1. Esercizi (1) Calcolare + ( 1) + 3 2, 2. (2) siano X, Y, Z R 3. Dimostrare che se X +Y = X +Z, allora Y = Z;

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1 Esercizi () Calcolare 4 + () + () siano X Y Z R Dimostrare che se X +Y = X +Z allora Y = Z; () dimostrare che i vettori sono linearmente dipendenti; (4) dimostrare che i vettori 4 sono linearmente indipendenti; (5) stabilire se i vettori sono linearmente dipendenti; (6) stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti; ; (7) stabilire se il vettore è combinazione lineare dei vettori (8) siano v v v R Dimostrare che: se v e v sono linearmente dipendenti allora v v v sono linearmente dipendenti; se v v v sono linearmente indipendenti allora v v sono linearmente indipendenti; se v v v sono linearmente indipendenti allora v v +v v v sono linearmente indipendenti; se v v v sono linearmente dipendenti allora v v + v v sono linearmente dipendenti; (9) Dimostrare che ogni vettore di R è combinazione lineare dei seguenti vettori: () determinare l angolo fra i vettori X = ; Y = ; ;

2 () stabilire per quali valori di k R i vettori X = k k sono ortogonali; k () stabilire per quali valori di k R l angolo fra i vettori X = Y = k k Y = k k è acuto rispettivamente ottuso; () sia S = Determinare S ; 4 (4) siano X Y R due vettori non nulli ed ortogonali Dimostrare che sono linearmente indipendenti; (5) calcolare l area del parallelogramma di lati e ; (6) stabilire per quali valori di k R i vettori X = k k + sono linearmente dipendenti; k Y = (7) siano X = 4 Y = Calcolare X Y ; (8) siano X = Y = Z = Calcolare: X (Y + Z); X (Y Z); X (Y Z); (9) siano X Y R vettori lineramente indipendenti Dimostrare che i vettori X Y X Y sono linearmente indipendenti

3 Esercizi () Determinare equazioni parametriche per la retta r: passante per i punti e 4 passante per P = e vettore direttore A = ; passante per e parallela alla retta r : X = + t ; () determinare un equazione cartesiane per il piano passante per e ortogonale al vettore ; 6 () determinare un equazione cartesiane per il piano passante per e ortogonale alla retta r : X = t ; (4) determinare un equazione cartesiane per il piano π passante per i punti ; (5) determinare un equazione cartesiane di un piano passante per 4 e (6) determinare un equazione cartesiane per il piano contenente la retta r : X = + t e passante per 4 ; (7) sia P R e sia n R un vettore non nullo Sia π = {X R : X P n = } il piano passante per P e ortogonale a n Siano P P π Dimostrare che la retta passante per P e P è contenuta

4 4 nel piano π; (8) determinare un equazione parametrica per il piano π : x y + z = ; (9) determinare un equazione parametrica per il piano passante per e ortogonale al vettore ; 4 () determinare un equazioni parametrica per il piano π passante per i punti () sia r : X = P + ta t R ed A un retta nello spazio e sia Q / r Dimostrare che il piano contenente la retta r e passante per P ha equazioni parametriche π : P + ta + s(p Q) s t R; () determinare un equazione parametrica per il piano contentente la retta r : X = + t e passante per 4 4 ; () determinare un equazione cartesiana per il piano π : X = + t + s per s t R; (4) siano P P P R tre punti non allineati Dimostrare che il piano passante per P P P ha equazioni parametriche X = P + t(p P ) + s(p P ) t s R; rispettivamente equazioni cartesiane; (5) siano P P P R tre punti non allineati Dimostrare che il piano passante per P P P ha equazioni cartesiane ax + by + cz = d dove a b = (P P ) (P P ) ed d = n P ; c (6) (7) determinare un equazione cartesiane per il piano π passante per i punti ; (8) determinare equazioni cartesiane per la retta r: passante per ;

5 passante per t ; e parallela alla retta r : X = 5 + ortogonale alle rette s : X = + t s : X = + t e passante per P = (9) Determinare equazioni cartesiane e parametriche per il piano π: ortogonale a e passante per ; passante per P = P = P = ; passante per P = P = e parallelo alla retta r : { x z = y z = () Siano dati { al variare di k R il piano π : kx + y z = k ed la x kz = k retta r : Determinare per quali valori di k il piano y + kz = 4 π e la retta r sono paralleli; () siano s : X = + t s : X = + t due rette nello spazio Determinare un piano π contenente le rette s e s Tale piano è unico? () sia r : X = + t Determinare un piano π contenente r e passante per

6 6 () Determinare equazioni cartesiane e parametriche per la retta r passante per ed incidente alle rette { { x y z = x + y z = s : s x y = : y = (4) Determinare equazioni cartesiane e parametriche per la retta r incidente e ortogonale alle rette { { x z = x = s : s y = : y + z = (5) Data la retta r di equazione cartesiane { x + z = y + = determinare un piano parallelo a r e all asse delle x e passante per

7 7 Esercizi () Calcolare 5 + () + ; () dimostrare che i vettori sono linearmente dipendenti; () dimostrare che i vettori 4 sono linearmente indipendenti; (4) stabilire se i vettori sono linearmente dipendenti; (5) stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti; (6) stabilire se il vettore è combinazione lineare dei vettori ; (7) siano v v v v 4 v 5 R 6 Dimostrare che se v v v sono linearmente dipendenti allora v v v v 4 v 5 sono linearmente dipendenti; se v v v v 4 sono linearmente indipendenti allora v v v sono linearmente indipendenti; se v v v v 4 v 5 sono linearmente indipendenti allora v v + v v v 4 + v v 5 + v 4 sono linearmente indipendenti; (8) Dimostrare che ogni vettore di R 4 è combinazione lineare dei seguenti vettori: ;

8 8 () In M (R) calcolare ( ) + 4 Esercizi ( () in M (R) calcolare ( ) ( + 8 ) ( ) ) ( () calcolare la trasposta delle seguenti matrici: ( ) ( ( ) ( ) ( ) (4) siano A = B = C = M (R) Calcolare 4A T 5B + C; (5) sia A M n n (R) antisimmetrica Dimostrare che gli elementi sulla diagonale principale sono tutti nulli; (6) in M (C) calcolare ( i + i ) T ( + i i i (7) calcolare la coniugata delle seguenti matrici: ( ) + i i + i i + i i i 5i i i i ) ( i i i ) ) ) ( i i + i 7 9 i 4 + i i (8) sia A M n n (C) Dimostrare che A è Hermitiana se e solamente se ia è anti-hermitiana; (9) calcolare la traccia delle seguenti matrici: ( ) () sia A una matrice Hermitiana rispettivamente anti-hermitiana Dimostrare che Tr(A) è un numero reale rispettivamente immaginario puro; () sia A una matrice anti-simetrica Dimostrare che T r(a) = ; () calcolare la trasposta delle seguenti matrici: ( ) 5 ( ) )

9 () calcolare la coniugata e l aggiunta delle seguenti matrici: ( ) i i 4 5i ( i + i + i i i 5 + i i i 7 + i + i i i 9 + 4i 4 i i + i + i i (4) stabilire per quali valori di h R le seguenti matrici ( ) h + h + h h h h 4 h h h + h sono antisimmetriche; (5) stabilire per quali valori di h R le seguenti matrici ( ) h + h + h h h + h h h h + h h + h h + h h h sono simmetriche; (6) stabilire per quali valori di h C le seguenti matrici ( ) h + i h + + i i h i h h + i h i sono Hermitiane; (7) stabilire per quali valori di h C le seguenti matrici ( ) i + h + i h + h h + h i h i sono anti-hermitiane; (8) calcolare la traccia delle seguenti matrici: ( ) 5 5 (9) Stabilire per quali valori di h C le matrici ( ) h 4 h + i i 9 h i + h i + i + i + h i h i h + i h i 7 9 h h h 7 h hanno traccia nulla; () Siano A B M n n (K) Dimostrare che: se A B sono matrici diagonali allora A + B è una matrice diagonale; )

10 se A B sono matrici triangolari superiori rispettivamente inferiori allora A + B è una matrice triangolare superiore rispettivamente inferiore; se A B hanno traccia allora A B ha traccia nulla () dimostrare che se A è antisimmetrica allora Tr(A) = Vale il viceversa? () dimostrare che se A è antihermitiana allora Tr(A) è un numero immaginario puro ie Tr(A) = Tr(A) Vale il viceversa? () dimostrare che se A è hermitiana allora Tr(A) è un numero reale Vale il viceversa? (4) sia A M n n (C) Dimostrare che A è Hermitiana se e solamente se ia è anti-hermitiana; (5) sia A una matrice Hermitiana Dimostrare che Tr(A) è un numero reale;

11 5 Esercizi () Calcolare quando possibile i prodotti AB e BA delle seguenti matrici: ( ) (i) A = B = 4 ; ( ) ( ) 6 (ii) A = B = ; 4 8 (iii) A = ( 5 ) B = 4 ; (iv) A = 4 (iv) A = i + i i 4 i () Siano e = e = Dimostrare che B = B = i i i i i e = e 4 = e 5 = R5 e sia A M m 5 (R) rispettivamente B M 5 n (R) Ae i = A i per = 5 rispettivamente e T i B = B i per i = 5; () siano A B M n n (K) Se B è invertibile dimostrare che Tr(B AB) = Tr(A); (4) siano A B M n n (K) Se A è invertibile e AB = dimostrare che B = (5) sia A M n n (K) e sia λ K Dimostrare che det(λa) = λ n det(a); (6) sia A M n n (R) antisimmetrica Se n è dispari dimostrare che det(a) = ;

12 (7) calcolare i determinanti delle seguenti matrici: ( ) (8) dire per quali valori di a R la matrice a a è non singolare; (9) dare un esempio di una matrice diagonale non invertibile; () dare un esempio di una matrice antisimmetrica invertibile; () dare un esempio di una matrice simmetrica non invertibile; () dare un esempio di una matrice anti-hermitiana non invertibile; () dare un esempio di una matrice diagonale non invertibile; (4) dare un esempio di una matrice antisimmetrica e invertibile; (5) dare un esempio di una matrice Hermitiana e invertibile; (6) siano A B M n n (R) matrici ortogonali Dimostrare che AB è ancora una matrice ortogonale; A è invertibile e A T = A è ancora una matrice ortogonale; BAB T è ancora una matrice ortogonale; (7) siano A B M n n (R) Se A B sono ortogonali La matrice A + B è ancora ortogonale? (8) siano A B M n n (C) matrici unitarie Dimostrare che AB è ancora una matrice unitaria; A è invertibile ed A = A è ancora una matrice unitaria (9) sia GL(n K) = {A M n n (K) : det(a) } Dimostrare che: Id n GL(n K); se A B GL(n K) allora AB GL(n K); A GL(n K) se e solamente se A T GL(n K); se A B GL(n K) allora A 4 B T A è una matrice invertibile; se A B GL(n K) allora A + B è ancora una matrice invertibile? () stabilire se le seguenti matrici ( ) ( )

13 sono ortogonali; () trovare se esistono le matrici inverse delle seguente matrici: 4 6 () Verificare che det 4 5 = 8 Suggerimento: trasformare la matrice in triangolare superiore tramite passaggi opportuni () Stabilire se esiste l inversa delle seguenti matrici e in caso affermativo determinare la sua espressione A = A = A = 4 8 B = 7 6 C = 7 (4) Calcolare il determinante della seguente matrice e determinare per quali valori del parametro reale h è invertibile A = h h h 4 h h 4 h (5) Per ognuna delle seguenti matrici discutere al variare del parametro reale h l esistenza dell inversa e determinare una sua espressione quando esiste 4 h B = h 6 5 h C = (6) Determinare il rango delle seguenti matrici: 4 B = C = h + h

14 4 6 Esercizi () per i seguenti sistemi lineari x + y + z = x + y = x y z = x y + z = 9 9x + y z = x 9y + z = determinare la matrice dei coefficienti e la matrice completa () ridurre a scala le seguenti matrici: ( ) () Determinare il rango delle seguenti matrici: (4) al variare di t C calcolare il rango delle seguenti matrici: t t t + t t t 4 4 t t t t t (5) si discuta la compatibilità dei seguenti sistemi lineari: x y + z = x + y + z = x y + z t = x + y + z = 6 4x + y + z = x + y + z + t = x + y z = x 5y + z = 5 x + y + z t = 5 (6) si discuta al variare di k R la compatibilità del seguente sistema lineare: kx + z = x + y = (k + )x + z = y + z = (a) (b) { kx + 4y + kz = x + ky + z = λx + 8y = λ x + λy = λ x + y =

15 (c) x + y + αz = αx z = x + αy + z = (7) si dicuta al variare dei parametri α β R la compatibilità del seguente sistema lineare: x + 4y z = α βx + αy βz = β x y z = (8) Risolvere il seguente sistema lineare: x + x + x 5 = x + x 4 + x 5 = x x 4 x 5 = x + x + x + x 4 = (9) al variare dei parametri k h R stabilire la posizione reciproca delle rette { { x + kx s : x = x x s x h = : kx = h x kx = () al variare dei parametri k h R stabilire la posizione reciproca delle retta { x + kx s : x = h kx + 4x = ed il piano π : x kx + x = h () stabilire per quali valori di k h R la retta { kx x s : = x + x = h + è contenuta nel piano x + kx x = h () Si considerino le rette { { x + x s : x = x x s x = : x = x x = (a) Stabilire la posizione reciproca di s e s (b) Determinare equazioni per la retta s parallela alla retta X = t( ) T e complanare con ciascuna delle due rette s e s (c) Calcolare la distanza del punto P = ( ) dalla retta s () Siano P Q R due punti distinti Dimostrare che un vettore X R appartiene alla retta passante per P e Q se e solamente se la matrice A = (P Q X Q) M (R) ha rango uno (4) Siano P P P tre punti non allineati Dimostrare che un vettore X R appartiene al piano π passante per P P P se e solamente se det(x P P P P P ) = 5

16 6 (5) stabilire se i vettori 4 4 sono linearmente dipendenti; (6) stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti; (7) Si discuta al variare del parametro k R la dipendenza lineare dei vettori: k k k k k k k k R5 (8) Dire se il vettore R è combinazione lineare dei vettori 6 (9) siano v = v = v = Al variare di k R dire se il vettore Z = k k è combinazione lineare dei vettori v v v ; () si discuta al variare di k R la lineare indipendenza dei seguenti vettori: k k k 4 k R5

17 7 Esercizi () Sia V uno spazio vettoriale su K In seguito denoteremo con K l elemento neutro rispetto alla somma di K e con il vettore nullo di V v = per ogni v V ; sia λ K Allora λ = ; sia v V e λ K Dimostrare che se λv = allora v = oppure λ = ; () sia S R non vuoto Dimostrare che S è un sottospazio vettoriale di R ; () sia W = {a + a x + a x R [x] : a + a = a a + a = } Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di R [x]; (4) Siano V = M n n (K) Dimostrare che: l insieme delle matrici diagonali è un sottospazio vettoriale di V ; l insieme delle matrici triangolari superiori rispettivamente inferiori è un sottospazio vettoriale di V ; l insieme delle matrici che hanno traccia nulla è un sottospazio vettoriale di V ; l insieme delle matrici simmetriche rispettivamente antisimmetriche è un sottospazio vettoriale di M n n (R); l insieme delle matrici Hermitiane rispettivamente antihermitiane è chiuso rispetto alla somma ma non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalare (5) siano A B M n n (K) Hermitiane Dimostrare che 4A+5B è ancora una matrice Hermitiana; (6) Sia V uno spazio vettoriale su K Dimostrare che: un vettore v è linearmente indipendente se e solamente se v ; v w V sono linearmente dipendenti se e solamente se esiste α K tale che v = αw oppure w = αv (7) Sia V uno spazio vettoriale su K e sia B = {v v n } V Dimostrare che: se v v n sono linearmente indipendenti allora ogni sottoinsieme di B è costituito da vettori linearmente indipendenti; se B è un insieme formato da vettori linearmente dipendenti allora ogni sovrainsieme di B è costituito da vettori linearmente dipendenti; (8) Sia V uno spazio vettoriale su K Siano v v v v 4 V vettori linearmente indipendenti Siano λ λ λ 4 K Dimostrare che i vettori v v λ v v λ v v 4 λ 4 v sono linearmente indipendenti (9) siano + x + x + x R [x] Dimostrare che + x + x + x sono linearmente indipendenti e formano un sistema di generatori; 7

18 8 e n = K n Dimostrare che e e n () siano e = sono linearmente indipendenti e formano un sistema di generatori; () sia K n [x] l insieme dei polinomi di grado n Dimostrare che x x n sono linearmente indipendenti e generatori; () sia R4 Stabilire se L ; () stabilire se i vettori + x + x + x x + x x 4 R[x] sono linearmente dipendenti oppure linearmente indipendenti; (4) stabilire se i vettori [ ] [ ] [ ] M (R) sono linearmente indipendenti (5) stabilire se x 4 L( x x x + x x 4 x ); (6) Dire se il vettore + x + x è combinazione lineare dei vettori x + x x + x + x + x + x R [x] (7) sia V = M (R) Stabilire per quali valori di k R i vettori [ k ] [ k k ] [ k + ] [ ] M (R) sono linearmente indipendenti (8) sia π un piano di R passante per l origine Dimostrare che π è un sottospazio vettoriale di R ; (9) sia r una retta in R passante per l origine Dimostrare che r è un sottospazio vettoriale di R ; () sia π : x + y z = un piano nello spazio Stabilire se esistono due rispettivamente tre vettori linearmente indipendenti che appartengono a π;

19 8 Esercizi () sia V uno spazio vettoriale su K Sia B = {v v n } una base di V e sia F B : V K n l applicazione che associa ad ogni vettore v le sue coordinate rispetto alla base B ie F B (v) = [v] B Dimostrare che w w m V sono linearmente indipendenti se e solamente se [w ] B [w m ] B K n sono linearmente indipendenti; w w m V formano un sistema di generatori di V se e solamente se i vettori [w ] B [w m ] B K n formano un sistema di generatori di K n ; w w m V formano una base di V se e solamente se i vettori [w ] B [w m ] B K n formano una base di V ; Sia W = L(w w m ) e sia W = F B (W ) = {F B (w) : w W } Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di K n ; W = L([w ] B [w m ] B ); w W se e solamente se [w] B W dim W = dim W () sia B = Dimostrare che B è un base di R e calcolare F B : R R () sia B = Dimostrare che B è un base di R e calcolare le coordinare dei vettori: (4) sia B = rispetto alla base B; base di R 4 e calcolare le coordinare dei vettori: 9 Dimostrare che B è una rispetto{( alla base B; ) ( ) ( ) ( )} (5) sia B = Dimostrare che B è una base di M (R) Inoltre calcolare le coordinare dei

20 seguenti vettori ( ) ( rispetto alla base B; (6) sia V = M (R) e sia ([ ] [ W = L 4 ) ( ] [ 5 ) ] [ 5 6 ]) ( ) α + β 4 + β Dire per quali valori di α β R il vettore 4α + W (7) dire se i vettori + x + x x x + x + x formano una base di R [x] In caso affermativo calcolare F B : R [x] R ; (8) si discuta al variare del parametro k R la lineare dipendenza dei vettori k + x + kx k + x R [x] (9) sia V = R [x] e sia B = ( + x x x x ) Dimostrare che B è una base di V Determinare le coordinate di un polinomio a + a x + a x rispetto alla base B sia W = L( + x x + x ) Determinare per quali valori del parametro k R si ha + kx + (k + )x W x () Sia W = x x R4 : x + x = ; x + x 4 = Determinare x 4 la dimensione ed una base di W ; () sia dato in R 4 il sottospazio x + x + x = W : x + x + x 4 = x + x + x + x 4 = Determinare la dimensione e una base di W ; () sia dato in R 4 il sottospazio x + x + x 4 = W = x + x + x + x 4 = x x + x + x 4 = Determinare la dimensione eunabase di W ; () Sia W = L Determinare una base e equazioni cartesiane di W

21 (4) sia W = {A M (R) : A = A T } rispettivamente W = {A M (R) : A = A T } Dimostrare che dim W = rispettivamente dim W = ; (5) dimostrare che W = {p(x) R [x] : p() = p() = } è un sottospazio vettoriale di R [x] e determinare una base di W ; (6) dimostrare che R[x] non ammette un sistema finito di generatori; (7) in R[x] sia W = L( x + x x x + x ) Determinare una base di W ; (8) si discuta al variare di k R la lineare dipendenza dei vettori k + x + kx k + x R [x] (9) Sia V = M (R) e sia B = ([ ] [ Dire se B è una base di V coordinate delle matrici [ ] [ ] [ ] [ ]) In caso affermativo determinare le ] [ rispetto alla base B () sia π : ax + by + cz = un piano nello spazio R Dimostrare che dim π = ; () siano v v m K n Sia A = (v v m ) M n m (K) Sia S = (S S m ) una sua riduzione a scala Siano S j S j k le colonne che contengono i perni Dimostrare che v j v jk formano una base di L(v v m ) () completare a base di R i seguenti vettori: ] ; () completare a base di R 4 i seguenti vettori: ; ;

22 (4) sia W = L Determinare la dimensione di W Completare a base di R 4 una base di W Determinare equazioni cartesiani di W (5) Determinare equazioni cartesiane dei seguenti sottospazi vettoriale di R 4 : L L L 4

23 9 Esercizi () Si considerino in R 4 i seguenti sottospazi vettoriali: { W = L U = x x x = x x + x 4 = 4 (a) Determinare una base e equazioni cartesiane di W (b) Completare a base di R 4 una base di W (c) Determinare una base di U (d) Determinare una base di U + W (e) Determinare una base e equazioni cartesiane di U W (f) Stabilire se U e W sono in somma diretta () Siano dati i sottospazi W = L k k h h U = k h k h R4 Stabilire per quali valori di h k R U e W sono in somma diretta ([ ] [ ] [ ]) () sia V = M (R) e siano U = L ([ ] [ ] [ ]) e W = L Determinare la dimensione ed una base di U e W Completare a base di M (R) una base di W Stabilire se U e W sono in somma diretta (4) Sia V = C [t] e siano W = L ( i + t + t + t + it t t (i ) + ( i)t + t ) e U = L ( + it + it i + it + t + t it + (i + )t + (i + )t ) due sottospazi di U (a) Calcolare la dimensione ed una base di W (b) Completare a base di C [t] una base di U (c) Dire se U e W sono in somma diretta (5) sia V uno spazio vettoriale su K Siano U W sottospazi vettoriali di V Se dim U = dim W = e dim(u W ) = dimostrare che dim V 5 (6) Sia V = M n n (R) e siano U = {A V : A = A T } e W = {A V : A = A T } Dimostrare che V è in somma diretta di U e W

24 4 (7) siano π un piano passante per l origine ed r una retta passante per l origine Dimostrare R è in somma diretta di π e r se e solamente se π e r sono incidenti (8) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n Sia W V un sottospazio di V Dire se e esiste W V tale che V = W W Tale sottospazio è unico?

25 Esercizi () Sia T : R R l applicazione così definita: T x x = x + x x x x x Dimostrare che T è lineare; () sia T : R 4 R l applicazione così definita: x T x x + x 4 x = x x + x 4 x x + x 4 Dimostrare che T è lineare; () sia v o R un vettore non nullo Sia T : R R così definita: T (X) = X v o Dimostrare che T è lineare; (4) sia A M m n (K) e sia T : M p m (K) M p n (K) così definita: T (X) = XA Dimostrare che T è lineare; (5) sia T : M n n (K) K così definita: T (X) = Tr(X) Dimostrare che T è lineare; (6) sia A M n n (K) e sia T : M n n (K) M n n (K) così definita: T (X) = X Tr(AX)Id n Dimostrare che T è lineare (7) sia T : M n n (K) M n n (K) così definita: T (X) = Tr(X)X Dimostrare che T non è lineare; (8) sia T : R [t] R così definita: T (p) = p() Dimostrare che T è lineare Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; (9) sia T : R R 4 l unica applicazione lineare così definita: T = T = T = Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R R l unica applicazione lineare così definita: T = T = T = 6 Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R [t] M (R) l unica applicazione lineare così definita: [ ] [ ] [ ] T () = T ( t + t ) = T (t + t ) = 4 5

26 6 Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R R l unica applicazione lineare così definita: T = T = T = Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R 4 R l applicazione lineare definita da: x T x x = x + x x x + x + x 4 x x + x + x 4 4 Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; (4) sia T : R 4 R l applicazione lineare così definita x T y z = x + y z + w z + y + w x + y z + 4w w Dimostrare che T è lineare; calcolare una base per l immagine di T ; calcolare una base per il nucleo di T ; calcolare le equazioni cartesiane dell immagine di T (5) Sia T : R [t] R così definita: T (p) = [ p() p() p() Dimostrare che T è lineare; calcolare una base per l immagine di T ; calcolare una base per il nucleo di T (6) Sia v R Sia T : R R l applicazione così definta: T (w) = w v Dimostrare che T è lineare e determinare la dimensione ed una base del nucleo di T rispettivamente dell immagine di T ; (7) sia A = [ ] Sia T : M (R) M (R) X X Tr(AX)Id Dimostrare che T è lineare; stabilire se T è iniettiva; determinare una base dell immagine di T (8) sia [ ] [ x y x y w + z T : M (R) M (R) z w w + z y w Dimostrare che T è lineare; determinare una base di Ker T ; determinare una base di Im T ; ] ]

27 stabilire se Ker T e Im T sono in somma diretta Determinare un sottospazio W M (R) tale che M (K) è in somma diretta di W e Im T (9) sia T : M n n (R) M n n (R) così definita: T (A) = A A T Calcolare il nucleo di T ; calcolare l immagine di T ; stabilire se Ker T e Im T sono in somma diretta () Sia T : V W una applicazione lineare Sia S V Ricordiamo che l immagine di S attraverso l applicazione T è il sottoinsieme T (S) = {T (s) : s S} W ; invece H W allora T (H) = {v V : T (v) H} è chiamata la controimmagine di W attraverso T Dimostrare che se S V è un sottospazio di V allora T (S) è un sottospazio di W ; se S = L(w w p ) allora T (S) = L(T (w ) T (w p )) In particolare dim T (S) dim S; se H W è un sottospazio vettoriale allora T (H) è un sottospazio di V di dimensione dim T (H) = dim(im T H)+ dim Ker T () Sia A = (A A A ) M (R) Definiamo f(a) = A A A Dimostrare che: f è lineare rispetto a ciascuna colonna f(a) = det(a) () sia C = {e e n } la base canonica di R n Per ogni i n definiamo 7 e i : R n R e i x x n = x i Dimostrare che e i è una applicazione lineare Dimostrare che e e n formano una base di Lin(R n R) () Siano W e V spazi vettoriali su K Dimostrare che dim W dim V se e solamente se esiste una applicazione lineare iniettiva T : W V (4) Siano W e V sottospazi vettoriali su K Sia T : V W una applicazione lineare suriettiva Dimostrare che esiste una applicazione lineare iniettiva L : W V tale che T L = Id W (5) Siano V e W spazi vettoriali su K Sia Z V un sottospazio vettoriale di V rispettivamente H W un sottospazio vettoriale di W Sia H = {T : V W lineari : T (Z) H} Dimostrare che H è un sottospazio vettoriale di L(V W ) (6) Sia T : V W un applicazione lineare iniettiva Siano v v n linearmente indipendenti Dimostrare che T (v ) T (v n ) sono linearmente indipendenti

28 8 (7) Sia T : V W un applicazione e siano v v n V Supponiamo che i vettori T (v ) T (v n ) sono linearmente indipendenti Dimostrare che v v n sono linearmente indipendenti (8) Sia T : V W e sia w Im T Sia v V tale che T (v) = w Dimostrare che T (w) = {v + z : z Ker T } (9) sia T : V V una applicazione lineare Dimostrare che V = Ker T Im T se e solamente se Ker T Im T = {}; () Dire se i seguenti spazi vettoriali sono isomorfi e in caso affermativo scrivere esplicitamente un isomorfismo: R e R [x] R 4 e R 4 [x] { A M n n (R) : A = A T } e { A M n n (R) : A = A T } C 5 [t] w M (C) C 4 e M (C) {A M n n (C) : A = A } e {A M n n (C) : A = A } {A M (C) : A = A : Tr(A) = } e R M m n (K) e M m n (K) () Siano V e W spazi vettoriali su K Sia Z V un sottospazio vettoriale di V rispettivamente H W un sottospazio vettoriale di W Determinare le condizioni necessarie e sufficienti affinché esista una applicazione lineare T : V W tale che Ker T = Z e Im T = H; () Sia R[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali Se p = a + a x + + a n x n K[x] definiamo rispettivamente p = a + a x + n + a n x n p = xa o + x a x n+ + + a n n + Dimostrare che l applicazione rispettivamente T : R[x] R[x] p p L : R[x] R[x] p p è lineare Verificare che T L = Id R[x] T è biunivoca? L?

29 Esercizi () Siano A B M m n (K) e siano L A : K n K m rispettivamente L B : K n K m le applicazione lineari associate Dimostrare che L A + L B = L A+B ; L λa = λl A () Siano A M m p (K) e B M p n (K) Siano L A : K p K m rispettivamente L B : K n K p le applicazione lineari associate Dimostrare che L A L B = L AB () Sia A = 9 Determinare L A : R 4 R e 7 calcolarenucleo e immagine di L A ; (4) Sia A = 9 Scrivere l applicazione lineare L A e determinare nucleo e immagine di L A (5) scrivere un applicazione lineare iniettiva T : R R ; (6) scrivere una applicazione lineare suriettiva T : R R ; (7) sia T : R R così definita T x y = z x y + z x + y + z y + z Dimostrare che T è lineare; determinare M T ; calcolare una base per l immagine di T ; calcolare una base per il nucleo di T ; calcolare equazioni cartesiane per l immagine di T ; calcolare T ; (8) Sia T : R R l unica applicazione lineare così definita: T = T = T = (9) determinare M T ; () calcolare una base per l immagine di T ; () calcolare una base per il nucleo di T ; () calcolare equazioni cartesiane dell immagine di T ; () stabilire se Im T ;

30 (4) Sia T : R 4 R così definita x T y x y + z + w z = z y w x y + z 4w w Determinare M T Stabilire se T è suriettiva Determinare una base per il nucleo di T Determinare T (5) Sia T : R 5 R 4 così definita x y T z w = t x + y + t y + z + w x + y + w + t x + y z + t w Determinare M T stabilire se T è suriettiva; determinare una base per il nucleo di T ed una base per l immagine di T (6) sia v = R e sia T : R R w w + w v v (7) sia v = Dimostrare che T è lineare; determinare M T e stabilire se T è suriettiva determinare una base per il nucleo di T ; determinare una base per l immagine di T ; stabilire se R è in somma diretta di Ker T e Im T R e sia T : R R T (X) = X X v v Determinare M T e verificare che M T è ortogonale; stabilire se T è biunivoca In caso affermativo determinare T ; verificare che T (v) = v e T (w) = w per ogni w R tale che v w =

31 (8) Si considerino le applicazioni lineari T : R R 4 e L : R 4 R così definite: T x x + x x = x + x x x + x + x x + x + x x L x x x + x 4 x = x + x 4 x x x x 4 x 4 Determinare una base e dimensione del nucleo di T ; determinare una base e dimensione dell immagine di L; determinare una base e dimensione del nucleo di L T ; determinare una base e dimensione dell immagine T L (9) Sia T : R R l applicazione lineare definita da T = T = determinare M T ; stabilire se T è iniettiva; stabilire se Im T 4 T =

32 Esercizi () Dire per quali valori di k R l angolo fra i vettori X = () Sia k k 4 4 è acuto ottuso rispettivamente retto {[ B = ] [ ]} k Y = Dimostrare che B è una base ortogonale di R Determinare le coordinate di un vettore v R rispetto alla base B Determinare M(B C) dove C è la base canonica di R () Sia B = Dimostrare che B è una base ortonormale Determinare le coordinate di un vettore v R rispetto alla base B Verificare che la matrice M(B C) dove C è la base canonica di R è ortogonale (4) Sia B = Dimostrare che B è una base ortogonale di R 4 Determinare le coordinate di un vettore v R 4 rispetto alla base B Determinare la matrice M(B C) dove C è la base canonica di R 4 (5) Applicare il procedeminto di Gram-Schmidt alle seguenti basi: {[ ] [ ]}

33 ; (6) Sia R n e sia il prodotto scalare canonico Siano v w R n e sia B = {v v n } una base di R n Dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti: (a) v = w; (b) v v j = w v j per ogni j = n; (c) v z = w z per ogni z R n (7) Sia C una base ortonormale di R n Sia B una base di R n Dimostrare che B è una base ortonormale se e solamente se M(C B) è una matrice ortogonale (8) Sia W = L R4 Calcolare una base ortogonale di W ; (9) sia W = L R4 Calcolare una base ortogonale di W ; () siano W = L U = L 6 sottospazi di R 4 Determinare: equazioni cartesiane di U proiezione ortogonale su (U + W ) equazioni cartesiane di W U () Sia W = L un sottospazio di R4 Determinare una base ortogonale di W e completarla a una base ortogonale di R 4 ;

34 4 Scrivere la proiezione ortogonale su W () Sia W = L 4 un sottospazio di R4 Scrivere le equazione cartesiane di W e W rispettivamente Determinare una base ortogonale di W e completarla a base ortogonale di R 4 Determinare la proiezione ortogonale su W () Sia V uno spazio vettoriale su R e siano U e W sottospazi vettoriali di V Dimostrare che V = U W se e solamente se per ogni v V esistono e sono unici u U e w W tale che v = u + w; (4) sia V uno spazio vettoriale su R e siano U e W sottospazi vettoriali di V tali che V = U W Dimostrare che ogni vettore v V si scrive in maniera unica come v = u + w dove u U e w W sia v V Poiché esistono e sono unici u U e w W tali che v = u + w definiamo rispettivamente P U : V V P U (v) = u P W : V V P W (v) = w Dimostrare che: (a) P U è lineare; (b) Ker P U = W e Im P U = U; (c) P U + P W = Id V (5) Sia V = M n m (R) e sia g : V V R l applicazione g(a B) = Tr(AB T ) Dimostrare che per ogni A B C M m n (R) e λ µ R si ha: (a) g(a A) con uguaglianza se e solamente se A = (b) g(a B) = g(b A) (c) g(λa + µb C) = λg(a C) + µg(y Z) (d) g(a λb + µc) = λg(a B) + µg(a C) Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e definire un angolo fra due matrici Due matrici A e B si dicono ortogonali se g(a B) = Sia S V Dimostrare che S = {A V : g(a s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V Se W = L(A A s ) allora W = {A V : g(a A) = = g(a s A) = }

35 Se W è un sottospazio vettoriale di V dimostrare che V = W W Siano A A k vettori non nulli e a due a due ortogonali Dimostrare che A A k sono linearmente indipendenti Dimostrare che V ammette basi formate da vettori non nulli e a due a due ortogonali Siano A A k V vettori a due a due ortogonali Dimostrare che A T AT k sono vettori a due a due ortogonali (6) Sia V = M n n (R) e sia g : V V R l applicazione g(x Y ) = Tr(XY ) Dimostrare che per ogni A B C M n n (R) e λ µ R si ha: (a) g(a B) = g(b A) (b) g(λa + µb C) = λg(a C) + µg(y Z) (c) g(a λb + µc) = λg(a B) + µg(a C) (d) se g(a B) = per ogni B V allora A = (e) Se A B V diremo che A e B sono ortogonali se g(a B) = Sia S V Dimostrare che S = {A V : g(a s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V Sia W un sottospazio vettoriale di V È vero che W W = {}? Sia W = {A V : A = A T } rispettivamente W = {A V : A = A T } il sottospazio delle matrici simmetiche rispettivamente antisimmetriche Dimostrare che: (a) per ogni A W si ha g(a A) e l uguaglianza è verificata se e solamente se A = (b) per ogni A W si ha g(a A) e l uguaglianza è verificata se e solamente se A = (c) se A W e B W allora g(a B) = (d) Dimostrare che W = W Dimostrare che esistono basi di V formata da vettori a due a due ortogonali 5

36 6 Esercizi () Sia T : V W lineare e siano B e C basi di V e W rispettivamente Dimostrare che F C (Im T ) = Im L MCB (T ) F B (Ker T ) = Ker L MCB (T ) () Sia T : V W una applicazione lineare Sia r = dim Im T Dimostrare che esiste una base B di V ed una base C di W tale che M CB (T ) = ( Idr () Scrivere una applicazione lineare T : R 5 R 4 la cui immagine ha dimensione ; (4) scrivere una applicazione lineare T : R R 4 iniettiva; (5) scrivere una applicazione lineare T : R 4 R suriettiva; (6) sia T : R R così definita T x y = z ) x + y + z x + y + z x y z Scrivere M CB (T ) dove B = base canonica Stabilire se T è suriettiva Calcolare una base per il nucleo di T (7) Sia T : R R l applicazione lineare definita da e C è la T = T = T = (a) Scrivere la matrice M BC (T ) dove B = e C è la base canonica (b) Scrivere la matrice M CC (T ) dove C è la base canonica di R ; (c) scrivere la matrice M BC (T ); (d) stabilire se T è suriettiva; (e) determinare le equazioni cartesiane dell immagine di T ; (f) stabilire se appartiene all immagine di T (8) [ Sia T : R [t] ] M (R) così definita: T (a o + a x + a x ) = a a a a a a

37 (a) Scrivere la matrice M C C(T ) dove C = { {[ ] [ ] [ ] [ ]} + t t } e C = (b) Calcolare una[ base del ] nucleo ed una base per l immagine di T (c) Stabilire se appartiene all immagine di T In caso affermativo calcolare T ([ ]) [ ] (9) Sia T : R [t] R p() così definita: T (p) = Determinare p() M C C(T ) dove C = { + t t } e C è la base canonica di R ; () sia T : R R così definita: T x y = x y + z x + y Sia z y z B = una base di R Infine sia C la base canonica di R Determinare: M BC (T ); M CB (T ); M BB (T ) () Sia T : R R 4 l applicazione lineare definita da T = T = Stabilire se T è iniettiva; stabilire se 6 Im T 4 determinare [ una ] base per il nucleo di T sia A = Sia e siano e T = T : M (R) M (R) X X Tr(AX)Id B = C = {[ {[ basi di M (R) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} ]} 7

38 8 Stabilire se T è lineare: calcolare M CB (T ); stabilire se T è iniettiva; determinare[ una base ] per l immagine di T ; stabilire se Im T () sia [ ] [ x y x y w + z T : M (R) M (R) z w w + z y w ] Siano e B = C = {[ {[ ] [ ] [ ] [ ] [ basi di M (R) Stabilire se T è suriettiva; determinare M CB (T ); determinare una base di Ker T () Sia T : R R così definita ] [ ] [ T x y = x y z x y + z z x + y 5z Scrivere M CB (T ) dove B = base canonica; stabilire se T è suriettiva calcolare una base per il nucleo di T (4) Sia T : R R così definita T x y = x y z x y + z z x + y 5z Scrivere M BB (T ) dove B = Stabilire se T è suriettiva calcolare una base per il nucleo di T ]} ]} e C è la

39 (5) Sia T : R R 4 così definita T x y = z x y z x y + z x + y 5z x + z Scrivere M CB (T ) dove B = base canonica di R 4 ; stabilire se T è iniettiva calcolare una base per l immagine di T (6) Sia T : R 4 R così definita T x y z w = x + y z w y z + w x + y z w Scrivere M BC (T ) dove B = base canonica di R 4 Stabilire se T è iniettiva calcolare una base per l immagine di T 9 e C è la e C è la

40 4 () Sia B = 4 Esercizi una base di R 4 Cal- colare le coordinate di un vettore v R 4 rispetto a B Determinare M(B C) e {[ M(C B) ] dove [ C]} è la base{[ canonica ] [ di ]} R 4 {[ ] [ ]} () Siano B = C = D = basi di R Determinare: [ ] x le coordinate di rispetto alla base D y [ ] x le coordinate di rispetto alla base C y M(B C) M(C D) M(B D) M(D C) () Siano B = ( + t t t + t t ) C = ( + t + t + t ) basi di R [t] Scrivere M(B C) (4) Siano B = C = D = basi di R Determinare: le coordinate di x y z rispetto a D le coordinate di M(B C) M(C D) M(B D) M(D C) x y z rispetto a C (5) Sia T : R R così definita: T x y = x + y + z y + z z x + y + z Siano B = C = basi di R Determinare: M BB (T )

41 M CC (T ) M BC (T ) M CB (T ) Sia T : R [t] R l unica applicazione lineare tale che T () = T ( t) = T ( + t ) = Sia B = ( + t t t ) una base di R [t] rispettivamente B = base di R Determinare: M B B(T ) M B C(T ) dove C = ( t t ) M C B(T ) dove C è la base canonica di R M C C(T ) una base di Ker T una base di Ker T (6) Sia T : R R 4 l applicazione lineare così definita: T x y z = 4x 5y 7z x y z x + y + z x + y + z Sia B = base di R 4 e sia B = base di R Sia C rispettivamente C la base canonica di R 4 rispettivamente la base canonica di R Determinare: M CC (T ); M BC (T ); M BB (T ); una base per il nucleo di T ; una base per l immagine di T 4

42 4 5 Esercizi () Calcolare gli autovalori ([ delle]) seguenti [ applicazioni ] lineari: T : R R x x y T = y y + x T : R R T x x y = y + x z x + y + z ([ ]) [ ] T : R R x y T = y x T : C C T z z = z + z z z z + z ([ ]) [ ] x y x z y w T : M (R) M (R) T = z w y w z T : R [t] R [t] T (a + a t + a t ) = a + (a + a )t + ( a + a a )t T : M n n (R) R [t] R [t] T (a + a t + a t ) = a + (a + a )t + ( a + a a )t T : M n n (R) M n n (R) X X T () Sia W R n e sia P W : R n R n la proiezione ortogonale su W Dimostrare che gli autovalori di P W sono e Dimostrare che P W è diagonalizzabile () Siano B = ( + t t t + t t ) C = ( t t ) basi di R [t] Sia T : R [t] R [t] così definita: T (p) = p()t + p Dimostrare che T è lineare Scrivere le matrici M CB (T ) M CC (T ) e M BB (T ) Determinare autovalori e autovettori di T Determinare una base per ciascuni autospazio di T Stabilire se T è diagonalizzabile (4) sia T : V V tale che T + T + Id V = dove T = T T Dimostrare che T è invertibile (5) Sia T : V V un endomorfismo di V che verifica T (T Id) = Dimostrare che V = Ker T Ker (T Id) e quindi che T è diagonalizzabile (6) Sia T : V V un endomorfismo Dimostrare che: Se λ K è un autovalore di T allora λ è un autovalore di T Se T è invertibile allora λ autovalore di T se e solamente se λ è autovalore di T Dedurre che T è diagonalizzabile se e solamente se T è diagonalizzabile (7) Sia T : M (R) M (R) l applicazione lineare così definita: ([ ]) ([ ]) x y x y z z w y z w

43 4 calcolare gli autovalori di T ; stabilire giustificando la risposta se T 4Id è iniettiva; stabilire giustificando la risposta se T è diagonalizzabile (8) Sia T : R R così definita ([ ]) x T = y [ x y x + y Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile (9) Sia T : R R così definita T x y = z x y + z y Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile () Sia T : R R così definita T x y = z ] x + z x y + z x y + z Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile () Sia T : R R l applicazione lineare definita da T = T T = T = Calcolare gli autovalori di T Stabilire se T è diagonalizzabile () Sia T : R R l applicazione lineare definita da = T = T = 5 Calcolare gli autovalori di T Stabilire se T è diagonalizzabile () Siano L T : V V endomorfismo diagonalizzabili T + L rispettivamente T L è diagonalizzabile? (4) Sia T : V V un endomorfismo di V Sia λ K un autovalore di T con molteplicità algebrica Dimostrare che anche la molteplicità geometrica è uguale a (5) Sia T : V V un endomorfismo di V Supponiamo che dim V = 7 Supponiamo inoltre che T ha tre autovaloti distinti λ λ λ tali che m g (λ ) = m g (λ ) = m g (λ ) = Diomostrare che T non è diagonalizzabile

44 44 (6) Sia T : V V un endomorfismo di V Supponiamo che dim V = 4 e che l endomorfismo ha due autovaloti distinti λ λ tali che m g (λ ) = m g (λ ) = Dimostrare che T è diagonalizzabile (7) Sia T : V V un endomorfismo di V Supponiamo che dim V = 5 e che l endomorfismo ha due autovaloti distinti λ λ tali che m g (λ ) = 4 e m a (λ ) = Dimostrare che T è diagonalizzabile

45 6 Esercizi () Discutere la diagonalizzabilità su R e su C delle seguenti matrici: ( ) ( ) () Stabilire per quali valori di k R la matrice A = k k è diagonalizzabile () Sia A M n n (K) Allora λ K è un autovalore di A se e solamente se λ è un autovalore di A T Se A è diagonalizzabile allora A T è diagonalizzabile? Se K = C allora λ C è un autovalore di A se e solamente se λ è un autovalore di A (4) Stabilire se la matrice A = è diagonalizzabile In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D (5) Dire se la matrice A = è diagonalizzabile In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice / / diagonale D tale che P AP = D (6) Stabilire se la matrice A = è diagonalizzabile In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D (7) Stabilire se la matrice A = è diagonalizzabile In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D (8) Stabilire se la matrice A = 45 è diagonalizzabile In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D

46 46 (9) Sia T : M (R) M (R) l applicazione lineare così definita: ([ ]) ([ ]) x y x y + z z w y + z w calcolare gli autovalori di T ; stabilire giustificando la risposta se T 4Id è iniettiva; stabilire giustificando la risposta se T è diagonalizzabile In caso affermativo calcolare una base di M (R) formata da autovettori di T () Sia T : R R così definita ([ ]) x T = y [ x + y x y Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T () Sia T : R R così definita T x y = z ] x y + z x + y + z x y + z Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T () Sia T : R R l applicazione lineare definita da T = T = T = 5 Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T () Sia T : R R l applicazione lineare definita da T = T = 4 Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile T = 5 5

47 Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T (4) Sia T : M (R) M (R) l applicazione lineare così definita: T (X) = X Tr(AX)A [ ] dove A = calcolare gli autovalori di T ; stabilire giustificando la risposta se T 4Id è iniettiva; stabilire giustificando la risposta se T è diagonalizzabile In caso affermativo calcolare una base di M (R) formata da autovettori di T (5) Sia T : R [t] R [t] così definita: T (a + a t + a t ) = (a + a a ) + (a + a + a )t + ( a + a + a )t calcolare gli autovalori di T ; stabilire giustificando la risposta se T è diagonalizzabile In caso affermativo calcolare una base di R [t] formata da autovettori di T 47

48 48 () Data la matrice A = 7 Esercizi Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D () Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D () Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T A U = D (4) Data la matrice A = 5 5 Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D Infine calcolare A 5 (5) Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D (6) Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D (7) Sia A M n n (R) e sia il prodotto scalare canonico Dimostrare che:

49 AX Y = X A T Y per ogni X Y R n Sia A è una matrice antisimmetrica Dimostrare che AX X = Dedurre che l unico autovalore reale è λ = e che quindi una matrice antisimmetrica A non nulla non è diagonalizzabile su R Sia A M n n (R) una matrice simmetrica oppure antisimmetrica e sia W R n un sottospazio vettoriale A-invariante ie per ogni w W si ha Aw W Dimostrare che anche W è A-invariante (8) Sia A M n n (R) una matrice ortogonale Dimostrare che: per ogni X Y R n si ha AX AY = X Y dove è il prodotto scalare canonico Vale anche il viceversa? se λ R è un autovalore di A allora λ = ± (9) Sia A M n n (C) una matrice Hermitiana e sia il prodotto Hermitiano canonico Dimostrare che: AZ W = Z AW per ogni Z W C n ; gli autovalori di A sono reali () Sia A M n n (C) una matrice anti-hermitiana e sia il prodotto Hermitiano canonico Dimostrare che: AZ W = Z AW per ogni Z W C n ; gli autovalori di A sono immaginari puri () Sia A M n n (C) una matrice unitaria Dimostrare che per ogni Z W C n si ha AZ AW = Z W dove è il prodotto Hermitiano canonico Vale anche il viceversa? se λ C è un autovalore di A allora λ = 49