Soluzione di equazioni quadratiche

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1 Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti corrispondenti alle due espressioni sono coincidenti, cioè i valori di x per i quali x x 3. Editiamo pertanto anche l equazione x x 3 Si tratta di un equazione di secondo grado che ammette due soluzioni irrazionali ( 1,1 ). Queste soluzioni devono essere costruite sulla Retta Algebrica affinché sia possibile verificare l uguaglianza. Infatti, sino a che le soluzioni non sono rappresentate sulla retta, il trascinamento dell incognita x ci consente di intuire che per due valori di x, le due espressioni sembrano coincidere. In realtà, anche con valori di x approssimati a valori decimali, la visualizzazione sulla retta mostra che i valori delle due espressioni sono molto vicini, ma non coincidenti (si veda l immagine sotto riportata). La soluzione dell equazione richiede la sua trasformazione nella forma canonica. L invio dell equazione nel Manipolatore Algebrico consente di trasformarla nella forma canonica attraverso i seguenti due passaggi:

2 Lo scopo dell intervento didattico è volto a far comprendere cosa significa che l equazione di partenza e quella canonica sono tra loro equivalenti. A tale fine è necessario inviare l equazione canonica e il polinomio ad essa associato nella Retta Algebrica. Per giungere ad esplicitare la relazione di equivalenza fra le due equazioni, è utile chiedere agli studenti di interpretare il comportamento delle coppie di punti corrispondenti rispettivamente al polinomio x e a 0 da una parte, e ai polinomi x e x 3, dall altra, durante il trascinamento di x lungo la retta e di giustificare tale comportamento. Questa attività porta alla costruzione di ipotesi riguardanti la relazione che intercorre fra le coppie di espressioni rispetto a due valori assunti da x sulla retta che devono essere ancora specificati. La verifica sulla retta permette di evidenziare che esistono due valori di x per i quali i polinomi x e x 3 sembrano coincidere su uno stesso punto e contemporaneamente il polinomio x sembra coincidere con il punto 0. Il comando E=0 della Retta Algebrica consente di trovare le radici per le quali il polinomio x si annulla. Le immagini sotto riportate illustrano il processo che consente di determinare una radice del polinomio e gli eventi rappresentativi che emergono dopo aver trovato entrambe le radici con il trascinamento del punto mobile x lungo la retta.

3 Una volta determinate le radici del polinomio, esse sono inserite in una specifica finestra (Roots) della Retta Algebrica. Notiamo che trascinando x lungo la retta è possibile verificare che il colore dei pallini associati alle due equazioni è sempre concorde: verde solo quando x assume i valori 1 e 1, rosso per tutti gli altri valori di x. Questo fenomeno rappresentativo può essere giustificato affermando che le due equazioni sono equivalenti, in quanto vere per gli stessi valori di x. Infine, costruendo gli insiemi di verità relativi alle equazioni x e x x 3 si verifica che il colore dei pallini ad essi associati è concorde al variare di x lungo la retta. Questo fenomeno rappresentativo consente di definire equazioni equivalenti come equazioni aventi lo stesso insieme verità.

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5 Soluzione dell equazione di secondo grado nel Manipolatore Algebrico Il Manipolatore Algebrico consente almeno quattro diversi approcci risolutivi dell equazione x x 3 sul piano formale. Il primo approccio è quello automatico per mezzo del comando Semplifica Dominio. Come nel caso dell equazione lineare, l applicazione di questo comando all equazione in esame produce il risultato in modo automatico (come illustrato nella figura sotto riportata): Il secondo approccio richiede la trasformazione dell equazione in forma canonica, quindi la fattorizzazione del polinomio, che può realizzarsi solo se in precedenza sono state trovate le sue radici nella Retta Algebrica. Riportiamo di seguito la trasformazione relativa a questo approccio. Il terzo approccio è basato sulla possibilità offerta dal comando del Manipolatore Algebrico Inserisci insieme soluzione di importare la soluzione realizzata sulla Retta Algebrica. Questo approccio è simile a quello che si ottiene con il comando Semplifica Dominio. In entrambi i casi nel Manipolatore Algebrico, in modo automatico, viene riportata la soluzione. Con un unica importante

6 differenza: mentre il comando Semplifica Dominio funziona come una sorta di scatola magica che produce il risultato in base a complessi algoritmi non accessibili all utente, il comando Inserisci insieme soluzione introduce nel manipolatore il risultato in precedenza costruito sulla Retta Algebrica mediante tecniche controllabili sul piano percettivo e motorio. Il quarto approccio richiede la dimostrazione preventiva della formula risolutiva dell equazione di secondo grado e la costruzione di una regola utente ad essa relativa. Tale formula verrà applicata all equazione x 0 Nella figura sotto riportata è rappresentata la regola utente costruita dopo aver effettuato la dimostrazione. La dimostrazione di questa regola nel Manipolatore Algebrico richiede molti più passaggi rispetto a quella con carta e penna ma può costituire un attività molto utile da sviluppare in modo collettivo in classe. Prima di realizzare questa dimostrazione conviene creare la regola del quadrato del binomio, perché servirà nella dimostrazione. La regola dimostrata può essere esportata come file ed eventualmente distribuita agli studenti per essere importata sulla loro postazione di lavoro. Riportiamo, di seguito, un esempio di applicazione della regola.

7 Soluzione nell ambiente Funzioni Mediante il comando Mostra il valore secondo x si costruiscono i grafici di f ( x) x, g ( x) x 3 e h ( x) x. Trascinando x sulla Retta Algebrica è facile rendersi conto che per x 1 f ( x) g( x), cioè le curve si intersecano nel piano cartesiano e le due espressioni ad esse corrispondenti coincidono nello stesso punto sulla Retta Algebrica. Per gli stessi valori di x, h ( x) 0, cioè la funzione h (x) interseca l asse delle ascisse mentre sulla Retta Algebrica l espressione x coincide con il punto 0.

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