Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura

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1 Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura IV Appello del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, /9/ NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi spazi COGNOME, NOME, TIPOLOGIA COM- PITO. In TIPOLOGIA COMPITO scrivere Esame Geometria (5 CR), Esame Geometria (5CR), Esame Geometria ( CR) Esame Geometria = svolgere gli Esercizi ), ) e ) in ore Geometria = svolgere gli Esercizi 4), 5) e 6) in ore Geometria CR = svolgere gli Esercizi ), ), 4) e 6) in ore e 4 min IMPORTANTE: Giustificare chiaramente i passaggi peculiari e le affermazioni che si danno e motivare le strategie di risoluzione che si scelgono. Senza giustificazioni precise, anche formule giuste non possono essere considerate a punteggio pieno. COGNOME e NOME: TIPOLOGIA COMPITO:

2 SOLUZIONI COMPITO Esercizio. [ punti] Nello spazio vettoriale R 4, dotato della base canonica e sia dato il sottospazio W = Lin w =, w =, w = 8 6. (i) Determinare dim(w ) ed estrarre una base di W dal sistema di generatori w, w, w. [ punti] (ii) Determinare equazioni parametriche di W. [ punti] (iii) Determinare equazioni cartesiane di W. [ punti] (iv) Trovare equazioni cartesiane del sottospazio U = Lin{w } W. [ punti] Svolgimento. (i) Notiamo che w = w + w, mentre i primi due vettori che definiscono W non sono proporzionali. Pertanto dim(w ) = ed una base per W e proprio w := w, w. (ii) Le equazioni parametriche di W risultano pertanto x = λ + µ λ, µ R. (iii) Dal punto precedente, equazioni cartesiane di W sono X X 4 = = X X X + X 4. (iv) Per determinare equazioni cartesiane del sottospazio U W basta considerare che esso corrisponde ai vettori di W per cui µ =, cioe se e solo se X = X 4 X = X. Pertanto le equazioni cartesiane di U in R 4 sono X X 4 = = X X = = X X 4. Esercizio. [ punti] Si consideri l operatore lineare F End(R ), la cui matrice rappresentativa nella base canonica e : A := M e (F ) (i) Stabilire se F e un automorfismo di R (i.e. se e un isomorfismo di R in se ). [ punti] (ii) In caso di risposta negativa al punto (i), determinare dim(ker(f )) e dim(im(f )). [ punti].

3 (iii) Dato b = 5 4 R, stabilire se b Im(F ). [ punti] (iv) In caso affermativo al punto (iii), determinare l insieme F (b) delle controimmagini del vettore b (i.e. di tutti i vettori nel dominio di F la cui immagine e il vettore b). [ punti] Svolgimento. (i) Notiamo che det(a) =. Infatti se C i denota la i-esima colonna di A, abbiamo C = 4C C. Pertanto il rango di F, che e una nozione invariante dai cambiamenti di base, e e F non puo essere un automorfismo. (ii) Per definizione di rango di un operatore, dim(im(f )) = e, dal teorema di Nullita piu Rango, dim(ker(f )) = =. (iii) Sostituendo la colonna C di A con le componenti del vettore b si ottiene la matrice il cui determinante e sempre. Pertanto, dal teorema di Rouche -Capelli, b Im(F ) dato che rg(a) = rg(ab). (iv) Determinare l insieme delle controimmagini equivale a risolvere il sistema lineare di tre equazioni e tre indeterminate X + 4X = 5 X + X + 7X = X + 5X 9X = 4. Il sistema lineare e sicuramente compatibile e di rango, pertanto dal teorema di Rouche -Capelli, le sue soluzioni dipenderanno da - = parametro libero. In altri termini esisteranno vettori nel dominio che hanno come immagine b. Possiamo porre X = t e risolvere il sistema dedotto X + X = 7t X + 5X = 4 + 9t. Utilizzando ad esempio il metodo di Cramer, si ha: X = 4t, X = + t. Questi valori soddisfano banalmente anche la terza equazione del sistema originario X + 4X = 5, quindi il generico vettore nell insieme F (b) e della forma: 4t + t, t R. t Esercizio. [ punti] Si consideri l operatore lineare F End(R ) definito sui vettori della base canonica come F (e ) = e + e + e, F (e ) = e e, F (e ) = e + e. (i) Determinare la matrice A := M e (F ) che rappresenta l applicazione lineare F nella base canonica e. [ punto]

4 4 (ii) Determinare il polinomio caratteristico di F, calcolando la molteplicita algebrica di ciascun autovalore di F. [ punti] (iii) Stabilire se F e diagonalizzabile, trovando esplicitamente una base diagonalizzante h per F e scrivere M h (F ), cioe la matrice rappresentativa di F in detta base. [7 punti] Svolgimento. (i) La matrice e A := M e (F ) (ii) Il polinomio caratteristico di un operatore F e invariante per classi di simipitudine, pertanto. P F (T ) = P A (T ) = T 5T + 8T 4 = (T ) (T ). Tale polinomio ha come soluzioni l autovalore semplice e l autovalore di molteplicita algebrica due. (iii) Calcolando esplicitamente gli autospazi relativi a ciascun autovalore, si nota che la molteplicita geometrica di ciascun autovalore corrisponde a quella algebrica. Pertanto F risulta essere diagonalizzabile. Una base per l autospazio E (F ) e costituita dai vettori h =, h = Analogamente, E (F ) e generato dal vettore h = M h (F ) =,.. Pertanto, Esercizio 4. [ punti] Nello spazio cartesiano R, con riferimento cartesiano standard RC(O; x, x, x ), sia data la sfera S di centro C = e raggio. (i) Verificare che la retta r di equazioni parametriche X = + t, X = t, X = t, t R e una secante di S e determinare i punti S r = {P, P }. [ punti] (ii) Scrivere le equazioni dei piani π e π, tangenti a S rispettivamente nei punti P e P, dove P (rispettivamente P ) e il punto di ordinata positiva (rispettivamente negativa). [4 punti] (iii) Determinare l equazione cartesiana della sfera Σ ottenuta riflettendo S rispetto a π. [4 punti]

5 Svolgimento. (i) Poiche r passa per il centro C di S allora r e sicuramente una secante per S. Sostituendo le equazioni parametriche di r nell equazione cartesiana di S (X ) + X + (X ) = 4 si ottiene l equazione di secondo grado nell indeterminata t, 6t 4 =. Questa fornisce i valori dei parametri t = ± 6 e quindi i due punti P = , P = (ii) Il piano π i e il piano passante per P i e con vettore normale CP i, i. (iii) Poiche la riflessione e un isometria, e sufficiente trovare il riflesso del centro C rispetto a π per avere il centro della sfera Σ. Il raggio di Σ sara sempre. Esercizio 5. [ punti] Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale standard RC(O; x, x ), siano date la coniche e C : X + X + X X 4X 4X = C : X + X X X X + X = (i) Classificare C e D. [ punti] (ii) Stabilire se C e D possono essere affinemente equivalenti. [ punti] (iii) Stabilire se C e D possono essere congruenti. [6 punti] Svolgimento: (i) Con l usuale analisi delle matici simmetriche associate alle due coniche, si determina che sono ambedue parabole semplicemente degeneri a punti reali. (ii) Dalla classificazione affine, le due coniche sono sicuramente affinemente equivalenti, dato che la forma canonica affine di entrambi e la stessa. (iii) Affermiamo che le due coniche non sono congruenti. Un modo standard per dimostrare l affermazione e applicare l algoritmo di riduzione a forma canonica metrica delle due coniche e verificare che le due forme canoniche metriche sono differenti. Un modo piu rapido e piu geometrico e invece il seguente. Poiche sia C che D sono costituite, ciascuna, da due rette parallele, possiamo trovare le direzioni di tali rette calcolando i punti impropri delle coniche. Per C abbiamo il sistema omogeneo X + X + X X = = X che fornisce il punto [,, ] con molteplicita. Analogamente, il punto improprio di D e dato dal sistema omogeneo X + X X X = = X che fornisce il punto [,, ] con molteplicita. 5

6 6 Pertanto C e costituita da due rette parallele alla bisettrice X + X = mentre D da due rette parallele alla bisettrice X X =. Intersecando C con la perpendicolare per l origine si trovano due punti di intersezione dal sistema 4X 8X = = X X. Analogamente, intersecando D con la perpendicolare per l origine si trovano due punti di intersezione dal sistema 4X X = = X + X. La formula della distanza fra due punti verifica che le due parabole degeneri non possono essere congruenti. Esercizio 6. [ punti] Nello spazio cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale standard RC(O; x, x, x ), sia data la retta di equazioni parametriche r : X =, X =, X = t, t R. (i) Determinare equazioni parametriche ed equazione cartesiana del cilindro ellittico (piu precisamente circolare retto) Σ ottenuto per rotazione di angolo θ [, π] della retta r attorno all asse delle x. [5 punti] (ii) Trovare equazioni cartesiane della conica C sezione di Σ con il piano π di equazione cartesiana X X =. [ punto] (ii) Classificare la conica C π, ricordando che π NON E UNO DEI PIANI COORDINATI!!!. [4 punti] Svolgimento: (i) La matrice di rotazione di angolo θ attorno all asse x e Pertanto, considerando R θ = R θ cos θ sin θ sin θ cos θ si ottengono le equazioni parametriche di Σ t, t R. X = sin θ, X = cos θ, X = t, t R, θ [, π]. L equazione cartesiana di Σ si ottiene eliminando il parametro θ, cioe X + X = 9. (ii) La conica C e data da equazioni cartesiane X + X 9 = = X X. (iii) La conica C ha anche equazioni cartesiane X 9 = = X X.

7 7 Questa conica e chiaramente l unione delle due rette parallele e l : X = = X X l : X + = = X X. In effetti il piano π contiene l asse del cilindro, cioe l asse attorno cui la generatrice r ha ruotato per generare Σ, pertanto la sezione con Σ e per forza costituita da due generatrici opposte sul cilindro. In definitiva C e una parabola semplicemente degenere a punti reali.