Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano Ingegneria informatica Appello 15 Settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola:

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1 Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano Ingegneria informatica Appello 5 Settembre 5 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati.. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita come f((x y z T = (x + y + z x + y x + z T.. Scrivere la matrice che rappresenta l applicazione rispetto alla base canonica.. Verificare se l applicazione è diagonalizzabile. 3. Verificare se l applicazione è un automorfismo ed in tal caso determinare l applicazione inversa.

2 . Consideriamo i seguenti tre vettori in R 4 dipendenti dal parametro : v = v = v 3 =. Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale V R 4 generato dai tre vettori.. Calcolare la proiezione ortogonale del vettore w = ( 3 4 T su V rispetto al prodotto scalare standard di R 4.

3 3. Fissato un sistema di riferimento ortonormale B O nel piano consideriamo il fascio di coniche C dipendente dal parametro R e definito da:. Classificare C al variare di. x + ( xy + y x + ( y =.. Trovare le equazioni cartesiane delle rette componenti le coniche degeneri del fascio. 3. Trovare i punti base del fascio.

4 Soluzioni. (a La matrice che rappresenta l applicazione rispetto alla base canonica S di R 3 è A = ( f(e S f(e S f(e 3 S = (b Il polinomio caratteristico di f è λ P f (λ = det λ = ( λ(λ 3λ λ e quindi gli autovalori sono λ = λ 3 = 3 ± 3. Avendo tre autovalori reali distinti l applicazione f è diagonalizzabile in R 3. (c Essendo i tre autovalori di f diversi da zero l applicazione è invertibile ed è quindi un automorfismo di R 3. L applicazione inversa f è rappresentata rispetto alla base canonica S dalla matrice inversa di A che possiamo calcolare utilizzzando ad esempio l algoritmo di Gauss Jordan: (A I = = (I A.. (a La dimensione dello spazio vettoriale è pari al rango della matrice avente come colonne i tre vettori: dim(v = r = r = r Dobbiamo considerare i seguenti casi: se ± allora dim(v = 3; se = allora dim(v = ; se = allora dim(v =. (b Per prima cosa è necessario trovare una base ortogonale di V utilizzando il procedimento di Gram Schmidt. u = v = u = v u v u u = u 3 = v 3 u v 3 u u u v 3 u u = / / / /

5 La proiezione ortogonale w di w su V è quindi w = u w u u + u w u u + u 3 w u 3 u 3 = 3. (a La classificazione di C può essere compiuta utilizzando gli invarianti metrici delle coniche: ( I = Tr = I = = Segue che: I 3 = = (. < e : I 3 e I < quindi C è un iperbole; > : I > e I I 3 < quindi C è un ellisse con punti reali; = : I 3 = quindi C è una coppia di rette. La classificazione completa dei due casi degeneri è contenuta nel punto successivo. (b Le equazioni delle rette componenti le due coniche degeneri le otteniamo fattorizzando i relativi polinomi. C BO : xy y = y(x = r BO : y = r BO : x = ; C B O : 3 3 x + xy + y x y = (x + y (x + y = (x + y(x + y = s BO : x + y = s BO : x + y =. Di conseguenza abbiamo che C è l unione di due rette reali incidenti (ed in particolare perpendicolari mentre C è l unione di due rette reali parallele. (c I quattro punti base si possono trovare come intersezione di una qualsiasi coppia di coniche del fascio. In particolare possiamo intersecare le coniche degeneri e quindi le rette che le costituiscono: P ij = r i s j i j =. P BO : { y = x + y = BO = ( { ( y = P BO : x + y = BO = { ( x = P BO : x + y = BO = { ( x = P BO : x + y = BO =.