Studente: SANTORO MC. Matricola : 528

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1 CORSO di LAUREA in INFORMATICA Corso di CALCOLO NUMERICO a.a Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 PROGETTO PER L ESAME 1. Sviluppare una versione dell algoritmo di Gauss per sistemi con matrice dei coefficienti tridiagonale, senza pivoting, in place (function x=stridiagonale(d0,dm1,dp1,b)). L algoritmo è noto anche come algoritmo di Thomas. La matrice tridiagonale è memorizzata in tre vettori, uno per ogni diagonale: d0 contiene la diagonale principale, dm1 contiene la diagonale sotto la diagonale principale, dp1 contiene la diagonale sopra la diagonale principale. L algoritmo inizia copiando il vettore dei termini noti b nel vettore x e prosegue con n-1 passi di trasformazione della matrice tridiagonale in una matrice che ha solo la diagonale principale e quella sopra la diagonale principale (matrice bidiagonale). Si può dimostrare che in tale matrice bidiagonale (dm1 è nulla) dp1 è inalterata, mentre d0 e x sono modificati nel seguente modo: molt=dm1(j)/d0(j); d0(j+1)= d0(j+1)-molt*dp1(j); x(j+1)=x(j+1)-molt*x(j); Si noti che ovviamente c è un unico moltiplicatore per passo. La sostituzione all indietro coinvolge la matrice bidiagonale così ottenuta (vettori d0 e dp1), e richiede un ciclo (all indietro) che permette di determinare la soluzione x. Fare un confronto tra l algoritmo di Thomas (function STridiagonale)e il comando Matlab \ per controllare la correttezza della function sviluppata. Nei test, usare matrici tridiagonale di ordine 5, 10, 15. Il comando Matlab che consente di costruire una matrice tridiagonale a partire dai vettori che contengono le diagonali è: A=diag(dm1,-1)+ diag(d0,0)+ diag(dp1,1); La soluzione del sistema, da utilizzare come valore di riferimento, è quindi: x_matlab=a\d;

2 Il progetto per l esame di Calcolo Numerico richiede di sviluppare un algoritmo e la relativa implementazione come programma MATLAB. Il programma deve contenere un insieme di commenti iniziali che spiega brevemente le finalità del programma; un insieme di commenti all inizio di ogni function che spiega le finalità della function e il significato dei parametri di input output (specifiche della function); commenti esplicativi dei principali blocchi di istruzioni; e deve essere corredato da un insieme di almeno 3 esecuzioni per testare il programma con diversi dati di input. Lo studente deve consegnare al docente una UNICA Relazione in formato.doc. La Relazione deve contenere: il testo della prova inviata dal docente, i programmi Matlab sviluppati, l output dei test di esecuzione. I test devono essere almeno tre e gli output devono essere salvati come print screen e incollati come figura nel.doc. E necessario scrivere un testo di almeno dieci righi di commento in cui si illustra come devono essere interpretati i risultati del test. La Relazione deve riportare chiaramente il nome dell Allievo e la sua matricola. La Relazione deve essere consegnata al docente per entro la data di scadenza della prenotazione on-line dell esame. IL NOME DEL FILE CHE CONTIENE LA RELAZIONE DEVE ESSERE RelazioneCN_cognomeallievo_nomeallievo.doc NON SARANNO ESAMINATI PROGETTI PRESENTATI SOTTO FORMA DI PIU RELAZIONI, FILE.m, FILE SEPARATI, ETC., OVVERO DIFFORMI DA QUANTO QUI PRECISATO.

3 DESCRIZIONE ALGORITMO L idea di base è trasformare il sistema in uno facilmente risolvibile. Il sistema con la matrice tridiagonale dei coefficienti di partenza è: Il sistema viene memorizzato con le seguenti strutture : - d0 diagonale principale - dm1 diagonale SOTTO d0 - dp1 diagonale SOPRA d0 - b vettore termini noti - X vettore con le soluzioni da Il primo passo è rendere la matrice dei coefficienti, una matrice triangolare superiore tramite una variante dell algoritmo di gauss che procede nel seguente modo, per size(d0)-1 volte: molt=dm1(j)/d0(j); d0(j+1)= d0(j+1)-molt*dp1(j); b(j+1)=b(j+1)-molt*b(j); in seguito al primo passo, la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti vengono trasformati nel seguente modo: - b è modificata - d0 è modificata - dm1 è nulla - dp1 è inalterata La seconda parte consiste nel ricavare il vettore delle x tramite la sostituzione all indietro delle x trovate. Per ricavare la prima incognita si divide l ultimo coefficiente con l ultimo termine noto e procedendo all indietro fino alla prima equazione si risolve il sistema 1) 2) ecc. Al passo generico i si ha: Ripetendo la formule per n-1 volte (l ultima viene calcolata secondo la formula numero 1) si ottengono i risultati corretti delle x

4 FUNCTION MATLAB function x=stridiagonale(d0,dm1,dp1,b) % FINALITA' % risoluzione di un sistema di eq. lineari con il metodo di Gauss % usando l'algoritmo di Thomas per sistemi con matrice dei % coefficienti tridiagonale (senza pivoting - IN place) % % VARIABILI % input: % DIAGONALI % d0 diagonale principale % dm1 diagonale SOTTO la diagonale d0 % dp1 diagonale SOPRA la diagonale d0 % T.N. % b vettore dei termini noti (inalterato in output) % output: % x soluzione % % PRIMA PARTE % Trasforma il sistema in uno equivalente avente la stessa soluzione % nel quale si osserva la seguente modifica delle diagonali % d0 è nulla % dp1 è inalterata % d0 e b si trasformano tramite il seguente ciclo enumerativo n=length(d0)-1; %iniziando dal penultimo elemento for j=1:1:n %Con n passi molt=dm1(j)/d0(j); %Calcola il moltiplicatore, uno per ogni passo d0(j+1)=d0(j+1)-molt*dp1(j); %Modifica il vettore diagonale principale b(j+1)=b(j+1)-molt*b(j); %Modifica b end % SECONDA PARTE %Usando la backward substitution ricava,tramile l'equazione %inserita nel ciclo, le x da restituire in output %L'ultimo elemento di x è calcolato dividendo %gli ultimi elementi di b e d0 n=length(d0);%size della diagonale x(n)=b(n)/d0(n);%divisione n=n-1;%il ciclo di sostituzione ha inizio dal penultimo elemento di x for i=n:-1:1%n-1 passi x(i)=(b(i)-(dp1(i)*x(i+1)))/d0(i);%ricava le x da questa equazione end

5 TEST ESEGUITI Fare un confronto tra l algoritmo di Thomas (function STridiagonale)e il comando Matlab \ per controllare la correttezza della function sviluppata. Nei test, usare matrici tridiagonale di ordine 5, 10, 15. Il comando Matlab che consente di costruire una matrice tridiagonale a partire dai vettori che contengono le diagonali è: A=diag(dm1,-1)+ diag(d0,0)+ diag(dp1,1); La soluzione del sistema, da utilizzare come valore di riferimento, è quindi: x_matlab=a\b Sono stati eseguiti 3 testi rispettivamente con matrici e vettori di ordine , per ogni test è stata seguita la seguente procedura divisa in 3 parti : Definisce la diagonale principale d0 Definisce la diagonale secondaria dm1 Definisce la diagonale secondaria dp1 Definisce il vettore dei termini noti b Costruisce la matrice dei coefficienti A tridiagonale a partire dai vettori d0 dm1 dp1 Valuta x secondo STridiagonale Valuta x secondo Matlab ( \ ) In ogni test il risultato trovato con la funzione predecentemente sviluppata coincide con il risultato fornito con l operatore \ di matlab

6 1 )TEST CON MATRICE DI ORDINE 5 Nel test 1 X_matlab ed x_mia coincidono

7 2 )TEST CON MATRICE DI ORDINE 10 Nel test 2 X_matlab ed x_mia coincidono

8 3 )TEST CON MATRICE DI ORDINE 15 Nel test 3 X_matlab ed x_mia coincidono