appuntiofficinastudenti.com 1. Strutture algebriche e polinomi

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1 1. Strutture algebriche e polinomi Cenni su linguaggio di Teoria degli Insiemi: appartenenza, variabili, quantificatori, negazione, implicazione, equivalenza, unione, intersezione, prodotto cartesiano, Applicazioni, iniettive, surietive, invertibili. Operazioni e prime proprieta. Strutture Algebriche: Semigruppi, Gruppi, Anelli, Campi. Il campo dei razionali, il campo dei reali. Anello e campo dei polinomi su un campo. Equazioni di primo e secondo grado. Il piano cartesiano (come R-spazio vettoriale). Distanza fra punti. Vettori liberi. Combinazioni lineari di due vettori. Prodotto scalare e vettoriale. Equazione della retta nella varie forme (inclusa Equazione parametrica). Intersezione di rette. Sistema. Condizione di paralleleismo e perpendicolarita. Matrice di un sstema. Determinane matrice 2x2. Discussione e soluzione sistemi parametrici 2x2 e relativa formula di Cramer. Metodo di Riduzione per sistemi lienari. Metodo di Gauss per la soluzione dei generici sistemi lineari, anche parametrici. 2. Spazi vettoriali Spazi Vettoriali su un campo K e loro proprietà elementari (con dim). Lo spazio vettoriale numerico R^n e lo spazio vettoriale delle matrici. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi. Dipendenza di un vettore da un sistema. Dipendenza ed indipendenza lineare di un sistema di vettori. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Basi, Teorema di caratterizzazione delle basi (con dim.), componenti di un vettore, Lemma di Steinitz (con dim.), Teorema di equipotenza delle basi (con dim.). Teorema di equipotenza delle basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un sistema di generatori, estensione a base di un sistema di vettori indipendente. Somme e somme dirette di sottospazi. Teorema del Complemento di un sottospazio. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari e loro proprietà elementari. Sistemi ed applicazioni lineari. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. I sistemi omogenei: il sottospazio delle soluzioni. Teorema su Relazione fra soluzioni sistema generico e omogeneo. Teorema Caratterizzazione funzioni lineari (in dimensione finita). Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Teorema di omomorfismo per funzioni lineari Equazione dimensionale. Lo spazio vettoriale delle matrici Operazioni sulle matrici. Teorema isomorfismo funzioni lineari e matrici appuntiofficinastudenti.com

2 Teorema sull'anello degli Endomorfismi e algebra delle Matrici quadrate Matrici a blocchi. Metodo di Gauss per la trattazione dei sistemi linaari Teorema della trasformazione elementare di Gauss. Matrice inversa con il metodo di Gauss Sistemi parametrici. Matrici invertibili. Operazioni elementari e matrici elementari. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Sottomatrici. Determinanti e loro principali proprietà. Teorema degli orlati. Metodi per il calcolo del determinante. Teorema di Binet. Metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice. Nozione di sistema lineare su un campo. Sistemi compatibili. Ricerca delle soluzioni di un sistema. Teorema di Rouché-Capelli (con dim.). Teoremi di unicità. Sistemi equivalenti e sistemi in forma normale. Sistemi di Cramer e teorema di Cramer (con dim.). 3. Applicazioni lineari, endomorfismi e diagonalizzazione Caratterizzazione degli automorfismi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Applicazione lineare associata ad una matrice e matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi fissate. Matrici associate alle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Endomorfismi: autovalori, autovettori, autospazi. Polinomio caratteristico e caratterizzazione degli autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazioni. Diagonalizzabilità di un endomorfismo e di una matrice. Teorema Spettrale. 4. Geometria analitica nel piano e nello spazio Spazi vettoriali euclidei. Il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale di due vettori in uno spazio vettoriale. Sottospazi ortogonali. Basi ortonormali. Il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Il teorema di Pitagora (con dim.). Riferimenti cartesiani monometrici ortogonali. Rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane di rette e piani (nel piano e nello spazio). Vettore direzionale di una retta. Fasci di rette in un piano Condizioni di parallelismo ed orogonalità. Posizioni reciproche tra rette e piani. Ampliamento proiettivo del piano e coordinate omogenee. Le coniche: classificazione Testi di riferimento: L. Lomonaco, Geometria e Algebra, Aracne M. Brunetti, esercizi di Algebra lineare e geometria, Edises C. Ciliberto, Algebra lineare, Boringhieri. appuntiofficinastudenti.com

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