4. Sottospazi vettoriali Piani e rette in E 3 O

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Edmondo Franchi
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1 Indice Prefazione i Capitolo 0. Preliminari 1 1. Insiemistica e logica Insiemi Insiemi numerici Logica matematica elementare Ancora sugli insiemi Funzioni Composizione di funzioni Insiemi numerici e operazioni interne Strutture algebriche Anello dei polinomi Numeri complessi Piano di Gauss-Argand Modulo e coniugio Rappresentazione trigonometrica Formula di Eulero Formula di De Moivre Teorema Fondamentale dell Algebra 42 Capitolo 1. Vettori applicati e geometria dello spazio Vettori applicati Sistemi di riferimento cartesiani Rappresentazioni parametriche di rette e piani Prodotto scalare in E 3 O Equazioni cartesiane di rette e piani Rappresentazione cartesiana di un piano Rappresentazione cartesiana di una retta Posizioni reciproche tra rette e piani Fasci di piani Distanza punto-retta, punto-piano Superficie sferica 97 Capitolo 2. Spazi vettoriali Introduzione La nozione di spazio vettoriale Gli spazi R n Spazi vettoriali astratti 111 iii

2 iv 4. Sottospazi vettoriali Piani e rette in E 3 O Nozione di sottospazio Operazioni su sottospazi Il sottospazio generato da un insieme di vettori Generatori e spazi finitamente generati Vettori linearmente indipendenti Basi e coordinate Esistenza e costruzioni di basi Teorema della base Dimensione e sottospazi Sottospazi di spazi finitamente generati Ricerca di una base del sottospazio somma Ricerca di una base del sottospazio intersezione La formula di Grassmann Somma diretta di sottospazi Spazi vettoriali complessi Teoria generale Struttura reale soggiacente ad uno spazio vettoriale complesso Il coniugio in C n 169 Capitolo 3. Matrici Lo spazio delle matrici k n Righe e colonne di una matrice Struttura di spazio vettoriale sullo spazio delle matrici k n Moltiplicazione tra matrici Moltiplicazione matrice-vettore Prodotto tra matrici Proprietà del prodotto tra matrici Matrice identità Matrici a blocchi Il prodotto tra matrici quadrate e l invertibilità Prodotto tra matrici quadrate Potenze di una matrice quadrata Invertibilità di una matrice quadrata Cambiamenti di base Calcolo delle coordinate di un vettore di R n rispetto ad una base qualsiasi Cambiamento di base nel caso generico L operazione di trasposizione Trasposta di una matrice Matrici reali simmetriche Il determinante Determinante di matrici triangolari Proprietà del determinante La formula di Binet Calcolo dell inversa con la formula di Cramer Utilizzo delle proprietà del determinante per il suo calcolo 220

3 v 7. Il rango di una matrice Rango e minori di una matrice Rango di matrici con parametri Applicazioni del determinante Basi positive in E 2 O e E3 O Prodotto vettoriale in E 3 O Prodotto misto in E 3 O Interpretazione geometrica della funzione determinante Matrici complesse 246 Capitolo 4. Sistemi lineari Definizioni ed esempi Teorema di Rouché-Capelli Sistemi quadrati non singolari Sistemi equivalenti Descrizione dell insieme delle soluzioni di un sistema lineare Caso omogeneo Il caso non omogeneo Il metodo di riduzione di Gauss Sistemi triangolari non singolari Matrici e sistemi a scala Riduzione di una matrice a scala Discussione di sistemi lineari parametrici Applicazione: equazioni di sottospazi Determinazione delle equazioni cartesiane di sottospazi vettoriali Sistemi lineari a coefficienti complessi 297 Capitolo 5. Applicazioni lineari La nozione di applicazione lineare Funzioni e applicazioni definite su R n Applicazioni lineari tra R n e R k Applicazioni lineari tra spazi vettoriali Studio di un applicazione lineare Nucleo e immagine Teorema delle dimensioni Iniettività e suriettività di applicazioni lineari Spazi vettoriali isomorfi Isomorfismo di rappresentazione Caratterizzazione di un isomorfismo Applicazioni lineari e matrici Matrici associate alla stessa applicazione lineare Matrici equivalenti Matrici simili Composizione di applicazioni lineari Applicazioni lineari tra spazi vettoriali complessi 340 Capitolo 6. Autovalori e diagonalizzazione 345

4 vi 1. Introduzione ed esempi Autovalori ed autovettori: definizioni Ricerca di autovalori e autovettori di una matrice Polinomio caratteristico Autospazi e loro equazioni Diagonalizzazione Diagonalizzazione di una matrice Diagonalizzazione di un operatore lineare Criteri di diagonalizzazione Somma di autospazi Condizioni necessarie e sufficienti Approfondimenti e applicazioni Autovalori e diagonalizzazione delle potenze di una matrice Il Teorema di Cayley-Hamilton Autovalori in campo complesso 399 Capitolo 7. Struttura metrica in R n Prodotto scalare Norma, distanza e angoli Basi e sistemi ortogonali Sistemi ortogonali Basi ortogonali Algoritmo di ortogonalizzazione Matrici ortogonali Definizione e proprietà Cambi di base ortogonali Matrici ortogonali di ordine Matrici ortogonali di ordine Complemento ortogonale di un sottospazio Definizione e prime proprietà Proiezioni ortogonali Ulteriori proprietà del complemento ortogonale Equazioni cartesiane di un sottospazio e basi del complemento ortogonale Il Teorema spettrale Diagonalizzazione con matrici ortogonali Teorema spettrale Prodotto hermitiano e dimostrazione del teorema spettrale 443 Capitolo 8. Forme quadratiche e loro applicazioni Forme quadratiche Definizioni ed esempi Rappresentazione matriciale di una forma quadratica Segno di una forma quadratica Forma canonica di una forma quadratica Coniche Coniche come luoghi geometrici Coniche come curve di grado

5 vii 2.3. Classificazione euclidea delle coniche Superfici quadriche Quadriche di rotazione Quadriche come superfici di grado Classificazione euclidea delle superfici quadriche Quadriche rigate 490 Indice analitico 495

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