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1 ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3. Sia L: R 3! R 3 l applicazione lineare x x y + z ya x + y +za. z x y z (a) Scrivere la matrice A che rappresenta L nella base canonica di R 3 : (b) alcolare: dim Ker L = dim Im L = (c) Scrivere una base per Ker L e una per Im L: (d) Trovare le equazioni cartesiane per Ker L eiml: (e) Determinare una rappresentazione parametrica per l insieme delle controimmagini di v A:. Si consideri il sistema lineare: 8 >< x hy = h + hx +(+3h)y = >: x +( h)y =+h h R. (a) Scrivere la matrice A dei coe cienti e la colonna B dei termini noti: (b) Stabilire per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione: (d) Risolvere il sistema per h = :

2 3. Si consideri la matrice A A. (a) alcolare: det A = rga = (b) Scrivere il polinomio caratteristico di A: (c) Determinare tutti gli autovalori di A e le rispettive molteplicità algebriche: (d) Determinare una base di ciascun autospazio di A: (e) Stabilire se esiste una base ortonormale di R 3 composta da autovettori di A. In caso positivo, determinarla. 4. Si considerino i seguenti vettori: u = A v = A, e siano l angolo convesso da essi determinato e V il sottospazio da essi generato. (a) alcolare: < u, v >= = (b) alcolare: dim V = dim V? = (c) Trovare una base ortogonale di V : (d) Scrivere le equazioni di V? : 5. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, î, ˆ, ˆk), si considerino i piani : x + y + z =e :x y + z =. (a) Determinare la direzione della retta r intersezione dei piani e : (b) Determinare l equazione cartesiana del piano ortogonale a r passante per O: (c) Determinare l equazione cartesiana del piano punto A =(,, ): contenente la retta r ed il (d) Determinare i punti P della retta r che distano p dall origine O:

3 ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3 Svolgere in modo completo il seguente esercizio. Sia q : R! R la forma quadratica di matrice A =. alcolare: q = q = q =.. Stabilire, giustificando ogni a ermazione, se è vero che per ogni R e per ogni X R risulta: q( X) = q(x). 3. Stabilire qual è il segno di q. 4. Scrivere una forma canonica per q.

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5 ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3. Sia L: R 3! R 3 l applicazione lineare x x +y z ya x +4y za. z x y + z (a) Scrivere la matrice A che rappresenta L nella base canonica di R 3 : (b) alcolare: dim Ker L = dim Im L = (c) Scrivere una base per Ker L e una per Im L: (d) Trovare le equazioni cartesiane per Ker L eiml: (e) Determinare una rappresentazione parametrica per l insieme delle controimmagini di v 4 A:. Si consideri il sistema lineare: 8 >< x (h )y = h (h )x +(3h )y = >: x +(3 h)y =+h h R. (a) Scrivere la matrice A dei coe cienti e la colonna B dei termini noti: (b) Stabilire per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione: (d) Risolvere il sistema per h =/3:

6 3. Si consideri la matrice A (a) alcolare: det A = rga = A. (b) Scrivere il polinomio caratteristico di A: (c) Determinare tutti gli autovalori di A e le rispettive molteplicità algebriche: (d) Determinare una base di ciascun autospazio di A: (e) Stabilire se esiste una base ortonormale di R 3 composta da autovettori di A. In caso positivo, determinarla. 4. Si considerino i seguenti vettori: u = A v = A, e siano l angolo convesso da essi determinato e V il sottospazio da essi generato. (a) alcolare: < u, v >= = (b) alcolare: dim V = dim V? = (c) Trovare una base ortogonale di V : (d) Scrivere le equazioni di V? : 5. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, î, ˆ, ˆk), si considerino i piani : x + y z =e : x y + z =. (a) Determinare la direzione della retta r intersezione dei piani e : (b) Determinare l equazione cartesiana del piano ortogonale a r passante per O: (c) Determinare l equazione cartesiana del piano punto A =(,, ): contenente la retta r ed il (d) Determinare i punti P della retta r che distano p dall origine O:

7 ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3 Svolgere in modo completo il seguente esercizio. Sia q : R! R la forma quadratica di matrice A =. alcolare: q = q = q = 3.. Stabilire, giustificando ogni a ermazione, se è vero che per ogni R e per ogni X R risulta: q( X) = q(x). 3. Stabilire qual è il segno di q. 4. Scrivere una forma canonica per q.

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