Prova scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a

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1 Prova scritta di Geometria 8//26, Soluzioni Ing. Meccanica a.a Esercizio È data la conica γ : 3x2 2xy + 3y 2 + 8x + 3 =. a) Verificare che la conica è un ellisse e determinarne la forma canonica. Sol. Matrici 3 4 A = 3, Q = 4 3 ( ) 3. 3 Autovalori di Q sono λ = 2, µ = 4, applicando i teoremi di invarianza e sapendo che det A = 24 otteniamo la forma canonica X 2 3/2 + Y 2 3/4 =. b) Siano F, F 2 i fuochi dell ellisse γ. Calcolare l area massima di un triangolo di vertici F, F 2, P, dove P γ (per l ellisse in forma canonica X2 a 2 + Y 2 b 2 = con a b le coordinate dei fuochi sono date da ±( a 2 b 2, )). Sol. Si vede subito che l altezza massima relativa alla base F F 2 uguaglia la lunghezza del semiasse minore, cioè b. Dunque l area massima cercata vale b 2 d(f, F 2 ) = b a 2 b che nel nostro caso (a = 2, b = 4 ) vale 3 4. c) Siano Q, Q 2 le intersezioni di γ con l asse x. Calcolare il perimetro di ciascuno dei due triangoli di vertici, rispettivamente, F, F 2, Q e F, F 2, Q 2. Sol. Non occorre nemmeno calcolare le coordinate di Q e Q 2. Infatti, sappiamo che per ogni P punto dell ellisse γ nella forma canonica X2 a 2 + Y 2 b 2 = si ha che d(p, F ) + d(p, F 2 ) è

2 costante, uguale a 2a. Il perimetro di un qualunque triangolo di vertici P, F, F 2 è dunque: d(p, F ) + d(p, F 2 ) + d(f, F 2 ) = 2a + 2 a 2 b 2 e nel nostro caso abbiamo, per ciascuno dei due triangoli, il valore del perimetro Esercizio 2 parametriche Sia S la famiglia delle sfere dello spazio con centro sulla retta r di equazioni x = 2 + t r : y = 4 + 2t z = + t a) Determinare il raggio della sfera σ S passante per l origine e avente un equatore (cerchio massimo) sul piano xy. Sol. Il centro è l intersezione della retta r con il piano xy, dunque è il punto C = (, 2, ). Il raggio è la distanza di C da un punto qualunque della sfera, ad esempio l origine. Dunque R = 5. 2) Determinare il centro della sfera σ 2 S di raggio 5 e tangente π al piano di equazione 2x y z + =. Sol. Sia P t = (2 + t, 4 + 2t, + t) il punto mobile sulla retta. Dobbiamo imporre che la distanza del centro dal piano sia uguale al raggio, dunque: d(p t, π) = 5. Un semplice calcolo mostra che t = 3, che dà due soluzioni: t = 3, t = 3. Dunque otteniamo due sfere di centro, rispettivamente: C = (2 3, 4 2 3, 3), C 2 = (2 + 3, , + 3). 3) Determinare il centro della sfera σ 3 S di raggio 5 che interseca il piano xy in una circonferenza di raggio 2. Sol. Per il teorema di Pitagora, la distanza del centro dal piano xy dovra essere 5 4 =. Otteniamo due valori del parametro t, vale a dire t =, 2 e quindi due punti: C = (2, 4, ), C 2 = (,, ). Esercizio 3 Data BC = (e, e 2, e 3 ), base canonica di R 3, si considerino i vettori v, v 2, v 3 tali che: v = e + e 2 v 2 = e 2 + e 3 v 3 = e 3

3 a) Esprimere e, e 2, e 3 in funzione di v, v 2, v 3. e = v v 2 + v 3 Sol. e 2 = v 2 v 3. e 3 = v 3 b) Stabilire se B = (v, v 2, v 3 ) è una base di R 3 ; in tal caso determinare la matrice di passaggio M da BC a B e la sua inversa M. Sol. La matrice di passaggio dalla terna BC alla terna B è M = ; M è invertibile dunque B è una base di R 3. Si vede che l inversa è M =. c) Determinare la dimensione dei sottospazi E, F di R 3 definiti come segue: E = L[v 2, v 3, e, e 3 ], F = L[e 2, e 3 ] L[v 2, v 3 ]. Sol. Incolonnando le coordinate e studiando il rango si vede che dim E = 3. Inoltre L[v 2, v 3 ] = L[e 2 + e 3, e 3 ] = L[e 2, e 3 ] dunque F = L[e 2, e 3 ] e dim F = 2. Esercizio 4 Data BC = (e, e 2, e 3 ), base canonica di R 3, si considerino i vettori v, v 2, v 3 dell esercizio precedente, cioè tali che: v = e + e 2 v 2 = e 2 + e 3 v 3 = e 3 e sia f l endomorfismo di R 3 avente autovettori v, v 2, v 3, associati rispettivamente agli autovalori, 2, 2. a) Determinare una base di Kerf e una base di (Kerf). Sol. Le condizioni sono: f(v ) = f(v 2 ) = 2v 2. f(v 3 ) = 2v 3 La matrice che rappresenta f nella base (v, v 2, v 3 ) è diagonale: D = 2. Essa ha 2 rango due, dunque l immagine di f ha dimensione 2 e il nucleo ha dimensione uno. Si vede

4 dalla definizione di f che una base del nucleo è (,, ) T, e quindi una base di (Kerf) è, ad esempio, (, ). b) Stabilire se f è diagonalizzabile, e calcolare f(v + v 2 + v 3 ). Sol. Si vede subito che (v, v 2, v 3 ) è una base di autovettori di f, dunque f è diagonalizzabile. Inoltre f(v, v 2, v 3 ) = f(v ) + f(v 2 ) + f(v 3 ) = 2v 2 + 2v 3 = 2. 4 c) Determinare la matrice canonica A di f e stabilire se A è simile alla matrice 2 (si possono usare i risultati dell esercizio precedente). e = v v 2 + v 3 Sol. Dall esercizio precedente sappiamo che e 2 = v 2 v 3. Dunque e 3 = v 3 f(e ) = f(v v 2 + v 3 ) = 2v 2 + 2v 3 = 2e 2 = 2. Analogamente f(e 2 ) = 2, f(e 3 ) = e la matrice canonica di f è 2 A = Ora A è simile alla matrice D del punto a), quindi non puo essere simile alla matrice 2.

5 Esercizio 5 Sono dati i seguenti vettori di R 4, dipendenti dal parametro h: v =, v 2 = h, v 3 = h, h 2 e la matrice a) Calcolare il rango di A al variare di h. A = h h. h 2 Sol. Il rango di A vale se h =, vale 2 se h = e vale 3 se h,. b) Calcolare la dimensione del sottospazio E h = L[v, v 2, v 3 ] al variare di h. Sol. la dimensione di E h è uguale al rango di A (vedere la risposta al punto precedente). c) Determinare, se possibile, un sottospazio F di R 4 tale che si abbia dim F = 2, F E h = {}, per ogni h R (E h è, ovviamente, il sottospazio del punto precedente, cioè il sottospazio generato da v, v 2, v 3 ). Sol. Non è possibile. Infatti, se prendiamo h tale che dim E h = 3 si avrebbe, per la formula di Grassmann: dim(e h + F ) = dim E h + dim F dim(e h F ) = 5, e questo è impossibile poichè E h + F è un sottospazio di R 4. Esercizio 6 Sia T l endomorfismo di R 3 rappresentato dalla matrice A = rispetto alla base canonica. a) Determinare una base di KerT e una base di ImT. ( 3 Sol. Base di KerT = ; base di ImT =, ). 3 b) Scrivere il polinomio caratteristico di A e stabilire se T è diagonalizzabile Sol. Polinomio caratteristico x 2 (x + 2) con autovalori, 2; il primo ha MA 2 e MG dunque f non è diagonalizzabile.

6 c) Sia ora A la matrice associata a T rispetto alla base (w, w 2, w 3 ) dove w =, w 2 =, w 3 =. Stabilire se A è diagonalizzabile, e calcolare det A, tra. Sol. A non è diagonalizzabile in quanto rappresenta f, che non lo è. Poiché matrici associate allo stesso endomorfismo sono simili, si avrà det A = det A =, tra = tra = 2.

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