Matrici simili, invarianti e decomposizione di matrici 1 / 14

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1 Matrici simili, invarianti e decomposizione di matrici 1 / 14

2 Applicazioni lineari 2 / 14 Se X = t [x 1,...,x n ] sono le coordinate di un generico vettore rispetto alla base canonica, possiamo assumere che un applicazione lineare f : R n R n sia definita da con A M n (R). Sia ora f (X) = A X, (1) P = [ v 1,..., v n ] M n (R) con det(p) 0. (2) Sappiamo che i vettori v i (le colonne di P) formano una base, che chiamiamo C, di R n.

3 Applicazioni lineari: cambio base 3 / 14 Inoltre, dette Y = t [y 1,...,y n ] le coordinate di un generico vettore rispetto a questa base C, sappiamo che l applicazione (1) rispetto alle coordinate Y risulta descritta da: f (Y) = ( P 1 A P ) Y. (3) In altre parole, A e P 1 A P descrivono la stessa applicazione, ma rispetto a basi diverse. Questo suggerisce di introdurre la seguente definizione di matrici simili.

4 Matrici simili Definizione Siano A, B M n (R). Diciamo che A e B sono simili se esiste una matrice invertibile P M n (R) tale che B = P 1 A P. (4) Applicando il Teorema di Binet a (4) è immediato concludere che, se due matrici A e B sono simili, allora det(a) = det(b). In altre parole, il determinante di una matrice è invariante per similitudini e quindi, in virtù di (3), possiamo dire che il determinante è un invariante dell applicazione lineare f (invariante ha il significato di: non dipende dalla base scelta per effettuare il calcolo. Infatti, il valore del determinante è collegato al rapporto di trasformazione dei volumi da parte di f ). Si noti anche che, se A è diagonalizzabile, allora il suo determinante coincide con il prodotto degli autovalori (ognuno contato un numero di volte pari alla sua molteplicità). 4 / 14

5 Traccia di una matrice Nella definizione seguente introduciamo un altro importante invariante di un applicazione lineare: Definizione Siano A = [a ij ] M n (R). Si definisce Tr(A) = Tr(A) è chiamata la traccia di A. n i=1 a ii. (5) Come il determinante, anche la traccia di A è invariante per similitudini e quindi, in virtù di (3), possiamo dire che la traccia è un invariante dell applicazione lineare f. Si noti anche che, se A è diagonalizzabile, allora la sua traccia coincide con la somma degli autovalori (ognuno contato un numero di volte pari alla sua molteplicità). 5 / 14

6 Polinomio caratteristico e invarianti 6 / 14 In realtà, non è difficile verificare che il polinomio caratteristico di una matrice è esso stesso invariante per similitudini. Inoltre, si può dimostrare (non immediato!!) che, data A = [a ij ] M n (R), la sua traccia e il suo determinante intervengono nel polinomio caratteristico P(λ) come segue: dove P(λ) = det(a λi) = ( 1) n λ n + c 1 λ n c n 1 λ + c n (6) c 1 = ( 1) n 1 Tr(A) e c n = det(a). In particolare, se n = 2, allora mentre se n = 3 si ha: dove P(λ) = λ 2 Tr(A)λ + det(a), P(λ) = λ 3 + Tr(A)λ 2 + c 2 λ + det(a), c 2 = 1 2 [ Tr(A 2 ) (Tr(A)) 2]. (7)

7 Tensore delle tensioni di Cauchy Si descrive lo stato di sforzo di una struttura o di un mezzo attraverso un applicazione lineare f : R 3 R 3 dove, tipicamente, la matrice A in (1) è simmetrica. In particolare, quando l applicazione lineare rappresenta il cosiddetto tensore delle tensioni di Cauchy, si usa la simbologia T = σ 11 σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 per indicare la matrice simmetrica associata. 7 / 14

8 Tensore delle tensioni di Cauchy: decomposizione parte sferica e deviatorica 8 / 14 dove T = σ Id + σ 11 σ σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 σ σ = 1 3 Tr(T), (8) e Id è la matrice identità di ordine 3. Il termine σ Id in (8) è detto parte sferica di T, mentre l altro addendo a destra dell uguale è chiamato parte deviatorica di T.

9 Invarianti 9 / 14 La parte deviatorica si annulla in corrispondenza di uno stato idrostatico (unico autovalore con molteplicità tre) e misura quindi il discostamento da questo stato. Gli invarianti del tensore sono essenzialmente tre: I 3 = det(t) = σ 1 σ 2 σ 3, dove σ i, i = 1,2,3 sono gli autovalori (reali, non necessariamente distinti) associati alla matrice simmetrica T. Poi, I 1 = Tr(T) = σ 1 + σ 2 + σ 3 e infine, il terzo invariante, I 2 = c 2, dove c 2 è definito sopra in (7): è facile verificare che l invariante c 2, in funzione degli autovalori, assume la seguente espressione: I 2 = c 2 = σ 1 σ 2 + σ 1 σ 3 + σ 2 σ 3

10 Parti simmetrica e antisimmetrica di una matrice 10 / 14 Un altra utile decomposizione di una qualsiasi matrice quadrata è quella in parte simmetrica e parte antisimmetrica. Per spiegare questa decomposizione, ricordiamo che una matrice A = [a ij ] M n (R) si dice simmetrica se t A = A, mentre si dice antisimmetrica se t A = A. Ora, data A = [a ij ] M n (R), poniamo: A sym = A + t A 2 e A anti sym = A t A 2. (9) Si verifica immediatamente che A sym è simmetrica e A anti sym è antisimmetrica. Inoltre, un altrettanto facile verifica fornisce la decomposizione di A in somma di una parte simmetrica e di una parte antisimmetrica, ovvero: A = A sym + A anti sym.

11 Esercizio Sia A = Scrivere A come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. Soluzione: A = / 14

12 Complementi sulle applicazioni lineari 12 / 14 In generale, un applicazione lineare f : R n R m è definita da f (X) = A X, (10) dove X = t [x 1,...,x n ], A M m,n (R) e A X denota il prodotto di matrici. Si definisce { } Ker(f ) = X R n : f (X) = 0. (11) Ker(f ) è un sottospazio vettoriale del dominio R n detto nucleo dell applicazione lineare f. Sappiamo dalla teoria dei sistemi lineari che la sua dimensione è uguale a n ρ(a).

13 Complementi sulle applicazioni lineari 13 / 14 Un altro importante sottospazio vettoriale associato a f è: Im(f ) = {Y R m : X R n tale che f (X) = Y}. (12) Im(f ) è un sottospazio vettoriale del codominio R m detto immagine dell applicazione lineare f. Si verifica che la dimensione di Im(f ) è uguale al rango di A, per cui si può concludere che dim(ker(f )) + dim(im(f )) = n.

14 Complementi sulle applicazioni lineari 14 / 14 Inoltre, f { è iniettiva } se e solo se dim(ker(f )) = 0 (ovvero, Ker(f ) = 0 ), mentre f è surgettiva se e solo se dim(im(f )) = m. Nel caso particolare in cui m = n, si può osservare che le tre affermazioni seguenti sono equivalenti: f è iniettiva f è surgettiva f è bigettiva.