GEOMETRIA. 17 FEBBRAIO ore. Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi.

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1 GEOMETRIA 7 FEBBRAIO ore Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi. Trascrivere i risultati dei quiz della prima parte nella tabella in questa pagina. La risposta ai quiz vale 2.5 punti se esatta, 0 se errata o assente. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. Cognome e nome (stampatello): Matricola: Docente: Q a b c d e Q4 a b c d e Q2 a b c d e Q5 a b c d e Q a b c d e Q6 a b c d e Non scrivere in questo spazio I II

2 Prima Parte (Quiz) Q. Sia v un vettore non nullo. (a) L equazione v x = x v ha x = 0 come unica soluzione ( denota il prodotto vettoriale). (b) Se w è un vettore, allora v w e v+ w sono perpendicolari se e solo se v = w. (c) L equazione v x = w ha soluzione x per ogni scelta di w. (d) Esiste un versore u tale il triangolo di lati v e u ha area 2 v. Q2. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz sia data la quadrica Q : x 2 + y 2 + 4z 4 = 0. (a) Q è un cilindro. (b) Q è un iperboloide. (c) Q è unione di due piani. (d) Q è un paraboloide. Q. Sia data la matrice 0 π 2 /2 A = 0 8/ , α con α R, e sia f: R 5 R l applicazione lineare associata ad A. (a) Esiste α R tale che f sia iniettiva. (b) Per ogni vettore v R 5 si ha f(v) (e 2, π, 0 ) R. (c) f è sempre suriettiva qualsiasi sia α. (d) Per α = si ha ker(f) = { 0 }. 2

3 Q4. Nel piano con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy è data la conica C di equazione: x 2 + 6xy + y 2 = k, con k R. (a) Se k = 0 allora C è una parabola. (b) Se k = allora C è un ellisse. (c) Se k = 0 allora C è una coppia di rette parallele. (d) Se k = allora C è un iperbole. Q5. Sia V un sottospazio di R 0. (a) Esiste un sottospazio W R 0 tale che dim(v + W ) = dim(w ). (b) Esiste un sottospazio W R 0 tale che dim(w ) =, dim(v + W ) = 5, dim(v W ) = dim(v ). (c) Esiste un vettore w R n tale che dim(v + L (w)) = dim(v ) + 2. (d) Per ogni sottospazio W R 0 l insieme V W contiene infiniti vettori. Q6. Si consideri M = ( 0 0 ) R 4, e si consideri la matrice A = t M M R 4,4 (a) Il rango di A è 0. (b) Il rango di A è 2. (c) Il rango di A è 4. (d) Il rango di A è. (e) Il rango di A è.

4 Seconda Parte (Esercizi) Esercizio. (i) Siano v,..., v n vettori di uno spazio vettoriale V. Spiegare cosa significa che v,..., v n sono linearmente indipendenti. Siano 0 0 x A = , X = x 2 x. 4 2 x 4 (ii) Risolvere il sistema omogeneo AX = 0 ed esprimere le sue soluzioni in termini di un parametro libero. (iii) Dati 0 0 C = 0, C 2 = 2, C = 0, C 4 = 4, 4 2 verificare che AX = x C + x 2 C 2 + x C + x 4 C 4. (iv) Determinare tutte le soluzioni del sistema AX = C 4. (v) Determinare la dimensione del sottospazio L (C, C 2, C, C 4 ), giustificando la risposta. Svolgimento dell esercizio : 4

5 Esercizio 2. (i) Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz siano dati i piani π : ax + by + cz = d, π : a x + b y + c z = d, π : a x + b y + c z = d. Enunciare una condizione necessaria e sufficiente sulle matrici affinché π π π sia vuoto. a b c a b c, a b c a b c d a b c d a b c d Siano dati i piani α, β e la retta r λ, λ R, rispettivamente di equazioni α : x + y + z =, β : x 2y + z = 0, r λ : { x z = 0 y = λ. (ii) Verificare che α e β hanno in comune esattamente una retta s: calcolare un sistema di equazioni parametriche di s. (iii) Verificare che s e r λ sono ortogonali per ogni λ R. (iv) Verificare che esiste λ R per cui s e r λ sono incidenti: calcolare tale λ. (v) Sia u : { x z = 0 y = /. Determinare l equazione del piano π contenente s e u. Svolgimento dell esercizio 2: 5

6 Esercizio. Sia data la matrice reale simmetrica 2 2 A = (i) Verificare che i vettori 0 v = w = 2 di R sono autovettori per A relativi allo stesso autovalore λ =. (ii) Verificare che il polinomio caratteristico di A è della forma p(t) = (t + ) 2 (t λ) per qualche λ R: calcolare λ. (iii) Indicare una base di R formata da autovettori di A. (iv) Indicare una base ortonormale di R formata da autovettori di A. (v) Si consideri la forma quadratica q(x, y, z) = ( x y z ) x A y : z è vero o falso che q(x, y, z) > 0 per ogni (x, y, z) R non nullo? Motivare la risposta. Svolgimento dell esercizio : 6