Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

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1 Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo C. 2- Metto a matrice il sistema e la chiamo A. 3- Calcolo polinomio caratteristico di A 4- Molteplicità algebrica. 5- Molteplicità geometrica. Dimensione matrice rk(matricea autovalore). 6- Calcolo matrice di Jordan.I blocchi si calcolano con la molteplicità geometrica. Se è 1 è un blocco solo 3x3. Sulla diagonale l'autovalore che trovo dal polinomio caratteristico. Sopra il valore 1 e poi tutti zeri. 7- Formula = P * e^(lambda t) * p^(-1)*c 8- Trovo P. Prendo la matrice unitaria. Prendo A elevato alla molteplicità algebrica- 1. Quindi P è una riga di I una di A e una di A^(ma-1). 9- Trovo p^-1 col sistema. 10- e^(lambda t ) = e^(lambda t) t*e^(lambda t) (t/2)^(2*e^(lambda t)) 0 e^(lambda t) t*e^(lambda t) 0 0 e^(lambda t) 11- uso la formula del punto 7. Calcola del k. 1- Metto a matrice il sistema e lo rendo a scala. 2- prendo i valori. E trovo le soluzioni. Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

2 1-Ho: f(1,2,0,0) = (0,1,-1,0) f(1,3,0,0) = (0,2,-2,0) f(0,0,1,2) = (0,1,3,2) f(0,0,1,3) = (0,1,5,3) 2- Metto a matrice i coefficienti di f ossia 0,1,-1,0 etc e li metto in colonna. 2- Metto a sistema f ossia 1,2,0,0 etc. quindi: x+2y = 1 Ogni volta scambio = 1 alle eq successive. 3- Ad ogni sistema trovo una riga. 4- Metto a matrice le righe trovate e la chiamo B. 5- Moltiplico la matrice iniziale per la B. 6- Calcolo il ker, e immagine (lo spazio della matrice - vettori ker). 7- Metto a matrice le basi ker e img. 8- Riduco a scala affiancando x,y,z,t per trovare rappr. Cartesiana. Calcolo base ortonormale di U e base ortonormale di U^(perpendicolare). Calcolare matrice rappresent. M(pU) e M(pU ). U = { (1,2,0), (0-1,1) } 1- Trovo il versore: v1/v1*v1 (1,2,0)/sqrt(5) stessa cosa con il secondo vettore. 2- Formula: Vet2 (vet1 * vet2) / (vet1 * vet1) * vet1 = vet3 3- Quindi: (0,-1-1) (0,-2,0)/(1,4,0) * (1,2,0) -(-2/5) * (1,2,0) = -(-2/5,-4/5,0) (0,-1,1) - (-2/5,-4/5,0) (2/5,-1/5,1) (2,-1,5) * (2,-1,5) = 1/sqrt(30). 4- Metto a matrice in colonna i due vettori iniziali affiancando x,y,z e calcolo rappresentazione cartesiana.(2x-y-z = 0) 5- Faccio proeiz. Ortogonale: 2x-y-z (2,-1,-1). Lo moltiplico per se stesso e sommo i valori interni. Quindi = 6. 1/sqrt(6)*(2,-1,-1). 6-2x-y-z) / 6 *(2,-1,-1). Moltiplico il 2 * l'eq. Poi il -1 per l'eq, e ancora il -1 per l'eq. Metto a matrice i 3 vettori per riga. 1/6 * (x,y,z) = (x,y,z) pu( )(x,y,z). (x,y,z) = (1,1,1)

3 Calcolo forma quadratica. Matrice di Gram G, matrice ortogonale P t.c P^(-1) * G* P sia diagonale. q(u) = X1²+2x1*x2+8x1*x3+x^(2)2+8x2*x3-2x^(2)3 1- Prendo i coefficienti di tutte le x^(2) e le metto sulla diagonale della matrice. Quindi: Prendo i coefficienti fuori dai quadrati,li divido per 2 e li metto sulla simmetrica. Quindi: 1 2/2 8/2 2/2 1 8/2 8/2 8/2-2 copio i termini simmetricamente. G = Calcolo polinomio caratteristico di G. Trovo gli autovalori. 4- Per ogni autovalore, lo sostituisco alla t. faccio una matrice e trovo dei vettori (autospazi).quindi 0,6 e -6 (autovalori da sostituire alla t). vettori. V6 = (1,1,1). V0 = (1,-1,0). V-6 = (1,1,-2). 5- Trovo i versori di ogni vettore.v6*v6 e sommo le componenti. 1/sqrt(3). v0*v0 = 1/sqrt(2). V-6*v-6 = 1/sqrt(6). Metto in colonna questi che trovo. Quindi: 1/ 3 1/ 2 1/ 6 1/ 3-1/ 2 1/ 6 1/ 3 0-2/ 6

4 Matrice rapprentativa. Determinare base ker e im, rappresentazione cartesiana per im(f). Dire se F è diagonalizzabile. F(1,-1,-2) = (6,-6,-12) f(1,1,0) = (0,0,0) f(-2,0,1) = (0,0,0) 1- Metto a matrice etc in colonna. 2- Faccio la matrice canonica. 3- faccio il sistema di x-y-2z = 1. Sposto l'1 alle eq successive quindi 3 sistemi. Trovo 3 vettori e li metto in colonna. 4- Moltiplico la matrice etc * quella che ho trovato dai sistemi. 5- Trovo il ker e l'im della matrice che ho appena trovato. 6- Faccio la rappresentazione cartesiana di img di f. 7- devo vedere la diagonalizzazione. Matrici uguali. 1- Due matrici sono uguali se hanno lo stesso rango e stesso indice. L'indice è, una volta ridotta a scala vedi quanti numeri ci sono sulla diagonale > 0. Un numero solo = indice 1. Matrici simili. 1- Se la traccia di A è uguale alla traccia della matrice B.

5 Calcolo Matrice rappresentativa rispetto a E = {e1,e2,e3}, base per il nucleo e per immagine. F(e1) = F(e2) = F(e3) F(e1+e2) = 4(e1+e2+e3) 1- Visto che F(e1) = F(e2) = F(e3) allora la matrice avrà le colonne uguali. 2- F(e1) + F(e2) = 2F(e3) => 2F(e2) /2 = 4F(e1+e2+e3)/2 => semplifico. 3- Trovo F(e2) = 2(e1+e2+e3) => F(e2) = (2,2,2). 4- Visto che e1=e2=e3 la matrice è: 2 2 2; 2 2 2; Trovo il Ker, riducendo a scala la matrice, dopo faccio due sistemi uno con y= 0 e z = 1 e l altro con y=1 e z = 0. Trovo due basi. 6- Trovo l immagine: dimensione(r^3 ker) = > 3-2 = 1. La base è: (2,2,2) in colonna. U Sottospazione generato da x-2y+3z+t = 0. E sia Wh = (-1,1,h,3-3h), (- 1,0,0,1), (-1,1,0,3). Determinare: Wh = U. Wh contenuto in U. Wh da U. 1- Sostituisco tutti i vettori dentro l equazione data h+3-3h = 0. => 0=0 ok! 2- Poi faccio lo stesso per gli altri due vettori dati. 3- Metto a matrice i 3 vettori e la riduco a scala. Trovo h Si ha che Wh = U, mentre W0 U.

6 Al variare di H. Determinare per ciascun H un sottospazio di Wh. (1,1,1,1),(-3h,h^2,-3h,-2h),(3h,3h,-h^2,2h),(0,h^2+3h,-h^2-3h,0) 1- Mettere I vettori dati a matrice e ridurre a scala. 2- Trovo che H {3,0}. Al variare di K. Determinare le soluzioni. 1- Metto a matrice il sistema completo e lo riduco a scala. 2- Trovo per quali k il sistema si annulla. 3- Sostituisco i valori di K che ho trovato nella matrice. 4- Faccio il sistema e trovo le basi/e. Nello spazio dei polinomi R<=2. Sottoinsieme A formato dai polinomi che si annullano in T = -1. Ed il sottospazio B che si annullano in T = 3. Provare che A e B sono sottospazi di R<=2. Calcolare una base per A, B, A B. 1- P(t) = a0 + a1t + a2t^2 2- Sostituisco -1 dentro la t. Quindi l eq diventa: a0-a1+a2. 3- A0 = a1-a2. 4- Sostituisco a0 dentro P(t): (a1-a2) + a1t + a2t^2. 5- Raggruppo a1 e a2: a1(1+t) + a2(-1+t^2). Trovo lo span(1+t, -1+t^2). 6- Faccio lo stesso per b. 7- P(t) = b0 + b1t + b2t^2. Sostituisco 3 alla t => b0 + 3b1 + 9b2. 8- B0 = -3b1 9b2. Sostituisco b0 in P(t). Raggruppo e trovo lo span(-3+t, -9+t^2) 9- Prendo il 1 elemento dello span di A e lo stesso di B. (1+t)*(-3+t) 10- Dim(A) = 2. DIm(B) = 1. Dim(A) + Dim(B). Il termine a sx è > di quello a dx quindi non è somma diretta. 11- (1+t) + (-1+ t^2) + (-3+t) sommo e trovo la base.

7 Dati dei vettori e un sistema trovare la rappresentazione cartesiana di U + V. (15,4,2,3),(10,2,1,2),(5,0,0,1),(5,2,1,1) V = x y + 2z + 2t = 0 X y + 2z + t = 0 2x 2y + 4z +3t = 0 1- Mettendo a matrice i vettori si nota che due sono sovrabbondanti. Quindi i vettori che formano la base sono: (5,0,0,1) e (5,2,1,1) 2- Per il sistema: Metto a matrice i valori e poi rifaccio il sistema trovando le due basi. Che in questo caso sono: (1,1,0,0),(-2,0,1,0). 3- Quindi U + V è data dalle 4 basi. 4- Per la rappresentazione cartesiana metto a matrice i 4 vettori in colonna + una colonna finale di x,y,z,t. Riduco a scala e trovo l eq. In questo caso: x-y+2z-5t = 0. Al variare di H trovare la soluzione dei sistemi lineari con e1,e2,e3. Determinare h per cui Ker(fh) contenuto Im(fh), ed i valori per cui V appartiene a Im(fh). Fh(e1) = (1,2,-3) Fh(e1 e3) = (0,2,-h^2-2h) Fh (e1-e2) = (0,-h-2,0) V = (1,2,0) 1- E3 = (1,2,-3) (0,2, -h^2 2h). e3 = (1,0,-3+h^2 + 2h). 2- E2 = (1,2,3) (0,-h-2,0) e2 = (1,h+4,-3).

8 3- Metto a matrice in colonna i 3 vettori e1,e2,e3. 4- Formo il sistema con accanto i valori di V. 5- Quindi: x + y + z = 1 2x + (h+4)y = 2-3x 3y + (h^2 + 2h -3)z = 0 6- Lo rimetto a matrice completa e lo riduco a scala. Trovo i valori di h. 7- Trovo l immagine. 8- In questo caso V(1,2,0) appartiene a Im(fh) se h -2,0. Trovare Il Rango. Formula: Matrice originale (auto valore) * (matrice unitaria). A λi. L autovalore è quello della molteplicità algebrica. Rango righe non nulle dopo aver ridotto a scala la matrice. Dire se la matrice è diagonalizzabile. Ma = mg. A = 3k + 7 -k 3 9k k Trovo il polinomio caratteristico mettendo t sulla diagonale. 2- Trovo i valori di t in questo caso: -2,-2. (t+2)^2. 3- Molteplicità algebrica: ma(2) = Mg = Ker(A-λI) rk(a). 2 0 = Ma = mg. La matrice è diagonalizzabile.

9 Calcola rango, indice e segnatura ed una base ortonormale per lo spazio pseudo euclideo. Q(x,y,z) = x^2 + 2xy + 4xz y^2-4xz + 3z^2 1- Faccio la matrice di Gram G. Mettendo sulla diagonale i coefficienti elevati al quadrato. Tutti gli altri in simmetria. 2- Quindi: 1 2/2 4/2 2/2-1 -4/ /2-4/ Applico Gauss Lagrange. 4- Affianco la matrice I accanto a quella I G I 5- Le tratto come due matrici indipendenti. 6- Devo trovare una matrice che ha tutti zeri tranne che sulla diagonale. 7- Gli spostamenti che faccio per righe li devo fare per colonne. Una volta Faccio gli spostamenti per righe su G e poi su I. Gli stessi li faccio per colonne sia su G che su I. 8- Alla fine trovo: Rango = Righe sulla diagonale da 0. Quindi Indice = Componenti sulla diagonale > 0. Quindi Segnatura = Componenti positive quella negative. (1+5) (2) = 6-2 = 4.

10 Calcolare matrice rappresentativa, una base Ker(f) e im(f) e una base di autovettori. Infine determinare D = P^- 1 * A * P. F(x,y,z) = (-5x y + 5z, -9x 3y + 11z, -5x y + 5z) 1- La matrice rappresentativa si trova mettendo a matrice f(x,y,z) in riga. 2- Trovo il ker(f) riducendo a scala la matrice appena formata trovo le basi. 3- Trovo l immagine: R^3 dimker = 3 1 = 2. E trovo le due basi dell immagine. 4- Trovo il polinomio caratteristico. 5- I valori che trovo di T li sostituisco al posto di T nella matrice e trovo la base(mettendo a sistema.) 6- Gli auto vettori tutti i vettori trovati. 7- P = Ai 3 vettori trovati messi in colonna. 8- Poi trovo D. Dati due sistema U e V. Trovare base U e provare che U = V. 1- Metto a matrice il primo sistema e lo riduco a scala. 2- Trovo le basi. 3- Stessa cosa per V. 4- Se i vettori di U e quelli di V sono uguali allora U = V. (Anche la dimensione di U deve essere uguale a quella di V).

11 Data l applicazione lineare e 3 vettori determinare: (da sotto a sopra: ε sta sotto B sopra ad esempio.) MεB(idR^3), MBε(idR^3),Mεε(f),MεB(f),MBε(f). F(x,y,z) = (-4x + 4y +z, -9x + 9y + z, -4x + 4y + z) B = {(1,1,0),(1,2,0),(0,0,1)} 1- MεB(idr^3) = metto a matrice per riga I vettori di B. 2- Mεε(f) = Metto a matrice i vettori di F in riga. 3- Poi faccio MεB ^ -1. E trovo le basi. 4- MεB (f) = la matrice del punto 2 * la matrice del punto MBε(f) = Matrice inversa (punto 3) * Matrice del 2 punto. Dato un sistema lineare calcolare la matrice rappresentativa ed un matrice P t.c P^-1*A*P. F(x,y,z) = (x 2y + 3z, -2x 2y + 6z, -2x 2y + 6z) 1- Matrice rappresentativa: metto a matrice F. 2- Calcolo polinomio caratteristico. 3- Calcolo lo spettro: ossia gli auto valori di T cambiati di segno. 4- Poi in base a quanti sono gli auto valori li sostituisco alla t della matrice. 5- Trovo le basi. 6- Con quelle basi mettendole in verticale trovo P. 7- Poi trovo p^-1 col sistema. Rappresentazione parametrica. 1- Riduco a scala la matrice completa del sistema. 2- Trovo le soluzioni. Infinito alla x soluzioni. 3- Faccio il sistema e lo risolvo con le variabili libere. 4- Trovo la base/i.

12 Problema Cauchy a 2 autovalori. X1 = 2x1 x2 + x3 X2 = 2x3 X3 = 4x1 2x2 X1(0) = 1 X2(0) = 0 X3(0) = 0 1- Prendere il secondo sistema e metterlo in verticale e chiamarlo C. 2- Prendere il primo sistema e metterlo a matrice chiamarla A. 3- Calcolare il polinomio caratteristico di A. In questo caso viene t^2 ( - t + 2) 4- Calcolare la Ma e la Mg dei due auto valori. 5- In questo caso gli auto valori sono: t^2 e t Per quanto riguarda t^2 ma(0) = 2. Mg = dim rk(a-λi). Riduco a scala la matrice A con il valore zero della ma. E trovo mg = 2 7- Per quanto riguarda ( - t + 2). Ma(2) = 1 Mg = dim rk(a-λi). Riduco a scala la matrice A con il valore 2. E trovo mg = Quindi ora abbiamo: t^2 ma(0) = 2 Mg = 2. -t+2 ma(2) = 1 Mg = 1 9- Costruisco Jordan: vedo che sono 2 blocchi uno 1*1 e l altro 2*2 (si vede dalla molteplicità geometrica). Sulla diagonale metto gli auto valori: il primo blocco in alto a sinistra è il più piccolo (quello 1*!) quindi 2 * * * * * * * * Il Blocco 1*1 è formato dal solo auto valore 2 messo all inizio della diagonale. Il secondo Blocco è un 2*2. Quindi sulla diagonale metto l autovalor zero. * * * * 0 * * * 0 Secondo blocco 2*2 con 0 sulla diagonale di quel blocco. Sopra gli zeri va messo 1 senza però andare fuori dal blocco che prendo in considerazione. Quindi :

13 * * * * 0 1 * * 0 Dopo aver inserito anche il primo blocco 1*1, dalle altre parti tutti 0. In definitiva viene: Blocco 1*1 Blocco 2*2 9- Scrivo la formula: P * e^(λt) * P^-1 * c 10- Per trovare P: Scrivo la matrice A^ma(del relativo autovalore) In questo caso A^1, sostituisco 2 al posto della T. faccio il sistema e trovo un vettore in questo caso (1,1,1). 11- Poi Faccio la stessa cosa con l altro auto valore. Prendo la matrice A sostituisco il valore 0. Quindi A^ma A^2. Faccio A*A e poi riduco a scala, faccio il sistema e qui trovo 2 vettori. In questo caso: (1,2,0) e (0,0,1). 12- Questi 3 vettori (1,1,1),(1,2,0),(0,0,1) messi in verticale formano la matrice P. 13- Calcolo e^(λt): La matrice è: e^(λt) t*e^(λt) [ t^(2)*(e^λt) ]/2 0 e^(λt) t*e^(λt) 0 0 e^(λt) Prendo Jordan: Considero i due blocchi indipendenti. Al posto di λ ci metto il relativo auto valore. Quindi sul blocco 1*1 ci metto l autovalore 2. Quindi e^(2*t). Il blocco 2*2 lo calcolo con l autovalore 0. Diventa: e^(2t) t Infine calcolo P-1 e utilizzo la formula al punto La matrice finale viene: 2e^(2t) -1-2t 2e^(2t) e^(2t) - 2

14 16- La verifica: Derivata 1 riga = 4e^(2t) -2 Derivata 2 riga = 4e^(2t) 4 Derivata 3 riga = 4e^(2t) Ora scrivo: 4e^(2t) 2 = 2 * (2e^(2t) -1-2) - (2e^(2t) 2-4t) + 2e^2t-2 Vedendo il primo sistema 2x1 x2 + x3. Al posto di x1, x2,x3 ci metto la prima riga, 2 riga e 3 riga. Alla fine deve essere soddisfatta l uguaglianza. Ossia della prima riga: 4e^(2t) = 4e^(2t) Così per gli altri elementi del sistema.

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

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