Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio A)

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1 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio 25 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. In R 3, siano dati il punto P = (, 2, 3) e la retta r : (,, ) + t(, 2), t R.. Determinare un equazione cartesiana del piano ortogonale ad r e passante per P. 2. Determinare un equazione cartesiana del piano contente la retta r e il punto P.

2 Esercizio 2. Si considerino le matrici ( ) A =, A 2 2 = ( ) 3, A 2 3 =. Stabilire se le matrici A, A 2, A 3 sono linearmente indipendenti. ( ) M /2 2 2 (R). 2. Determinare una base e la dimensione del sottospazio vettoriale di M 2 2 (R) generato da A, A 2, A 3.

3 3 Esercizio 3. Data A = 2, si consideri l applicazione lineare L A : R 3 R 3, definita da 2 L A (v) = Av, per ogni v R 3. Determinare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di L A.

4 Esercizio 4. Sia (V,, ) uno spazio euclideo reale, e sia W un sottospazio vettoriale di V.. Dare la definizione di W. 2. Se V = R 4, munito del prodotto scalare standard, e W = L((,, 2, ), (,,, 2), (,,, )), determinare una base di W.

5 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 8 Giugno 25 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x + y = y + z =, s 2 : + t. Determinare equazioni cartesiane per la retta r passante per, t R. e ortogonale a s e s Stabilire per quali valori del parametro reale k il piano π : x + ky + z = k contiene la retta s.

6 Esercizio 2. Siano B = canonica di R 2. ([. Calcolare le coordinate di ] [, [ 2 ]) e B = ] rispetto a B; ([ ] [, ]) due basi di R 2 e sia C la base 2. Calcolare la matrice di cambiamento di base M(B, C). 3. Calcolare la matrice di cambiamento di base M(B, B).

7 Esercizio 3. Data la matrice A =, trovare una matrice ortogonale U ed una matrice diagonale D, tali che D = U T AU.

8 Esercizio 4. Sia V uno spazio vettoriale su R.. Dare la definizione di sottospazio vettoriale di V. 2. Siano U e W due sottospazi vettoriali di V, tali che dim U = 3, dim W = 3 e dim(u W ) = 2. Dimostrare che dim V 4.

9 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 8 Giugno 25 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x z = y + z =, s 2 : + t. Determinare equazioni cartesiane per la retta r passante per, t R. e ortogonale a s e s Stabilire per quali valori del parametro reale k il piano π : x + ky + z = k contiene la retta s.

10 Esercizio 2. Siano B = canonica di R 2. ([. Calcolare le coordinate di ] [, [ 2 ]) e B = ] rispetto a B; ([ ] [, ]) due basi di R 2 e sia C la base 2. Calcolare la matrice di cambiamento di base M(B, C). 3. Calcolare la matrice di cambiamento di base M(B, B ).

11 Esercizio 3. Data la matrice A =, trovare una matrice ortogonale U ed una matrice diagonale D, tali che D = U T AU.

12 Esercizio 4. Sia V uno spazio vettoriale su R.. Dare la definizione di sottospazio vettoriale di V. 2. Siano U e W due sottospazi vettoriali di V, tali che dim U = 3, dim W = 3 e dim(u W ) = 2. Dimostrare che dim V 4.

13 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 7 luglio 25, A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Sia consideri la retta r di equazioni cartesiane { x + y = y + z + =.. Determinare un equazione cartesiana per il piano π ortogonale a r e passante per P = (, 2, 3). 2. Determinare equazioni parametriche per la retta r 2 passante per il punto P, ortogonale a r e incidente l asse x.

14 Esercizio 2. In R 4, si considerino il sottospazio vettoriale U definito dalle equazioni x 3 =, x = 2x 2 + x 4, e il sottospazio W generato dai vettori 3 w =, w 2 =, w 3 = 2.. Determinare una base per U W. 2. Determinare una base ortogonale per W (rispetto al prodotto scalare standard di R 4 ).

15 Esercizio 3. Si consideri l applicazione lineare L : R 4 R 3, definita da x L x 2 x x 3 x 3 = x + x 3 x 4. 4x x 3 2x 4 4. Trovare una base di Ker(L) e una base di Im(L). 2. Scrivere la matrice associata adl rispetto alla base canonica di R 4, presa come base di partenza, e B =,,, presa come base di arrivo.

16 Esercizio 4.. Sia λ un autovalore di una matrice A. Definire la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di λ, e scrivere la disuguaglianza che lega le due molteplicità. 2. Stabilire, motivando le risposte, quali tra le seguenti matrici sono invertibili, e quali sono diagonalizzabili: A = 7 8, B =

17 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 2 luglio 25) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Determinare i valori di s, t R per i quali il vettore dei vettori, t,. s s + è combinazione lineare

18 Esercizio 2. In R 4, si consideri il sottospazio W generato dai vettori v =, w = 2, u = 2 2. (a) Determinare equazioni cartesiane per W. (b) Determinare una base ortonormale per W rispetto al prodotto scalare standard.

19 Esercizio 3. Sia T : R 3 R 3, l applicazione lineare definita da T = 2 3, T =, T 2 = Stabilire se T è invertibile. 2. Stabilire se T è diagonalizzabile. 3. Trovare una base per ciascun autospazio di T.

20 Esercizio 4. Sia T : R n R m una applicazione lineare.. Dare la definizione di nucleo di T. 2. Siano v, w Ker T. Dimostrare che v + w Ker T. 3. Se T è iniettiva, dimostrare che n m;

21 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 3 Settembre 25) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x y = y z =, s 2 : { x 2y = y + z =. Determinare un equazione parametrica per la retta r passante per. 2 e ortogonale a s e s Trovare i punti di intersezione di r con i piani coordinati, ovvero x =, y =, e z =.

22 Esercizio 2. In R 3, si consideri il sottospazio U generato dai vettori, 2, 2.. Calcolare la dimensione di U. 2. Trovare equazioni cartesiane di U. 3. Determinare una base ortonormale di U rispetto al prodotto scalare standard.

23 Esercizio 3. Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da 2 3 T = 2 3, T = 4 4, T =. Scrivere la matrice associata a T rispetto alla base canonica di R 3, presa come base di partenza e di arrivo. 2. Stabilire se T è diagonalizzabile. Motivare la risposta

24 Esercizio 4. Sia V uno spazio vettoriale su C e sia B = (v,..., v n ) una base di V.. Dare la definizione di coordinate di un vettore v V rispetto alla base B. 2. Per ogni v V, dimostrare che v, v,..., v n sono linearmente dipendenti.

25 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 7 Settembre 25) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Siano α il piano passante per (,, 2) e ortogonale all asse x, e β il piano di equazione x = 3y.. Determinare un punto di α diverso da (,, 2). 2. Determinare la mutua posizione dei due piani. 3. Scrivere una equazione parametrica per una retta parallela a β e passante per l origine.

26 Esercizio 2. Sia A = Le righe di A sono linearmente indipendenti? Giustificare la risposta. 2. Determinare Sol(A, (2,,, )).

27 Esercizio 3. Sia L : R 2 R 3 l applicazione lineare associata alla matrice A = rispetto alle basi canoniche. a) L e iniettiva? L e suriettiva? Giustificare le risposte. b) Scrivere l operatore associato alla matrice ( t A)A e dire se esso e diagonalizzabile.

28 Esercizio 4.. Sia V uno spazio vettoriale su R. Dare la definizione di sottospazio di V. 2. Siano W = {A M(n n, R) / a ii = i} e S = {A M(n n, R) / t A = A}. Dire se W e S sono sottospazi di M(n n, R) e giustificare le risposte.