ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

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1 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 29 febbraio minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: OCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

2 QUIZ Q1. Nello piano con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy si consideri la conica C di equazione (a) C è un ellisse. (b) C è un iperbole. (c) C è una parabola. (d) C è degenere. 6x + x 2 + 4y + 2xy + y 2 = 0. Q2. Sia U R 5 un sottospazio con dim(u) = 3. (a) Se V R 5 è un sottospazio con dim(v ) = 3, U V contiene infiniti vettori. (b) Esiste v R 5 tale che U + L (v) = R 5. (c) Per ogni sottospazio V R 5 con dim(v ) = 4 risulta dim(u V ) = 2. (d) Esiste un sottospazio V R 5 con dim(v ) = 1 tale che U V sia vuoto. Q3. Si consideri la matrice 3 a c A = 0 1 b (a) Esistono a, b, c R tali che A abbia tre autovalori a due a due distinti. (b) Se ab + 2c = 0 allora A è diagonalizzabile. (c) Se A è diagonalizzabile allora a = b = c = 0. (d) Se a = b = 0 allora A è diagonalizzabile qualsiasi sia il valore di c R. Q4. Sia A R 4,5 una matrice di rango rk(a) = 4 e sia B R 4,5 una matrice ottenuta da A con un numero finito di operazioni elementari di riga. (a) I sistemi AX = 0 e BX = 0 hanno le stesse soluzioni. (b) L applicazione lineare f: R 5 R 4 avente A come matrice è iniettiva. (c) Le righe di B sono linearmente dipendenti. (d) L applicazione lineare f: R 5 R 4 avente A come matrice non è suriettiva. 2

3 Q5. Per ogni M R m,n indichiamo con rk(m) il suo rango. (a) Esistono A, B R 3,3 tali che rk(a) = rk(b) = 1 e det(ab) = 0. (b) Esistono A, B R 3,3 tali che rk(a) = rk(b) = 2 e det(ab) 0. (c) Esistono A, B R 3,3 tali che rk(a) = rk(b) = 3 e AB = 0. (d) Esistono A, B R 3,3 tali che rk(a) = rk(b) = 3 e rk(ab) = 1. Q6. Si considerino le matrici (a) A è diagonalizzabile. (b) 3/2 è autovalore di A. (c) A ha un autospazio di dimensione 2. (d) Il sistema AX = B è risolubile A = 1 4 3, B = Q7. Sia A R 2,2 tale che A 2 = 0. (a) A 1 = 0. (b) Il rango rk(a) di A è al massimo 1. (c) A ha due autospazi distinti. (d) det(a) 0. Q8. Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz e relativi versori ı, j, k siano dati i vettori v = (s 2 + 4) ı + s j 2s k, w = ı + 2 j + k. (a) Esistono s, t R tali che v e w siano ortogonali. (b) Esistono s, t R tali che v e w siano paralleli. (c) Esistono s, t R tali che v ı + ı = 0 ( denota il prodotto vettoriale). (d) Esistono s, t R tali che dim(l ( ı, v, w)) = 2. 3

4 ESERCIZIO Sia data la matrice (i) eterminare quali fra 1, 0 e 1 sono autovalori di A. (ii) Calcolare il polinomio caratteristico p(t) di A A = (iii) eterminare tutti gli autovalori di A ed una base di ciascun autospazio. (iv) eterminare, se esistono, una matrice P R 3,3 invertibile ed una matrice R 3,3 diagonale tale che P 1 AP =. (v) Stabilire, giustificando adeguatamente la risposta, se esiste una matrice Q R 3,3 invertibile tale che Q 1 AQ = Svolgimento dell esercizio: 4

5 Svolgimento dell esercizio: 5

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