Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).
|
|
- Lelio Piccolo
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo C. 2- Metto a matrice il sistema e la chiamo A. 3- Calcolo polinomio caratteristico di A 4- Molteplicità algebrica. 5- Molteplicità geometrica. Dimensione matrice rk(matricea autovalore). 6- Calcolo matrice di Jordan.I blocchi si calcolano con la molteplicità geometrica. Se è 1 è un blocco solo 3x3. Sulla diagonale l'autovalore che trovo dal polinomio caratteristico. Sopra il valore 1 e poi tutti zeri. 7- Formula = P * e^(lambda t) * p^(-1)*c 8- Trovo P. Prendo la matrice unitaria. Prendo A elevato alla molteplicità algebrica- 1. Quindi P è una riga di I una di A e una di A^(ma-1). 9- Trovo p^-1 col sistema. 10- e^(lambda t ) = e^(lambda t) t*e^(lambda t) (t/2)^(2*e^(lambda t)) 0 e^(lambda t) t*e^(lambda t) 0 0 e^(lambda t) 11- uso la formula del punto 7. Calcola del k. 1- Metto a matrice il sistema e lo rendo a scala. 2- prendo i valori. E trovo le soluzioni. Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).
2 1-Ho: f(1,2,0,0) = (0,1,-1,0) f(1,3,0,0) = (0,2,-2,0) f(0,0,1,2) = (0,1,3,2) f(0,0,1,3) = (0,1,5,3) 2- Metto a matrice i coefficienti di f ossia 0,1,-1,0 etc e li metto in colonna. 2- Metto a sistema f ossia 1,2,0,0 etc. quindi: x+2y = 1 Ogni volta scambio = 1 alle eq successive. 3- Ad ogni sistema trovo una riga. 4- Metto a matrice le righe trovate e la chiamo B. 5- Moltiplico la matrice iniziale per la B. 6- Calcolo il ker, e immagine (lo spazio della matrice - vettori ker). 7- Metto a matrice le basi ker e img. 8- Riduco a scala affiancando x,y,z,t per trovare rappr. Cartesiana. Calcolo base ortonormale di U e base ortonormale di U^(perpendicolare). Calcolare matrice rappresent. M(pU) e M(pU ). U = { (1,2,0), (0-1,1) } 1- Trovo il versore: v1/v1*v1 (1,2,0)/sqrt(5) stessa cosa con il secondo vettore. 2- Formula: Vet2 (vet1 * vet2) / (vet1 * vet1) * vet1 = vet3 3- Quindi: (0,-1-1) (0,-2,0)/(1,4,0) * (1,2,0) -(-2/5) * (1,2,0) = -(-2/5,-4/5,0) (0,-1,1) - (-2/5,-4/5,0) (2/5,-1/5,1) (2,-1,5) * (2,-1,5) = 1/sqrt(30). 4- Metto a matrice in colonna i due vettori iniziali affiancando x,y,z e calcolo rappresentazione cartesiana.(2x-y-z = 0) 5- Faccio proeiz. Ortogonale: 2x-y-z (2,-1,-1). Lo moltiplico per se stesso e sommo i valori interni. Quindi = 6. 1/sqrt(6)*(2,-1,-1). 6-2x-y-z) / 6 *(2,-1,-1). Moltiplico il 2 * l'eq. Poi il -1 per l'eq, e ancora il -1 per l'eq. Metto a matrice i 3 vettori per riga. 1/6 * (x,y,z) = (x,y,z) pu( )(x,y,z). (x,y,z) = (1,1,1)
3 Calcolo forma quadratica. Matrice di Gram G, matrice ortogonale P t.c P^(-1) * G* P sia diagonale. q(u) = X1²+2x1*x2+8x1*x3+x^(2)2+8x2*x3-2x^(2)3 1- Prendo i coefficienti di tutte le x^(2) e le metto sulla diagonale della matrice. Quindi: Prendo i coefficienti fuori dai quadrati,li divido per 2 e li metto sulla simmetrica. Quindi: 1 2/2 8/2 2/2 1 8/2 8/2 8/2-2 copio i termini simmetricamente. G = Calcolo polinomio caratteristico di G. Trovo gli autovalori. 4- Per ogni autovalore, lo sostituisco alla t. faccio una matrice e trovo dei vettori (autospazi).quindi 0,6 e -6 (autovalori da sostituire alla t). vettori. V6 = (1,1,1). V0 = (1,-1,0). V-6 = (1,1,-2). 5- Trovo i versori di ogni vettore.v6*v6 e sommo le componenti. 1/sqrt(3). v0*v0 = 1/sqrt(2). V-6*v-6 = 1/sqrt(6). Metto in colonna questi che trovo. Quindi: 1/ 3 1/ 2 1/ 6 1/ 3-1/ 2 1/ 6 1/ 3 0-2/ 6
4 Matrice rapprentativa. Determinare base ker e im, rappresentazione cartesiana per im(f). Dire se F è diagonalizzabile. F(1,-1,-2) = (6,-6,-12) f(1,1,0) = (0,0,0) f(-2,0,1) = (0,0,0) 1- Metto a matrice etc in colonna. 2- Faccio la matrice canonica. 3- faccio il sistema di x-y-2z = 1. Sposto l'1 alle eq successive quindi 3 sistemi. Trovo 3 vettori e li metto in colonna. 4- Moltiplico la matrice etc * quella che ho trovato dai sistemi. 5- Trovo il ker e l'im della matrice che ho appena trovato. 6- Faccio la rappresentazione cartesiana di img di f. 7- devo vedere la diagonalizzazione. Matrici uguali. 1- Due matrici sono uguali se hanno lo stesso rango e stesso indice. L'indice è, una volta ridotta a scala vedi quanti numeri ci sono sulla diagonale > 0. Un numero solo = indice 1. Matrici simili. 1- Se la traccia di A è uguale alla traccia della matrice B.
5 Calcolo Matrice rappresentativa rispetto a E = {e1,e2,e3}, base per il nucleo e per immagine. F(e1) = F(e2) = F(e3) F(e1+e2) = 4(e1+e2+e3) 1- Visto che F(e1) = F(e2) = F(e3) allora la matrice avrà le colonne uguali. 2- F(e1) + F(e2) = 2F(e3) => 2F(e2) /2 = 4F(e1+e2+e3)/2 => semplifico. 3- Trovo F(e2) = 2(e1+e2+e3) => F(e2) = (2,2,2). 4- Visto che e1=e2=e3 la matrice è: 2 2 2; 2 2 2; Trovo il Ker, riducendo a scala la matrice, dopo faccio due sistemi uno con y= 0 e z = 1 e l altro con y=1 e z = 0. Trovo due basi. 6- Trovo l immagine: dimensione(r^3 ker) = > 3-2 = 1. La base è: (2,2,2) in colonna. U Sottospazione generato da x-2y+3z+t = 0. E sia Wh = (-1,1,h,3-3h), (- 1,0,0,1), (-1,1,0,3). Determinare: Wh = U. Wh contenuto in U. Wh da U. 1- Sostituisco tutti i vettori dentro l equazione data h+3-3h = 0. => 0=0 ok! 2- Poi faccio lo stesso per gli altri due vettori dati. 3- Metto a matrice i 3 vettori e la riduco a scala. Trovo h Si ha che Wh = U, mentre W0 U.
6 Al variare di H. Determinare per ciascun H un sottospazio di Wh. (1,1,1,1),(-3h,h^2,-3h,-2h),(3h,3h,-h^2,2h),(0,h^2+3h,-h^2-3h,0) 1- Mettere I vettori dati a matrice e ridurre a scala. 2- Trovo che H {3,0}. Al variare di K. Determinare le soluzioni. 1- Metto a matrice il sistema completo e lo riduco a scala. 2- Trovo per quali k il sistema si annulla. 3- Sostituisco i valori di K che ho trovato nella matrice. 4- Faccio il sistema e trovo le basi/e. Nello spazio dei polinomi R<=2. Sottoinsieme A formato dai polinomi che si annullano in T = -1. Ed il sottospazio B che si annullano in T = 3. Provare che A e B sono sottospazi di R<=2. Calcolare una base per A, B, A B. 1- P(t) = a0 + a1t + a2t^2 2- Sostituisco -1 dentro la t. Quindi l eq diventa: a0-a1+a2. 3- A0 = a1-a2. 4- Sostituisco a0 dentro P(t): (a1-a2) + a1t + a2t^2. 5- Raggruppo a1 e a2: a1(1+t) + a2(-1+t^2). Trovo lo span(1+t, -1+t^2). 6- Faccio lo stesso per b. 7- P(t) = b0 + b1t + b2t^2. Sostituisco 3 alla t => b0 + 3b1 + 9b2. 8- B0 = -3b1 9b2. Sostituisco b0 in P(t). Raggruppo e trovo lo span(-3+t, -9+t^2) 9- Prendo il 1 elemento dello span di A e lo stesso di B. (1+t)*(-3+t) 10- Dim(A) = 2. DIm(B) = 1. Dim(A) + Dim(B). Il termine a sx è > di quello a dx quindi non è somma diretta. 11- (1+t) + (-1+ t^2) + (-3+t) sommo e trovo la base.
7 Dati dei vettori e un sistema trovare la rappresentazione cartesiana di U + V. (15,4,2,3),(10,2,1,2),(5,0,0,1),(5,2,1,1) V = x y + 2z + 2t = 0 X y + 2z + t = 0 2x 2y + 4z +3t = 0 1- Mettendo a matrice i vettori si nota che due sono sovrabbondanti. Quindi i vettori che formano la base sono: (5,0,0,1) e (5,2,1,1) 2- Per il sistema: Metto a matrice i valori e poi rifaccio il sistema trovando le due basi. Che in questo caso sono: (1,1,0,0),(-2,0,1,0). 3- Quindi U + V è data dalle 4 basi. 4- Per la rappresentazione cartesiana metto a matrice i 4 vettori in colonna + una colonna finale di x,y,z,t. Riduco a scala e trovo l eq. In questo caso: x-y+2z-5t = 0. Al variare di H trovare la soluzione dei sistemi lineari con e1,e2,e3. Determinare h per cui Ker(fh) contenuto Im(fh), ed i valori per cui V appartiene a Im(fh). Fh(e1) = (1,2,-3) Fh(e1 e3) = (0,2,-h^2-2h) Fh (e1-e2) = (0,-h-2,0) V = (1,2,0) 1- E3 = (1,2,-3) (0,2, -h^2 2h). e3 = (1,0,-3+h^2 + 2h). 2- E2 = (1,2,3) (0,-h-2,0) e2 = (1,h+4,-3).
8 3- Metto a matrice in colonna i 3 vettori e1,e2,e3. 4- Formo il sistema con accanto i valori di V. 5- Quindi: x + y + z = 1 2x + (h+4)y = 2-3x 3y + (h^2 + 2h -3)z = 0 6- Lo rimetto a matrice completa e lo riduco a scala. Trovo i valori di h. 7- Trovo l immagine. 8- In questo caso V(1,2,0) appartiene a Im(fh) se h -2,0. Trovare Il Rango. Formula: Matrice originale (auto valore) * (matrice unitaria). A λi. L autovalore è quello della molteplicità algebrica. Rango righe non nulle dopo aver ridotto a scala la matrice. Dire se la matrice è diagonalizzabile. Ma = mg. A = 3k + 7 -k 3 9k k Trovo il polinomio caratteristico mettendo t sulla diagonale. 2- Trovo i valori di t in questo caso: -2,-2. (t+2)^2. 3- Molteplicità algebrica: ma(2) = Mg = Ker(A-λI) rk(a). 2 0 = Ma = mg. La matrice è diagonalizzabile.
9 Calcola rango, indice e segnatura ed una base ortonormale per lo spazio pseudo euclideo. Q(x,y,z) = x^2 + 2xy + 4xz y^2-4xz + 3z^2 1- Faccio la matrice di Gram G. Mettendo sulla diagonale i coefficienti elevati al quadrato. Tutti gli altri in simmetria. 2- Quindi: 1 2/2 4/2 2/2-1 -4/ /2-4/ Applico Gauss Lagrange. 4- Affianco la matrice I accanto a quella I G I 5- Le tratto come due matrici indipendenti. 6- Devo trovare una matrice che ha tutti zeri tranne che sulla diagonale. 7- Gli spostamenti che faccio per righe li devo fare per colonne. Una volta Faccio gli spostamenti per righe su G e poi su I. Gli stessi li faccio per colonne sia su G che su I. 8- Alla fine trovo: Rango = Righe sulla diagonale da 0. Quindi Indice = Componenti sulla diagonale > 0. Quindi Segnatura = Componenti positive quella negative. (1+5) (2) = 6-2 = 4.
10 Calcolare matrice rappresentativa, una base Ker(f) e im(f) e una base di autovettori. Infine determinare D = P^- 1 * A * P. F(x,y,z) = (-5x y + 5z, -9x 3y + 11z, -5x y + 5z) 1- La matrice rappresentativa si trova mettendo a matrice f(x,y,z) in riga. 2- Trovo il ker(f) riducendo a scala la matrice appena formata trovo le basi. 3- Trovo l immagine: R^3 dimker = 3 1 = 2. E trovo le due basi dell immagine. 4- Trovo il polinomio caratteristico. 5- I valori che trovo di T li sostituisco al posto di T nella matrice e trovo la base(mettendo a sistema.) 6- Gli auto vettori tutti i vettori trovati. 7- P = Ai 3 vettori trovati messi in colonna. 8- Poi trovo D. Dati due sistema U e V. Trovare base U e provare che U = V. 1- Metto a matrice il primo sistema e lo riduco a scala. 2- Trovo le basi. 3- Stessa cosa per V. 4- Se i vettori di U e quelli di V sono uguali allora U = V. (Anche la dimensione di U deve essere uguale a quella di V).
11 Data l applicazione lineare e 3 vettori determinare: (da sotto a sopra: ε sta sotto B sopra ad esempio.) MεB(idR^3), MBε(idR^3),Mεε(f),MεB(f),MBε(f). F(x,y,z) = (-4x + 4y +z, -9x + 9y + z, -4x + 4y + z) B = {(1,1,0),(1,2,0),(0,0,1)} 1- MεB(idr^3) = metto a matrice per riga I vettori di B. 2- Mεε(f) = Metto a matrice i vettori di F in riga. 3- Poi faccio MεB ^ -1. E trovo le basi. 4- MεB (f) = la matrice del punto 2 * la matrice del punto MBε(f) = Matrice inversa (punto 3) * Matrice del 2 punto. Dato un sistema lineare calcolare la matrice rappresentativa ed un matrice P t.c P^-1*A*P. F(x,y,z) = (x 2y + 3z, -2x 2y + 6z, -2x 2y + 6z) 1- Matrice rappresentativa: metto a matrice F. 2- Calcolo polinomio caratteristico. 3- Calcolo lo spettro: ossia gli auto valori di T cambiati di segno. 4- Poi in base a quanti sono gli auto valori li sostituisco alla t della matrice. 5- Trovo le basi. 6- Con quelle basi mettendole in verticale trovo P. 7- Poi trovo p^-1 col sistema. Rappresentazione parametrica. 1- Riduco a scala la matrice completa del sistema. 2- Trovo le soluzioni. Infinito alla x soluzioni. 3- Faccio il sistema e lo risolvo con le variabili libere. 4- Trovo la base/i.
12 Problema Cauchy a 2 autovalori. X1 = 2x1 x2 + x3 X2 = 2x3 X3 = 4x1 2x2 X1(0) = 1 X2(0) = 0 X3(0) = 0 1- Prendere il secondo sistema e metterlo in verticale e chiamarlo C. 2- Prendere il primo sistema e metterlo a matrice chiamarla A. 3- Calcolare il polinomio caratteristico di A. In questo caso viene t^2 ( - t + 2) 4- Calcolare la Ma e la Mg dei due auto valori. 5- In questo caso gli auto valori sono: t^2 e t Per quanto riguarda t^2 ma(0) = 2. Mg = dim rk(a-λi). Riduco a scala la matrice A con il valore zero della ma. E trovo mg = 2 7- Per quanto riguarda ( - t + 2). Ma(2) = 1 Mg = dim rk(a-λi). Riduco a scala la matrice A con il valore 2. E trovo mg = Quindi ora abbiamo: t^2 ma(0) = 2 Mg = 2. -t+2 ma(2) = 1 Mg = 1 9- Costruisco Jordan: vedo che sono 2 blocchi uno 1*1 e l altro 2*2 (si vede dalla molteplicità geometrica). Sulla diagonale metto gli auto valori: il primo blocco in alto a sinistra è il più piccolo (quello 1*!) quindi 2 * * * * * * * * Il Blocco 1*1 è formato dal solo auto valore 2 messo all inizio della diagonale. Il secondo Blocco è un 2*2. Quindi sulla diagonale metto l autovalor zero. * * * * 0 * * * 0 Secondo blocco 2*2 con 0 sulla diagonale di quel blocco. Sopra gli zeri va messo 1 senza però andare fuori dal blocco che prendo in considerazione. Quindi :
13 * * * * 0 1 * * 0 Dopo aver inserito anche il primo blocco 1*1, dalle altre parti tutti 0. In definitiva viene: Blocco 1*1 Blocco 2*2 9- Scrivo la formula: P * e^(λt) * P^-1 * c 10- Per trovare P: Scrivo la matrice A^ma(del relativo autovalore) In questo caso A^1, sostituisco 2 al posto della T. faccio il sistema e trovo un vettore in questo caso (1,1,1). 11- Poi Faccio la stessa cosa con l altro auto valore. Prendo la matrice A sostituisco il valore 0. Quindi A^ma A^2. Faccio A*A e poi riduco a scala, faccio il sistema e qui trovo 2 vettori. In questo caso: (1,2,0) e (0,0,1). 12- Questi 3 vettori (1,1,1),(1,2,0),(0,0,1) messi in verticale formano la matrice P. 13- Calcolo e^(λt): La matrice è: e^(λt) t*e^(λt) [ t^(2)*(e^λt) ]/2 0 e^(λt) t*e^(λt) 0 0 e^(λt) Prendo Jordan: Considero i due blocchi indipendenti. Al posto di λ ci metto il relativo auto valore. Quindi sul blocco 1*1 ci metto l autovalore 2. Quindi e^(2*t). Il blocco 2*2 lo calcolo con l autovalore 0. Diventa: e^(2t) t Infine calcolo P-1 e utilizzo la formula al punto La matrice finale viene: 2e^(2t) -1-2t 2e^(2t) e^(2t) - 2
14 16- La verifica: Derivata 1 riga = 4e^(2t) -2 Derivata 2 riga = 4e^(2t) 4 Derivata 3 riga = 4e^(2t) Ora scrivo: 4e^(2t) 2 = 2 * (2e^(2t) -1-2) - (2e^(2t) 2-4t) + 2e^2t-2 Vedendo il primo sistema 2x1 x2 + x3. Al posto di x1, x2,x3 ci metto la prima riga, 2 riga e 3 riga. Alla fine deve essere soddisfatta l uguaglianza. Ossia della prima riga: 4e^(2t) = 4e^(2t) Così per gli altri elementi del sistema.
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura
Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi
DettagliLezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine
Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliCORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA
COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno
DettagliTutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliProva scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski
10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
Dettaglif(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))
Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.
DettagliLE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE
LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3
DettagliRICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio 1. Sia f: R 3 R 2 (x, y, z) (x + 2y + z, y + z). (1) Verificare che f è lineare. (2) Determinare una base di ker(f) e stabilire se f è iniettiva. (3) Calcolare w
DettagliFederico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24
Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliRango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.
CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
Dettagli2 Argomenti introduttivi e generali
1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti
DettagliMatematica generale CTF
Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono
DettagliB9. Equazioni di grado superiore al secondo
B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliSTUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
Dettagli1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo
FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliApplicazioni lineari
CAPITOLO 8 Applicazioni lineari Esercizio 8.. Sia T : R 3 R 3 l applicazione definita da T(x,x,x 3 ) = (x,x,x 3 ). Stabilire se T è lineare. Esercizio 8.. Verificare che la funzione determinante definita
DettagliLezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari
Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle
DettagliForme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :
Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:
DettagliDocumentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab
Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Algoritmi Metodo di Gauss-Seidel con sovrarilassamento Metodo delle Secanti Metodo di Newton Studente Amelio Francesco 556/00699 Anno
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliLezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliLEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W
LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se
DettagliESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI
ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
DettagliStudente: SANTORO MC. Matricola : 528
CORSO di LAUREA in INFORMATICA Corso di CALCOLO NUMERICO a.a. 2004-05 Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 PROGETTO PER L ESAME 1. Sviluppare una versione dell algoritmo di Gauss per sistemi con matrice
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione
DettagliLEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE
LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliIl simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale
Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliLogaritmi ed esponenziali
Logaritmi ed esponenziali definizioni, proprietà ITIS Feltrinelli anno scolastico 2007-2008 A cosa servono i logaritmi I logaritmi rendono possibile trasformare prodotti in somme, quozienti in differenze,
DettagliAutovalori e Autovettori
Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora
DettagliEsercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x
FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliSpazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007
Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari
DettagliMATRICI E DETERMINANTI
MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe
DettagliEsempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della
DettagliLe funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1
Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliLEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1
LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliSEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:
CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}
DettagliG6. Studio di funzione
G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliFASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:
FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente
Dettaglila funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.
1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE
ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è
DettagliPercorsi di matematica per il ripasso e il recupero
Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
DettagliProposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014
Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,
DettagliRAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL 1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Per l analisi dati con Excel si fa riferimento alla versione 2007 di Office, le versioni successive non differiscono
Dettagli2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.
DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni
DettagliProf.ssa Paola Vicard
Questa nota consiste perlopiù nella traduzione (con alcune integrazioni) da Descriptive statistics di J. Shalliker e C. Ricketts, 2000, University of Plymouth Consideriamo i dati nel file esercizio10_dati.xls.
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliLEZIONE 17. B : kn k m.
LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliI polinomi 1; x;x 2 ;x 3 sono linearmente indipendenti; infatti. 0= 1 1+ 2 x+ 3 x 2 + 4 x 3 =) 1 = 2 == 4 =0
ASPETTI TEORICI Spazio vettoriale Un insieme qualunque di inniti elementi V = fv i g si dice uno spazio vettoriale sull'insieme dei numeri reali R se: { E possibile denire un'operazione binaria fra gli
Dettagli1 Definizione: lunghezza di una curva.
Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall
Dettagli