ESAMI A.A ANDREA RATTO

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1 ESAMI AA ANDREA RATTO Sommario In questo file presentiamo le prove d esame relative al Corso di Geometria e Algebra per Ingegneria Ambientale e Civile (aa015-16) Si noti che, durante tutte le prove d esame, è ammessa la consultazione di qualunque materiale cartaceo (libri, appunti, formulari etc) e l uso di calcolatrici NON programmabili; viene invece fatto divieto di utilizzare computer portatili ed ogni altro dispositivo che consenta collegamento internet o video-audio con l esterno (telefoni cellulari etc) 1

2 ANDREA RATTO 1 Esercitazione (15 Aprile 016, tempo: 115 minuti) per la prima prova parziale Esercizio 11 Si considerino i vettori u = [0,1,], v = [1, 1,3] e il punto P 0 = [0,,3] (i) Calcolare sinϑ, dove ϑ è l angolo formato da u e v (ii) Calcolare il volume V del parallelepipedo individuato da u, v e j (iii) Scrivere l equazione del piano π che passa per P 0 ed è parallelo a u e v (iv) Scrivere un sistema di equazioni che definisce la retta r passante per l origine e parallela a v (v) Scrivere l equazione della sfera S avente centro l origine e tangente al piano π determinato al punto (iii) (vi) Scrivere l equazione del piano π che contiene P = [,1,4] e la retta r di cui al (iv) sopra (vii) Scrivere una rappresentazione parametrica della retta r che passa per P 0 ed è parallela a u (viii) Calcolare dist(r,o), dove r è la retta determinata al punto (vii) Esercizio 1 Siano P(z) = z 5 +z 4 +z 3 +7z +7z+7 e P (z) = z +z +1: (1) Calcolare quoziente Q(z) e resto R(z) della divisione di polinomi P(z) P (z) () Determinare le radici di P(z) in C, precisando per ognuna di esse il valore della molteplicità algebrica Esercizio 13 Sia z = 3+4i : calcolare ( ) ( ) 1 1 Re ; Im (iz) (iz) Esercizio 14 Sianor 1 er leretteincidentidefiniterispettivamente da: r 1 : x = 1+t y = z = t,t R e r : x = 1 y = z (i) Calcolare le coordinate di Q = r 1 r (ii) Determinare l equazione del piano Π che contiene r 1 e r, e darne una rappresentazione parametrica

3 ESAMI AA Esercizio 15 Determinarelacomuneperpendicolarer ar 1 er, dove: x+1 = 0 x+5 = 0 r 1 : e r y = 1 : z = Esercizio 16 Determinare le radici in C del seguente polinomio: P(z) = z 6 64 Esercizio 17 (i) Dare una rappresentazione parametrica X(u, v) della superficie S (cono) che si ottiene ruotando intorno all asse y il segmento che unisce i punti P 0 = [0,0,] e P 1 = [0,,0], precisando il dominio di u, v (ii) Calcolare l equazione del piano tangente T P (S) nel punto P = [0,1,1]

4 4 ANDREA RATTO Soluzione dell Es 11: (i) Soluzioni: sinϑ = 6 11 (ii) V = (iii) π : 5x+y z 1 = 0 (iv) x+y = 0 3x z = 0 (v) S : x +y +z = (1/30) (vi) π : 7x y 3z = 0 (vii) (viii) r : x = 0 y = +t z = 3+t, t R dist(r,o) = 1 5 Soluzione dell Es 1: (1) Quoziente e resto sono rispettivamente: Q(z) = z 3 +7 ; R(z) 0 () Dato che P(z) = (z 3 +7)(z +z +1), è facile determinare le sue 5 radici, ognuna delle quali risulta avere molteplicità algebrica 1: 1± i 3 ; 3 ; 3± i3 3 Soluzione dell Es 13: Re(1/(iz )) = 7 65 ; Re(1/(iz )) = 4 65 Soluzione dell Es 14: (i) Q = [ 1,,] (ii) Π : x y+z+1 = 0 Una rappresentazione parametrica di Π è: x = t y = s z = 1 t+s s, t R

5 ESAMI AA Soluzione dell Es 15: r è parallela all asse x: r : y 1 = 0 z = 0 Soluzione dell Es 16: ±, 1 ± 3, 1 ± 3, ognuna con molteplicità algebrica 1 Soluzione dell Es 17: (i) La curva che dobbiamo far ruotare intorno all asse y è: γ(u) = [0,u, ( u)] 0 u Quindi: x = ( u) cosv X(u,v) = y = u z = ( u) sinv, 0 u, 0 v π (ii) P = X(1, (π/)) e T P (S) : y +z = 0

6 6 ANDREA RATTO Prova intermedia del Aprile 016 (Pari) Tempo a disposizione: 60 minuti Esercizio 1 (Punti: +)SianoP(z) = z 4 +3z +,P (z) = z + (i) Calcolare Q(z) = P(z) P (z) (ii) Determinare le 4 radici complesse di P(z) Esercizio (Punti: +3+3) Siano P = [1,0,1] e r la retta definita da: x+1 = 0 r : y z = 0 (i) Determinare un versore v r parallelo a r (ii) Calcolare dist(r, P) (iii) Determinare l equazione del piano Π che contiene P e r, e dare una rappresentazione parametrica di Π Svolgere, a scelta, uno dei due seguenti esercizi: Esercizio 3 (Punti:4) Determinare la comune perpendicolare r a r 1 e r, dove: x 1 = 0 x = 0 r 1 : e r y x = 0 : z = 0 Esercizio 4 (Punti:4) Determinare le radici in C del seguente polinomio: P(z) = z Esercizio 5 (Punti:4) Sia P = [1, 0, 0] Si consideri la superficie regolare S in R 3 parametrizzata mediante: x = u X(u,v) : y = u v z = v, u, v R Determinare l equazione di T P (S) (piano tangente a S in P) NOTA1: Verrà attribuito un punteggio compreso tra e + per valutare la chiarezza dell esposizione NOTA: Voto massimo: 17 Voto minimo per essere ammessi al secondo parziale: 9

7 ESAMI AA Soluzioni della prova parziale del Aprile 016 (PARI): Soluzione dell Es 1: Le radici di P(z) sono: P(z) P (z) = z +1 ±i, ±i, ognuna con molteplicità algebrica 1 Soluzione dell Es : (i) v r = [ 0, 1, ] 1 (ii) dist(r, P) = 3 (iii) Π : x+y z +1 = 0 Una rappresentazione parametrica di Π è: Soluzione dell Es 3: x = s t 1 y = t z = s s, t R r : y 1 = 0 z = 0 Soluzione dell Es 4: 7 ±7, ± 7 3, 7 ± 7 3 ognuna con molteplicità algebrica 1, Soluzione dell Es 5: T P (S) : y = 0

8 8 ANDREA RATTO 3 Prova intermedia del Aprile 016 (Dispari) Tempo a disposizione: 60 minuti Esercizio 31 (Punti: +)SianoP(z) = z 4 +3z +,P (z) = z +1 (i) Calcolare Q(z) = P(z) P (z) (ii) Determinare le 4 radici complesse di P(z) Esercizio 3 (Punti: +3+3) Siano P = [,0,1] e r la retta definita da: x 1 = 0 r : y z = 0 (i) Determinare un versore v r parallelo a r (ii) Calcolare dist(r, P) (iii) Determinare l equazione del piano Π che contiene P e r, e dare una rappresentazione parametrica di Π Svolgere, a scelta, uno dei due seguenti esercizi: Esercizio 33 (Punti:4) Determinare la comune perpendicolare r a r 1 e r, dove: x+1 = 0 x = 0 r 1 : e r x z = 0 : y 1 = 0 Esercizio 34 (Punti:4) Determinare le radici in C del seguente polinomio: P(z) = z 8 4 Esercizio 35 (Punti:4) Sia P = [0, 1, 0] Si consideri la superficie regolare S in R 3 parametrizzata mediante: x = u v X(u,v) : y = u z = v, u, v R Determinare l equazione di T P (S) (piano tangente a S in P) NOTA1: Verrà attribuito un punteggio compreso tra e + per valutare la chiarezza dell esposizione NOTA: Voto massimo: 17 Voto minimo per essere ammessi al secondo parziale: 9

9 ESAMI AA Soluzioni della prova parziale del Aprile 016 (DISPARI): Soluzione dell Es 31: Le radici di P(z) sono: P(z) P (z) = z + ±i, ±i, ognuna con molteplicità algebrica 1 Soluzione dell Es 3: (i) v r = [ 0, 1, ] 1 (ii) dist(r, P) = 3 (iii) Π : x+y z 1 = 0 Una rappresentazione parametrica di Π è: Soluzione dell Es 33: x = s t+1 y = t z = s s, t R r : y 1 = 0 z +1 = 0 Soluzione dell Es 34: ±, ±i, 1± i, 1± i, ognuna con molteplicità algebrica 1 Soluzione dell Es 35: T P (S) : x z = 0

10 10 ANDREA RATTO 4 Esercitazione del 0 maggio 016 Esercizio 41 Sia A = [ 0 0 ] M (R) Determinare una matrice di rotazione P tale che: t P A P = [ ] λ1 0 0 λ, con λ 1 > λ Esercizio 4 Usando i calcoli dell Esercizio 41, svolgere lo studio completo della conica γ di equazione: (41) 4xy x y = 0 Esercizio 43 Determinare una base ortonormale del sottospazio vettoriale W R 4 definito dal seguente sistema lineare omogeneo: x 1 +x x 3 +x 4 = 0 (4) x 1 x +x 3 +x 4 = 0 x x 3 x 4 = 0 Esercizio 44 Sia A = M 4(R) (i) Stabilire se A è diagonalizzabile (ii) Determinare (se possibile) P M 4 (R) tale che P 1 A P sia diagonale

11 ESAMI AA Soluzioni dell esercitazione del 0 maggio 016: Soluzione dell Es 41: Si trova: P = (1/ ) (1/ ) (1/ ) (1/ e ) t P A P = [ 0 0 Soluzione dell Es 4: Preliminarmente, si verifica che det(a ) 0 (conica non degenere) e det(a) < 0(iperbole) Rispetto alle coordinate x, y, legate alle coordinate di partenza dalla rotazione [ ] [ ] x x = P y y, l equazione dell iperbole γ diventa: x y 4x = 0, ovvero (x 1) y = 1 Gliassix, y siottengonodaquellidipartenzamedianteunarotazione, in senso antiorario, pari ad un angolo θ = (π/4) Si conclude passando alla rappresentazione grafica in cui si riconosce che gli asintoti di γ sono paralleli agli assi del sistema di partenza Soluzione dell Es 43: ρ(a) =, per cui abbiamo n ρ(a) = incognite libere I = t [ (3/)x 4, x 3 +(1/)x 4,x 3,x 4 ] R 4 : x 3, x 4 R } Ne segue che una base di W è, ad esempio: Ortonormalizzando: t [0, 1, 1, 0], t [ 3, 1, 0, ] t [0, (1/ ), (1/ ), 0], vers( t [ 6, 1, 1, 4]) = 1 54 t [ 6, 1, 1, 4] Soluzione dell Es 44: (i) P(λ) = λ (1 λ) Quindi λ 1 = 0, con m a (λ 1 ) = m g (λ 1 ) =, e λ = 1, con m a (λ ) = m g (λ ) =, per cui A è diagonalizzabile (ii) P = ]

12 1 ANDREA RATTO 5 Prova parziale del 7 Maggio 016 Tempo a disposizione: 60 minuti Esercizio 51 (Punti: 7) Svolgere lo studio completo della conica γ di equazione: (porre λ 1 > λ ) 3x + 3y 4xy 5 = 0 Esercizio 5 (Punti: 4) Determinare una base ortonormale del sottospazio vettoriale W R 4 definito dal seguente sistema lineare omogeneo: (51) x 1 +x +x 3 3x 4 = 0 x 1 x x 3 = 0 x 1 +x 3x 4 = 0 Esercizio 53 (Punti: 5) Sia A = M 3 (R) Determinare (se possibile) una matrice invertibile P M 3 (R) tale che P 1 A P è una matrice diagonale NOTA: Verrà attribuito un punteggio compreso tra e + per valutare la chiarezza espositiva

13 ESAMI AA Soluzioni della prova parziale del 7 Maggio 016: Soluzione dell Es 51: La conica è non degenere e si tratta di un ellisse (λ 1 = 5, λ = 1) Rispetto alle coordinate x, y, legate alle coordinate di partenza dalla rotazione [ ] [ ] x x = P y y, dove P = l equazione della conica γ diventa: x + y = 1 5 Osservando che le colonne di P rappresentano i versori degli assi ruotati (rotazione pari ad un angolo di (π/4) in senso orario), si procede al disegnoqualitativodell ellisse(semiassea = 1lungol assex,esemiasse b = 5 lungo l asse y ) Soluzione dell Es 5: : dim(w) = 1:, W = t [x, x, 0, x ] R 4 : x R } Una base ortonormale di W è: w 1 = 1 6 t [,1,0,1] Soluzione dell Es 53: A è diagonalizzzabile, in quanto si trovano gli autovalori λ 1 = 0, λ = 1, con m a (λ 1 ) = 1, e m a (λ ) = m g (λ ) = Poi si costruisce, ad esempio, P =

14 14 ANDREA RATTO 6 Prova del 15 Giugno 016 Tempo a disposizione: 60 minuti Esercizio 61 (Punti: 1) Eseguire lo studio completo (disegno compreso) della seguente conica: (si ponga λ 1 < λ ) γ : 4x 4y 6xy +5 = 0 Esercizio 6 (Punti: 4+4) Siano P = [1, 0, 0] e r la retta x+y = 0 x z = 0 (a) Calcolare dist(p, r) (b) Determinare (se possibile) l equazione del piano Π che contiene r e l asse y Esercizio 63 (Punti: 5) Determinare una base ortonormale B del sottospazio vettoriale W R 4 definito dal seguente sistema lineare omogeneo: (61) x 1 +x +x 3 +x 4 = 0 x 1 x +x 3 +x 4 = 0 x 1 +x 3 +x 4 = 0 x 3 +x 4 = 0 Esercizio 64 (Punti: 5) Sia A = M 3 (R) Stabilire se A è diagonalizzabile NOTA: Verrà attribuito un punteggio compreso tra e + per valutare la chiarezza espositiva (scrivere molto non equivale a chiarezza espositiva!!)

15 ESAMI AA Soluzioni della prova del 15 Giugno 016: Soluzione dell Es 61: Si verifica preliminarmente che det(a ) 0 e det(a) < 0, per cui γ è un iperbole (si trovano gli autovalori λ 1 = 5 e λ = 5) Poi, diagonalizzando A, si determina la rotazione: [ x y ] = [ (1/ 10) ( 3/ 10) (3/ 10) (1/ 10) ] [ x y ] Rispetto alle coordinate x, y la conica γ ha equazione: x y = 1 Per realizzare il disegno si può osservare che l asse x coincide con la retta y = 3x, mentre l asse y coincide con la retta y = (1/3)x Gli asintoti di γ hanno equazione y = ±x, ovvero (pensarci e calcolare) y = x e y = (1/)x I punti di γ sugli assi ruotati sono facili da calcolare, e così pure le intersezioni di γ con gli assi x e y: si procede quindi senza difficoltà al disegno dell iperbole Soluzione dell Es 6: (a) La proiezione ortogonale di P su r è Q = [(1/3), (1/3), (1/3)], da cui si ricava dist(p, r) = ( / 3) (b) Le rette sono incidenti nell origine, quindi è possibile determinare il piano richiesto Si trova Π : x z = 0 Soluzione dell Es 63: L insieme delle soluzioni del sistema è: per cui, ad esempio, t [0, 0, x 3, x 3 ] R 4 : x 3 R }, B = t [0, 0, (1/ ), (1/ } )] Soluzione dell Es 64: La matrice A ha due autovalori reali: λ 1 = 1, λ = 0 Ma m a (λ 1 ) =, mentre m g (λ 1 ) = 1 Quindi si può concludere che A non è diagonalizzabile

16 16 ANDREA RATTO 7 Prova del 5 Luglio 016 Tempo a disposizione: 60 minuti Esercizio 71 (Punti: ) Siano u = [1,,0], v = [0,3,0], w = [0,,1] (a) Calcolare ( u+ v) ( u v)+( u v) (b) Determinare un sistema lineare che definisce la retta r che passa per il punto P 1 = [1,1,4] ed è parallela a w (c) Determinare l equazione del piano Π 1 che passa per l origine e contiene la retta r determinata al punto (b) (d) Determinarel equazionedelpianoπ chepassaperp = [4,1,0] ed è parallelo agli assi y e z (e) Scrivere l equazione del piano Π 3 che passa per l origine ed è parallelo a u e ( u+ w) Esercizio 7 (Punti: 6+3) Siano (t R) (1 t) (1 t) 0 A t = 0 t 0 1, B = , X = x 1 x x 3 x 4 (a) Stabilire per quali valori di t R il sistema lineare A t X = B ammette soluzione (b) Determinare l insieme delle soluzioni del sistema quando t = 1 Esercizio 73 (Punti: 6) Disegnare, precisando in particolare le coordinate del centro C e l equazione degli asintoti, l iperbole γ : 4x y + 8x + y 1 = 0 NOTA: Verrà attribuito un punteggio compreso tra e + per valutare la chiarezza espositiva (scrivere molto non equivale a chiarezza espositiva!!)

17 ESAMI AA Soluzioni della prova del 5 Luglio 016: Soluzione dell Es 71: (a) Il risultato, che si può ottenere sia attraverso un calcolo diretto, sia attraverso l uso delle propprietà algebriche del prodotto vettoriale, è il vettore nullo (b) x 1 = 0 r : y z +7 = 0 (c) Π 1 : 7x+y z = 0 (d) Π : x 4 = 0 (e) Π 3 : x y +z = 0 Soluzione dell Es 7: (a) Il sistema risulta risolubile se e solo se (t (1/) e t 1) Inoltre si può precisare che, quando il sistema è risolubile, ammette 1 soluzioni (b) Le soluzioni del sistema, quando t = 1, sono: t [0, 1, x 3, 0] R 4 : x 3, R } Soluzione dell Es 73: Si riscrive, usando il metodo di completamento dei quadrati, l equazione di γ Si ottiene γ : (x+1) (y 1) = 1, 4 da cui è facile ricavare il centro C = [ 1, 1] e l equazione dei due asintoti (y 1) = ±(x+1), ovvero: r 1 : y = x+3 e r : y = x 1 A questo punto è facile realizzare il disegno, mettendo in luce i seguenti punti di γ: [0,1], [,1], [ 1 ( 5/),0] e [ 1+( 5/),0]

18 18 ANDREA RATTO 8 Prova del 1 Luglio 016 Tempo a disposizione: 60 minuti Esercizio 81 (Punti: 5) Sia A = Stabilire se A è diagonalizzabile M 4(R) Esercizio 8 (Punti: 11) Siano y +x = 0 r 1 : e r x+z = 0 : y x = 0 x z 1 = 0 Determinare la comune perpendicolare r alle rette r 1 e r, precisando le coordinate del punto Q 1 di intersezione di r con r 1 e del punto Q di intersezione di r con r Esercizio 83 (Punti: 7) Disegnare l ellisse γ di equazione (81) 9x + y 18x 4y +4 = 0, precisando le coordinate del suo centro C, le lunghezze dei due semiassi a, b, le coordinate dei punti di intersesezione tra γ e gli assi, e l equazione della retta r tangente a γ in P = [, ] Esercizio 84 (Punti: 5+5) Siano P(z) = z 3 +8z +41z 1, P (z) = z (a) Calcolare quoziente Q(z) e resto R(z) della divisione di polinomi P(z) : P (z) (b) Determinare le radici di P(z) in C (usare (a)) NOTA: Verrà attribuito un punteggio compreso tra 3 e +3 per valutare la chiarezza espositiva (scrivere molto non equivale a chiarezza espositiva!!)

19 ESAMI AA Soluzioni della prova del 1 Luglio 016: Soluzione dell Es 81: Il polinomio caratteristico di A è P(λ) = ( λ) (λ +1) Dato che P(λ) ha due radici complesse non reali si conclude che A non è diagonalizzabile Soluzione dell Es 8: Si trova: r : 4x 1 = 0 y +z +1 = 0, Q 1 = [ 1 4, 1 4, 1 ] 4, Q = [ 1 4, 1 4, 3 ] 4 Soluzione dell Es 83: Mediante il metodo di completamento dei quadrati si trova che l equazione dell ellisse γ equivale a da cui si ricava: (x 1) + (y ) 9 = 1, a = 1, b = 3 e C = [1, ] Con questi dati è facile eseguire il disegno: la tangente richiesta r ha equazione x =, ed i punti di intersezione con gli assi sono Soluzione dell Es 84: (a) (b) [1±( 180/18), 0], [0, ] Q(z) = z +10z +61, R(z) 0 z 0 =, z 1 = 5+6i, z = 5 6i

20 0 ANDREA RATTO 9 Prova del 15 Settembre 016 Tempo a disposizione: 60 minuti Esercizio 91 (Punti: +4) Sia W il sottospazio vettoriale di R 4 definito da: x 1 +3x +x 3 +x 4 = 0 x 1 x +x 3 +x 4 = 0 x 1 +x 3 +x 4 = 0 x = 0 (a) Determinare dimw (b) Determinare una base di W Esercizio 9 (Punti: ) Si considerino i vettori u = [1,0,], v = [,1,0] e il punto P = [1,3,1] (a) Determinare l equazione del piano Π che contiene P ed è parallelo a u e v (b) Calcolare la distanza tra l origine O e il piano Π (c) Scrivere il fascio di piani generato dalla retta r che passa per P ed è parallela a u (d) Calcolare sinθ, dove θ indica l angolo formato da u e v Esercizio 93 (Punti: 6) Sia A = M 3 (R) Determinare, se possibile, una matrice invertibile P tale che P 1 A P sia una matrice diagonale Esercizio 94 (Punti: 3+3) (a) Sia z = 1 i C: calcolare ( ) 1 Re e z (b) Determinare le soluzioni in C di z +z +5 = 0 ( ) 1 Im z NOTA: Verrà attribuito un punteggio compreso tra e + per valutare la chiarezza dell esposizione

21 ESAMI AA Soluzioni della prova del 15 Settembre 016: Soluzione dell Es 91: (a) La matrice dei coefficienti ha rango, per cui dimw = n ρ(a) = 4 = Conviene quindi osservare che W è definito semplicemente da x1 +x (91) 3 +x 4 = 0 x = 0 (b) Da (91) si ricava immediatamente una base di W: (9) B = t [0,0,, 1], t [1,0, 1,0] } Soluzione dell Es 9: (a) Π : x 4y z +11 = 0 (b) dist(o,π) = (11/ 1) (c) λ(x z 1)+µ(y 3) = 0, dove λ e µ sono parametri reali, non entrambi nulli (d) sinθ = ( 1/5) Soluzione dell Es 93: La matrice A possiede 3 autovalori reali e distinti, ovvero λ 1 = 0, λ = 5 e λ 3 = 5, quindi è diagonalizzabile e si può determinare: P = Soluzione dell Es 94: (a) Si calcola per prima cosa z = 3 4i, poi: ( ) 1 Re = 3 ( ) 1 e Im = 4 z 5 z 5 (b) z 1 = 1+i e z = 1 i