somma diretta tra due sottospazi. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

41 Inversa generalizzata Data una matrice reale qualsiasi A R m n, con m n, la matrice inversa non risulta definita. Tuttavia, è possibile definire una classe di matrici, dette pseudo-inverse, inverse generalizzate o 1-inverse A, che soddisfano la seguente relazione: AA A = A Se la matrice A ha rango pieno, ossia ρ(a) = min{m,n}, è possibile definire due classi di matrici inverse generalizzate particolari se m < n (ossia ρ(a) = m), l inversa destra di A è quella matrice A d R n m per cui AA d = I m m se n < m (ossia ρ(a) = n), l inversa sinistra di A è quella matrice A s R n m per cui A s A = I n n Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

42 Matrici pseudo-inverse Tra le molte inverse destre e sinistre concepibili, due sono particolarmente importanti: pseudo-inversa destra (m < n): A + d = AT (AA T ) 1 rappresenta una particolare inversa destra. Si può dimostrare che quando ρ(a) = m allora (AA T ) 1 esiste. pseudo-inversa sinistra (n < m): A + s = (A T A) 1 A T rappresenta una particolare inversa sinistra. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

43 Pseudo-inversa di Moore-Penrose Si può dimostrare che quando ρ(a) = n allora (A T A) 1 esiste. Questa particolare pseudo-inversa sinistra (A T A) 1 A T prende anche il nome di pseudo-inversa di Moore-Penrose. In generale, anche se A T A non è invertibile, si può sempre definire una pseudo-inversa di Moore-Penrose A + che soddisfa le seguenti relazioni: AA + A = A A + AA + = A + (AA + ) T = AA + (A + A) T = A + A (3) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

44 Pseudo-inversa destra e sinistra Le due pseudo-inverse A + d e A+ s coincidono con la matrice inversa tradizionale A 1 quando A è quadrata e ha rango pieno: A 1 = A + d = A+ s = A+ La trasformazione lineare associata alla matrice A R m n y = Ax, (4) con x R n e y R m, è equivalente ad un sistema di m equazioni lineari in n incognite, i cui coefficienti sono dati dagli elementi di A; questo sistema lineare può non ammettere soluzioni, ammetterne una sola o ammetterne un numero infinito. Se vogliamo utilizzare le pseudo-inverse per risolvere il sistema lineare in (4), dobbiamo distinguere due casi, sempre nell ipotesi che il rango di A sia pieno: Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

45 Soluzione di sistemi lineari - 1 Caso m < n: abbiamo più incognite che equazioni; tra le infinite soluzioni possibili x R n, scegliamo quella che ha norma x minima, individuata da x = A + d y = AT (AA T ) 1 y Tutte le altre possibili soluzioni di y = Ax si ottengono come x = x+v = A + d y+v dove v N (A) è un vettore appartenente allo spazio nullo di A, che ha dimensioni n m. Queste possibili soluzioni si possono anche esprimere in una forma alternativa x = A + d y+(i A+ d A)w (5) dove w R n è un vettore n 1 qualsiasi. La matrice I A + d A proietta w nello spazio nullo di A, trasformando w in v N (A); essa prende il nome di matrice di proiezione. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

46 Soluzione di sistemi lineari - 2 caso n < m: abbiamo più equazioni che incognite; allora non esistono soluzioni esatte alla y = Ax, ma solo soluzioni approssimate, con un errore e = y Ax 0. Tra queste possibili soluzioni approssimate si sceglie convenzionalmente quella che minimizza la norma dell errore, ossia La soluzione risulta essere ˆx = arg min y Ax x Rn ˆx = A + s y = (A T A) 1 A T y e geometricamente consiste nella proiezione ortogonale di y sul complemento ortogonale di N (A), ovvero sul sottospazio N (A) = R(A T ). L errore di approssimazione, detto anche errore di proiezione, vale e la sua norma è minima, come detto sopra. ê = (I AA + s )y (6) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

47 Soluzione di sistemi lineari - 3 La somiglianza tra la matrice di proiezione I A + d A in (5) e la matrice che fornisce l errore di proiezione I AA + s in (6) non è casuale e verrà approfondita quando tratteremo le matrici di proiezione. Per calcolare le inverse generalizzate, si può utilizzare la decomposizione ai valori singolari che abbiamo introdotto sopra. In particolare, ricordando la (2), la pseudo-inversa vale [ ] A + Σ 1 = V r O U T = QΣ 1 r P T. O O Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

48 Proiezioni e matrici di proiezione Il concetto geometrico di proiezione di un segmento su un piano può venire esteso e generalizzato agli elementi di uno spazio vettoriale. Tale concetto è utile a risolvere un gran numero di problemi, tra cui i problemi di approssimazione, di stima, di predizione e di filtraggio di segnali. Dato uno spazio vettoriale reale V(R n ) di dimensioni n, dotato di prodotto scalare, ed un suo sottospazio W(R k ) di dimensioni k n, è possibile definire l operatore proiezione dei vettori v V sul sottospazio W. L operatore proiezione è definito dalla matrice quadrata di proiezione P R n n, le cui colonne sono le proiezioni degli elementi della base di V in W. Una matrice è di proiezione se e solo se P 2 = P ossia se essa è idempotente. La proiezione può essere ortogonale, oppure non ortogonale; nel primo caso la matrice P è simmetrica, nel secondo caso no. Se P è una matrice di proiezione, anche I P lo è. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

49 Matrici di proiezione Classici esempi di matrici di proiezione ortogonale sono le matrici associate alla pseudo-inversa sinistra P 1 = AA + s e P 2 = I AA + s e alla pseudo-inversa destra P 3 = A + d A e P 4 = I A + d A (vedi le slide sulle inverse generalizzate). Dal punto di vista geometrico, P 1 proietta ogni vettore v V nel spazio immagine R(A), mentre P 2 proietta v nel suo complemento ortogonale R(A) = N (A T ). Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

50 Norma di matrice - 1 Analogamente a quanto avviene per un vettore, è possibile fornire una misura della matrice ossia indicarne la grandezza, definendo la norma della matrice. Poiché una matrice rappresenta una trasformazione lineare tra vettori, la norma misura quando grande sia questa trasformazione, ma deve in qualche modo normalizzare il risultato perché questo non sia influenzato dalla grandezza del vettore che viene trasformato; ciò viene fatto definendo la norma nel modo seguente: Ax A := sup x x = sup Ax. x =1 Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

51 Norma di matrice - 2 Data una matrice quadrata A R n n, la sua norma deve soddisfare i seguenti assiomi generali (detti assiomi della norma): 1 A > 0 per ogni A O, A = 0 se e solo se A = O; 2 A + B A + B (diseguaglianza triangolare); 3 αa = α A per ogni scalare α e ogni A; 4 AB A B. Data A R n n e i suoi autovalori {λ i (A)}, vale la seguente diseguaglianza 1 A 1 λ i A i = 1,...,n Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

52 Norme di matrice - 1 Elenchiamo le norme di matrice più comunemente adottate, considerando solo matrici reali. Norma spettrale: Norma di Frobenius: A F = i Massimo valore singolare: A 2 = max{λ i (A T A)} i aij tra 2 = T A j A σ = max{σ i (A)} i Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

53 Norme di matrice - 2 Norma 1 o max-norma: A 1 = max j n i=1 a ij Norma : A = max i n j=1 a ij In generale A 2 = A σ e A 2 2 A 1 A Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

54 Matrici antisimmetriche - 1 Le matrici antisimmetriche sono utili nello studio della cinematica del corpo rigido, oltre che per definire il prodotto esterno in uno spazio tridimensionale, come abbiamo visto precedentemente. Una matrice S si dice antisimmetrica quando soddisfa la seguente proprietà: S+S T = O ossia S = S T (7) Una matrice antisimmetrica ha perciò sulla diagonale principale elementi tutti nulli, mentre gli elementi fuori dalla diagonale soddisfano la relazione s ij = s ji, come nel seguente esempio di matrice S = Ne segue che una matrice antisimmetrica è definita da soli elementi. n(n 1) 2 Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

55 Matrici antisimmetriche - 2 n(n 1) Per n = 3 risulta = 3, per cui la matrice antisimmetrica ha tanti 2 elementi indipendenti quante sono le componenti di un generico vettore tridimensionale v; la matrice viene allora ad essere in relazione biunivoca con un vettore ed è indicata come S(v). Nel seguito studieremo le proprietà delle matrici antisimmetriche per n = 3, in quanto sono di fondamentale importanza per definire la cinematica delle rotazioni di corpi rigidi in spazi tridimensionali. Se v = [ ] T v 1 v 2 v 3 è un vettore qualsiasi, possiamo definire S(v) come l operatore che trasforma v in una matrice antisimmetrica: 0 v 3 v 2 S(v) = v 3 0 v 1 (8) v 2 v 1 0 e viceversa, data una matrice antisimmetrica qualsiasi, è sempre possibile estrarre da essa un vettore v. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

56 Matrici antisimmetriche - 3 La matrice S(v) si indica semplicemente con S quando non si vuole evidenziare la dipendenza dal vettore v. La proprietà di antisimmetria comporta la seguente identità: S T (v) = S(v) = S( v) (9) Le matrici antisimmetriche soddisfano la proprietà di linearità; dati due scalari λ i R, vale la proprietà S(λ 1 u+ λ 2 v) = λ 1 S(u)+λ 2 S(v) (10) Inoltre, dati due vettori qualsiasi v e u, si ha la seguente importante proprietà: S(u)v = u v = v u = S( v)u = S T (v)u (11) e quindi S(u) può essere interpretata come l operatore (u ) e viceversa. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

57 Matrici antisimmetriche - 4 Da questa proprietà e dalla anti-commutatività del prodotto esterno segue che S(u)v = S T (v)u (12) Infatti S(u)v = u v = v u = S( v)u = S(v)u = S T (v)u È semplice verificare che la matrice S(u)S(u) = S 2 (u) è simmetrica e verifica la relazione S 2 (u) = uu T u 2 I (13) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

58 Autovalori e autovettori di matrici antisimmetriche Data la matrice antisimmetrica S(v) i suoi autovalori sono immaginari o nulli: λ 1 = 0, λ 2,3 = ±j v L autovettore relativo all autovalore λ 1 = 0 vale v; gli altri due sono complessi coniugati. L insieme delle matrici antisimmetriche forma uno spazio vettoriale. Inoltre, date due matrici antisimmetriche S 1 e S 2, si definisce commutatore l operatore seguente che risulta anch esso antisimmetrico [S 1,S 2 ]:= S 1 S 2 S 2 S 1 Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

59 Matrici ortogonali Viene chiamata ortogonale una generica matrice quadrata U R n per cui vale la seguente proprietà α U T 0 α 2 0 U = α n con α ii 0. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

60 Matrici ortonormali - 1 Una generica matrice quadrata U R n è detta invece ortonormale quando le costanti α ii sono tutte unitarie. In questo caso valgono le seguenti proprietà: l inversa di U coincide con la trasposta ovvero UU T = U T U = I (14) U 1 = U T (15) Le colonne di U sono tra loro ortogonali e a norma unitaria, come pure le righe. U = 1; Il determinante di U ha modulo unitario: perciò esso può valere +1 oppure 1. det(u) = 1 (16) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

61 Matrici ortonormali - 2 Il prodotto scalare è invariante a trasformazioni ortonormali, ossia (Ux) (Uy) = (Ux) T (Uy) = x T U T Uy = x T Iy = x T y = x y (17) Se U è una matrice ortonormale, 1 di dimensioni opportune, allora AU = UA = A. Limitandoci al caso di matrici U 3 3, solo 3 dei 9 elementi che compongono la matrice sono indipendenti, in quanto le condizioni di ortonormalità tra le righe o tra le colonne definiscono 6 vincoli. 1 La regola vale anche nel caso più generale in cui U sia una matrice unitaria, definita da U U = I. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

62 Matrici ortonormali - 3 Le matrici ortonormali U 3 3 sono la rappresentazione di una particolare classe di trasformazioni geometriche applicabili a corpi rigidi nello spazio Euclideo; infatti la relazione (17) assicura che il prodotto scalare tra due generici vettori si conservi anche tra i rispettivi vettori trasformati. Tuttavia occorre distinguere tra le trasformazioni per cui detu = +1, da quelle per cui detu = 1. Quando det(u) = +1, la matrice U rappresenta una rotazione propria, fisicamente ammissibile e realizzabile, mentre quando det(u) = 1, U rappresenta una roto-riflessione ovvero una rotazione impropria, che non è fisicamente realizzabile su corpi rigidi. Inoltre esiste un importante differenza tra le rotazioni e le roto-riflessioni: le prime formano un gruppo commutativo continuo; intuitivamente questo equivale a dire che esiste una rotazione infinitesima. Le seconde invece non formano un gruppo continuo; le riflessioni non possiedono la qualità di poter essere infinitesime. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

63 Matrici ortonormali - 4 Se U è una matrice ortonormale, vale la proprietà distributiva 2 rispetto al prodotto esterno: U(x y) = (Ux) (Uy) (18) Per ogni matrice di rotazione propria U e ogni vettore x si dimostra che ( ) US(x)U T y = U x (U T y) = (Ux) (UU T y) (19) = (Ux) y = S(Ux)y dove S(x) è la matrice antisimmetrica associata a x; si ricavano pertanto le relazioni seguenti: US(x)U T = S(Ux) US(x) = S(Ux)U (20) che saranno utilizzate nello studio delle matrici d inerzia. 2 Questa proprietà non è generalmente vera, salvo appunto quando U è ortonormale. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

64 Forme bilineari e forme quadratiche Si definisce forma bilineare associata alla matrice A R m n la variabile scalare b(x,y):= x T Ay = y T A T x Si definisce forma quadratica associata alla matrice quadrata A R n n la variabile scalare q(x):= x T Ax = x T A T x Qualsiasi forma quadratica associata ad una matrice antisimmetrica S(y) è identicamente nulla, ossia x T S(y)x 0 x (21) La dimostrazione di questa proprietà è semplice: definendo w = S(y)x = y x, avremo x T S(y)x = x T w, ma essendo per definizione w ortogonale sia a y sia a x, il prodotto scalare x T w sarà sempre nullo, e quindi pure la forma quadratica al primo termine della (21). Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

65 Matrici definite positive - 1 Ricordando la decomposizione di una generica matrice A in una parte simmetrica A s e in una antisimmetrica A a, si conclude che la forma quadratica dipende solo dalla parte simmetrica della matrice: q(x) = x T Ax = x T (A s +A a )x = x T A s x Una matrice quadrata A si dice definita positiva se la forma quadratica associata x T Ax soddisfa le condizioni x T Ax > 0 x 0 x T Ax = 0 x = 0 Una matrice quadrata A si dice semidefinita positiva se la forma quadratica associata x T Ax soddisfa la condizione x T Ax 0 x Una matrice quadrata A si dice definita negativa se A è definita positiva; analogamente una matrice quadrata A si dice semidefinita negativa se A è semidefinita positiva. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

66 Matrici definite positive - 2 Spesso, per indicare queste matrici si usano le notazioni seguenti: matrice definita positiva: A 0 matrice semidefinita positiva: A 0 matrice definita negativa: A 0 matrice semidefinita negativa: A 0 Condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché una matrice quadrata A sia definita positiva è che gli elementi sulla diagonale siano strettamente positivi. Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata A sia definita positiva è che tutti gli autovalori siano strettamente positivi. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

67 Criterio di Sylvester Il criterio di Sylvester afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché la matrice quadrata A sia definita positiva è che tutti i suoi minori principali siano strettamente positivi. Una matrice definita positiva ha rango pieno ed è sempre invertibile. Inoltre la forma quadratica x T Ax soddisfa la relazione seguente λ min (A) x 2 x T Ax λ max (A) x 2 dove λ min (A) e λ max (A) sono, rispettivamente, l autovalore minimo e massimo di A. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

68 Matrice semidefinita e rango Una matrice A n n semidefinita positiva ha rango ρ(a) = r < n, ovvero possiede r autovalori strettamente positivi e n r autovalori nulli. La forma quadratica si annulla per ogni x N (A). Data una matrice reale di dimensioni qualsiasi A m n, abbiamo visto che sia A T A, sia AA T sono simmetriche; inoltre sappiamo che ρ(a T A) = ρ(aa T ) = ρ(a). Si può dimostrare che esse hanno sempre autovalori reali non negativi, e quindi sono definite o semi-definite positive: in particolare, se la matrice A m n ha rango pieno, se m < n, A T A 0 e AA T 0, se m = n, A T A 0 e AA T 0, se m > n, A T A 0 e AA T 0. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

69 Gradiente Data la forma bilineare b(x,y) = x T Ay, si definiscono gradienti le seguenti espressioni: ( ) b(x,y) T gradiente rispetto a x: grad x b(x,y):= = Ay x ( ) b(x,y) T gradiente rispetto a y: grad y b(x,y):= = A T x y Data la forma quadratica q(x) = x T Ax, si definisce gradiente rispetto a x la seguente espressione: ( ) q(x) T grad x q(x):= = 2Ax. x Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70

70 Derivata di matrice Se la matrice A ha elementi funzione di una variabile x, si può definire la derivata di matrice rispetto a x [ ] d dx A(x) = daij dx Se la variabile x è il tempo t, si scrive [ ] d daij (t) A(t) Ȧ(t) = [ ] ȧ ij dt dt Se la matrice A è funzione del tempo attraverso la variabile x(t), allora [ ] [ ] d aij (x) dx(t) aij (x) A(x(t)) Ȧ(x(t)) = ẋ(t) dt x dt x Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Matrici / 70