Elementi di Algebra Lineare

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1 Elementi di Algebra Lineare Corso di Calcolo Numerico, a.a. 2009/2010 Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari 13 Marzo 2006 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

2 Prodotto matrice vettore Sia A IR m n, x IR n di n: Ax = b è un vettore di m componenti. a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m Numero di operazioni per calcolare b: mn moltiplicazioni m(n 1) addizioni. Le matrici trasformano un vettore x di dimensione n in un vettore b di dimensione m. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

3 esempio b = Ax = A = ( 1 1/2 3/2 1/3 2 1/2 x = ( 1 1/2 3/2 1/3 2 1/2 ( (1/2) 1 + (3/2) 2 (1/3) (1/2) 2 ) ) ) = 1 1 = 2 ( 9/2 10/3 ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

4 Posso rappresentare una matrice utilizzando le sue colonne: A = (a 1,a 2,...,a n ) Il prodotto Ax = b può anche scriversi: (a 1,a 2,...,a n ) x 1 x 2. x n = b x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b cioè il vettore b si ottiene come combinazione lineare dei vettori colonna della matrice A. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

5 Esempio ( ) 1 1/2 3/2 A = 1/3 2 1/2 ( ) ( ) ( ) 1 1/2 3/2 a 1 = a 1/3 2 = a 2 3 = 1/2 1 Ax = (a 1,a 2,a 3 ) 1 = a 1 + a 2 + 2a 3 = b 2 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

6 Partizionamento Il partizionamento è una decomposizione della matrice in sottomatrici. Esempio a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 37 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 57 Possiamo scrivere con ( ) a11 a A 11 = 12 a 21 a 22 ( ) A11 A A = 12 A 13 A 21 A 22 A 23 ( ) a13 a A 12 = 14 a 15 a 23 a 24 a 25 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

7 Esempio con A 11 = ( ) A 12 = ( ) A 13 = ( ) A 21 = A 22 = A 23 = Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

8 Se le partizioni sono compatibili possiamo trattare le sottomatrici come scalari nell eseguire le operazioni tra matrici. Per esempio: ( ) ( ) A11 A 12 B11 B + 12 = A 21 A 22 B 21 B 22 ( ) A11 + B 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22 ( )( ) A11 A 12 B11 B 12 = A 21 A 22 B 21 B 22 ( A11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 ) A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

9 Prodotto esterno fra vettori Se a IR m e b IR n, si ha: W = ab T = a 1 b 1 a 1 b 2... a 1 b n a 2 b 1 a 2 b 2... a 2 b n a m b 1 a m b 2... a m b n. Le matrici W = ab T non vengono mai memorizzate completamente ma si utilizza sempre la loro rappresentazione con i vettori a e b. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

10 Come eseguiamo il prodotto Wx? c = Wx = (ab T )x = a(b T x) = (b T x)a b T x è uno scalare quindi calcoliamo prima µ = b T x e poi c = µa Numero di operazioni: 2n moltiplicazioni n 1 addizioni. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

11 Esempio Dato W = ab T = ( 2 1 ) = x = ( 3 4 ) Calcoliamo prima b T x = 10 e poi Wx = 10a. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

12 Inversa di un matrice Sia A IR n n. Se esiste una matrice A 1 IR n n tale che A 1 A = AA 1 = I allora A 1 viene chiamata inversa della matrice A. Se l inversa esiste, essa è unica. Infatti sia B tale che BA = AB = I, allora:. B = BI = BAA 1 = IA 1 = A 1 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

13 Valgono le seguenti proprietà (AB) 1 = B 1 A 1, infatti: (AB)B 1 A 1 = A 1 B 1 BA = I. (A T ) 1 = (A 1 ) T. Una matrice che non ammette l inversa è detta singolare. Se A è non singolare, lo è anche A 1. Infatti (A 1 ) 1 = A. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

14 Dipendenza lineare di vettori Dati r vettori x 1,x 2,...,x r, diversi dal vettore nullo, se con gli α i 0, i vettori si dicono linearmente dipendenti. Se α 1 x 1 + α 2 x α r x r = 0 α 1 x 1 + α 2 x α r x r = 0 solo se α i = 0 per i = 1,2,...,r allora i vettori x i, i = 1,2,...,r sono linearmente indipendenti. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

15 Se vi è un α i 0, ve ne deve essere almeno un altro perchè nessuno degli x i è nullo. Quindi alcuni dei vettori x i possono esprimersi come combinazione lineare degli altri. Infatti se x 1,x 2,...,x r sono l.d. con α r 0 si ha: x r = α 1 α r x 1 α 2 α r x 2 α r 1 α r x r 1. Se i vettori x i sono l.i., un qualunque sottoinsieme di essi è ancora l.i.. Una base è l insieme minimo di vettori l.i.. che generano un insieme dato. La base canonica di IR m è costituita dai vettori e 1,e 2,,e m con elementi (e i ) j = 0 per i j e (e i ) i = 1. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

16 Rango Dato un insieme di vettori {x 1,x 2,...,x n }, x i IR m si dice rango dell insieme il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che è possibile estrarre dall insieme. Poichè il massimo numero di vettori l.i. in tutto IR m è m, il rango di un insieme di vettori di IR m non può superare m. Data una matrice A, si dice rango della matrice, e si indica con rank(a), il rango dell insieme dei suoi vettori colonna. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

17 Vettori Ortogonali e Unitari Siano x e y IR n se x T y = 0 i due vettori si dicono ortogonali. quindi x T x = n x 2 i, i=1 x T x > 0. Se x T x = 1, il vettore x si dice unitario. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

18 Vettori ortogonali Un insieme di vettori tra loro ortogonali sono l.i.. α 1 x 1 + α 2 x α r x r = 0 moltiplichiamo, ad esempio, per x T 1 α 1 x T 1 x 1 + α 2 x T 1 x α r x T 1 x r = 0 Essendo ortogonali x T 1 x 2 = 0,...,x T 1 xt r = 0 quindi questo implica che α 1 = 0. α 1 x T 1 x 1 + α 2 x T 1 x α r x T 1 x r = α 1 x T 1 x 1 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

19 Sistemi lineari Non è sempre vero che fissato un vettore b di dimensione m, si possa sempre trovare un vettore x per cui Ax = b sia soddisfatta. Trovare x tale che: Ax = b è il problema della soluzione di sistemi lineari. Se b è il vettore nullo, il sistema lineare Ax = 0 si dice omogeneo. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

20 Consideriamo le due matrici A ed a 1,1 a 1,2... a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2... a 2,n b 2  = a m,1 a m,2... a m,n b m = (A,b) detta matrice ampliata, avente in comune con A le prime n colonne, mentre l ultima colonna è il vettore b. Si ha il seguente Teorema, noto come teorema di Rouché-Capelli: Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema Ax = b ammetta soluzioni è che il rango di A e quello di  coincidano. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

21 Se A è una matrice quadrata di ordine n allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: 1 Per ogni vettore b IR n, il sistema Ax = b ammette soluzione 2 Se una soluzione del sistema esiste essa è unica 3 Per ogni x IR n, Ax = 0 implica x = 0 4 Le colonne (righe) di A sono linearmente indipendenti 5 La matrice A è invertibile 6 det(a) 0 det(a) = n ( 1) i+j a i,j det(a i,j ), j=1 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

22 L ultima relazione può essere fuorviante, perchè il determinante cambia scalando la matrice. Infatti Se n = 30 e det(a) = 1 allora det(σa) = σ n det(a) det(0.1a) = Non è facile verificare al calcolatore quando questa quantità è veramente 0. Il calcolo del determinante con la regola di Laplace richiede più di n! moltiplicazioni, n = 16 il nostro computer esegue una moltiplicazione ogni secondi tempo di calcolo : 16!*1e-10/60 35 minuti Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

23 Autovalori ed autovettori Data una matrice quadrata A IR n n, un numero complesso λ si dice autovalore di A se esiste un vettore u 0 a componenti reali o complessi tale che: o Au = λu, (A λi)u = 0, u si dice autovettore di A ed è soluzione non nulla di un sistema lineare omogeneo. Tale soluzione esiste se det(a λi) = 0. Si dimostra che det(a λi) = p(λ) è un polinomio di grado n in λ che ha n radici nel campo complesso (polinomio caratteristico). Si dice raggio spettrale della matrice A, e lo si indica con ρ(a), il massimo modulo degli autovalori di A. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

24 Se u è un autovettore di A, anche αu, con α 0 è autovettore di A. Gli autovettori unitari o normalizzati sono tali che u T u = 1. ( ) 1 2 A = 2 1 autovalori di A: λ 1 = 3 e λ 2 = 1, autovettori: ( ) ( 1 1 u 1 = e u 1 2 = 1 ) autovettori normalizzati di A: u 1 = 1 ( ) e u 2 = 1 2 ( 1 1 ). Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

25 Norme Abbiamo definito i concetti di errore assoluto e relativo per gli scalari e visto come usarli per verificare la qualità dei nostri algoritmi. Gli errori misurano la distanza fra la soluzione vera e qualla calcolata. Se lavoriamo con matrici e vettori abbiamo bisogno di generalizzare il concetto di valore assoluto, per poter misurare la distanza fra vettori e matrici. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

26 Norme vettoriali Sia x IR n, si chiama norma di x, e si indica con x, un numero non negativo che soddisfa le seguenti condizioni: N1) se x è il vettore nullo, x = 0 e viceversa; N2) se λ è uno scalare, λx = λ x ; N3) se x ed y sono due vettori, x + y x + y (disuguaglianza triangolare) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

27 Sia x = (x 1,x 2,...,x n ) T Norma x = max 1 i n x i. Norma 1. n x 1 = x i i=1 Norma 2. x 2 = (x T x) 1/2. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

28 Norme matriciali Sia A IR m n, si chiama norma di A, e si indica con A, un numero non negativo che soddisfa le seguenti condizioni: M1) A = 0 se e solo se A è la matrice nulla; M2) Se λ è uno scalare allora λa = λ A ; M3) Se B è una matrice avente le stesse dimensioni di A allora: A + B A + B ; M4) Se B è una matrice il cui numero di righe è uguale al numero di colonne di A, allora: AB A B. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

29 Norma matriciale indotta da una norma vettoriale A = max x =1 Ax Una norma matriciale è compatibile con una norma su vettori se dato y IR n, Ay A y. Le norme matriciali indotte sono compatibili con le associate norme vettoriali. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30

30 Norma Norma 1 Norma 2 A = max A 1 = max A 2 = n a i,j. j=1 m a i,j. i=1 ρ(a T A) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare 6/03/ / 30