FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI"

Transcript

1 ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si tratta in sostanza di risolvere la disequazione f () > cioè >. Tenendo presente il dominio = 0cioè = ± eliminiamo il valore assoluto distinguendo due casi: se > 0 cioè < > = se. < 0 cioè << Si ha allora > < > > << >. Consideriamo il primo sistema. Semplificando = la seconda disequazione si riscrive > cioè> (si tenga presente che > 0) e quindi il sistema diventa < > < che equivale a < > >0 < < > >0 < 0 < > >0 cioè ( +). Consideriamo ora il secondo sistema. Semplificando = = la seconda disequazione si riscrive > cioè > (si tenga presente che > 0) e quindi il sistema diventa << < che equivale a << << << >0 <0 <0 < > 0 < > cioè. In definitiva unendo le soluzioni ( +) e trovate si ottiene f (( +)) = R \{ } : > = ( +). ESERCIZIO. Risolvere la disequazione 5 + >. Svolgimento. È comodo procedere graficamente in quanto la curva () y = 5 + si disegna facilmente a partire dalla parabola y = 5 +e la disequazione proposta è risolta dagli intervalli su cui tale curva si svolge al di sopra della retta y =.

2 M.GUIDA S.ROLANDO Poiché () 5 + = 5 + per ogni R la curva () è la curva y = f ( ) dove f () = 5 +e si ottiene quindi dalla parabola y = f () tramite due successivi ribaltamenti orizzontale e verticale (in ordine qualunque) Le soluzioni della disequazione 5 + > sono le ascisse dei punti della curva () che hanno ordinata maggiore di ossia le ascisse dei tratti del grafico y = f ( ) che si svolgono sopra la retta orizzontale y = Si vede quindi che la disequazione 5 + > è risolta dall unione di 5 intervalli ( illimitati e limitati) aperti (essendo la disguaglianza stretta) i cui estremi non sono altro che le ascisse delle intersezioni tra y = f ( ) ed y = ossia le soluzioni dell equazione 5 + =. Data la parità della funzione y = f ( ) èevidentementesuciente risolvere tale equazione per 0 nel qual caso essa equivale a 5 += oppure 5 += () 5 +=0 5 +5=0 = 5± = 5± 5. La disuguaglianza 5 + > risulta dunque soddisfatta per ossia più brevemente 5 5 > 5+ oppure < 5 oppure 5 5 < < si osservi che = per ogni R

3 FUNZIONI Osservazione. Ovviamente si sarebbe anche potuto procedere algebricamente eliminando dapprima il valore assoluto più esterno 5 + > 5 +> oppure 5 +< e poi suddividendo ulteriormente a seconda del segno di : 0 <0 5 +> 0 5 +> 0 oppure +5 +> 0 0 <0 5 +5< < 0 oppure +5 +5< 0 (dove in eetti i sistemi con <0 si sarebbero potuti evitare ricordando che = e risolvendo quindi le disequazioni 5 + > 0 e 5 +5< 0 nell incognita ). Si noti però che il procedimento algebrico porta comunque alla risoluzione di più disequazioni laddove il metodo grafico ci ha permesso di ricondurci alla risoluzione delle sole due equazioni (). ESERCIZIO. Tracciare il grafico della funzione f () = +. Svolgimento. Siccome la curva y = + non si ottiene facilmente mediante trasformazioni elementari del grafico di una qualche funzione nota conviene recuperare f () come funzione definita a tratti e tracciare poi separatamente i grafici di tali tratti. Poiché se = se < risulta ( ) + = se f () = ( )+ = se < ed il grafico di f coincide quindi con la parabola y = sull intervallo [ +) e con la parabola y = sull intervallo ( )

4 M.GUIDA S.ROLANDO ESERCIZIO. Trovare opportune restrizioni di f () = che siano invertibili e disegnare i grafici delle inverse corrispondenti specificandone dominio e immagine. Svolgimento. Poiché f () = per ogni R il grafico y = di f si ottiene simmetrizzando rispetto all asse y la parte di parabola y = che giace nel semipiano Da tale grafico si vede subito che f è invertibile (in quanto strettamente monotona) sugli intervalli I =( ] I =[ 0] I =[0 ] I =[ +) ossia che sono invertibili le restrizioni f = f I f = f I f = f I f = f I le quali come risulta ancora dal grafico hanno immagini im f =[ +) im f =[ 0] im f =[ 0] im f =[ +). Allora poiché l inversa di una funzione invertibile ha per dominio l immagine della funzione e per immagine il suo dominio si ha f :[ +) ( ] f :[ 0] [ 0] f :[ 0] [0 ] f :[ +) [ +) dove gli intervalli specificati sono esattamente dominio e immagine delle inverse f i i =. I grafici delle f i si trovano come al solito simmetrizzando i grafici delle f i rispetto alla bisettrice y = dei quadranti I e III

5 FUNZIONI 5 Osservazione. Poiché se 0 f () = + se 0 le espressioni delle fi si ricavano risolvendo rispetto a le equazioni = y e + = y. Ad esempio l unica soluzione ( ] (= domf ) dell equazione y =0 con y fissato in [ +) (= imf ) è la controimmagine di y tramite f ossia l immagine di y tramite f ed è data da = +y ilchesignifica che f (y) = +y per ogni y. L altra soluzione = + +y della stessa equazione è invece maggiore o uguale a (ed in particolare essa cade nell intervallo [ 0] se y 0) fornendo l espressione dell inversa di f ossia f (y) =+ +y per ogni y [ 0]. In definitiva risolvendo analogamente anche l equazione + y =0e poi chiamando invece che y la variabile indipendente (cosa necessaria se si vogliono rappresentare i grafici delle funzioni f i e delle loro inverse rispetto agli stessi assi cartesiani) si ottiene f () = + per ogni f () =+ + per ogni [ 0] f () = + per ogni [ 0] f () =+ + per ogni. ESERCIZIO. Stabilire se le seguenti funzioni sono periodiche ed eventualmente specificarne il periodo minimo: f () =e tan g() = sin () h() =tan + k () =sin()+cos(5) u() =cos v () =sin. È utile tenere presente i seguenti risultati generali: (i) (ii) se f () è una funzione periodica di periodo minimo T ed = 0èunnumeroreale allora F () è periodica di periodo minimo T ; se f () e g () sono funzioni periodiche con periodi minimi T f e T g tali che T f T g Q allora f ()+g () è periodica con periodo minimo nt f doven>0 è il più piccolo naturale tale che n T f T g N. Svolgimento. Poiché la tangente è periodica di periodo minimo anche f è periodica di periodo : dom f =domtan( ) e f ( + ) =e tan(+) = e tan = f (). T = è evidentemente anche il periodo minimo di f; infattif ( + T )=f () significa e tan(+t ) = e tan che per l iniettività dell esponenziale equivale all identità tan ( + T ) = tan la quale è vera solo per T multiplo intero di. Poiché il seno è periodico di periodo minimo anche la funzione g () = sin () (dove il fattore / è irrilevante dal punto di vista della periodicità) è periodica ma con periodo minimo T g = = (si ricordino i risultati generali precedenti). Poiché la tangente è periodica di periodo minimo siha tan + =tan

6 6 M.GUIDA S.ROLANDO (per ogni per cui tan (/) ha senso) e la funzione h altri non è che h () =tan. Dunque h è periodica di periodo minimo T h = / =. Poiché sin () e cos (5) sono funzioni periodiche di periodi minimi e 5 rispettivamente la funzione k () =sin()+cos(5) è periodica con periodo minimo T k = n doven è il minimo numero naturale tale che n / /5 = n5 N cioè n =. Quindi T k =. Poiché il coseno è periodico di periodo minimo anche la funzione u () =cos è periodica con periodo : dom u = R e u ( +) =cos ( +) =cos = u (). Tale periodo non è però più il suo periodo minimo: in eetti la funzione u si può equivalentemente scrivere u () = cos e viene quindi ad avere lo stesso periodo minimo di cos cheèevidentemente Poiché sin(( + p) )=sin +p + p pare subito dicile che la funzione v () =sin sia periodicaedineetti non lo è. Questo si può ad esempio verificare mostrando che gli infiniti zeri di v non sono equidistanti come invece dovrebbero essere se v fosse periodica: poiché sin =0 = n con n N glizeridiv sono i punti n = n con n N e due zeri consecutivi distano tra loro d ( n+ n )= (n +) n = n + n con n ++ n lim n + n = lim n + n = lim =0. n n n ++ n n n ++ n

7 FUNZIONI 7 ESERCIZIO. Determinare il dominio della funzione f nei seguenti casi: f () = 8 + ln f () = ln + cos + f () =ln cos. Svolgimento. Una radice di indice pari è definita se e solo se il radicando è non negativo; si tratta allora di risolvere la disequazione cioè che ponendo t = diventa 9t 8t + 0. Poiché l equazione associata 9t 8t +=0ha le soluzioni ± = ± 9 = t = 9 t = 7 9 = epoichéilcoeciente di t è positivo la disequazione è risolta dai valori di t esterni all intervallo delle radici t e t : t 9 oppure t. In termini della variabile originaria si ha allora 9 oppure edunquedom f =(+ ] [ +). Mettendo a sistema le condizioni di esistenza di logaritmo (argomento > 0) frazione (denominatore = 0) e radice quadrata (radicando 0) si ottiene >0 ln += 0 ln ln + 0 che è equivalente all unione () >0 >0 ln 0 oppure ln 0 ln +> 0 ln +< 0 (la condizione ln += 0è inclusa nell ultima disequazione di ciascun sistema). Dalle disequazioni del primo sistema si ottiene >0 ln 0 () ln oppure ln e oppure e ln +> 0 ln > > e Alternativamente si può risolvere a parte la disequazione ln 0 studiando il segno del rapporto. ln + ponendo t =ln ladisequazioneln 0 si riconduce alla disequazione di secondo grado t 0 che dà t oppure t

8 8 M.GUIDA S.ROLANDO e dunque e. Dalle disequazioni del secondo sistema si ottiene >0 ln 0 ln e e ln +< 0 ln < < e e dunque e <e. In definitiva risulta cioè dom f = e e e +. e <e oppure e Poiché f ha periodo ci si può limitare a considerare in un qualunque intervallo di ampiezza pari al periodo ad esempio [0 ]; l intero dominio si otterrà poi per periodicità. Mettendo a sistema le condizioni di esistenza di frazione e logaritmo si ottiene cos = 0 cos + cos > 0 che è equivalente all unione () cos +> 0 cos > 0 oppure cos +< 0 cos < 0 (la condizione cos = 0è inclusa nella seconda disequazione di ciascun sistema). Risolviamo il primo dei sistemi (). La prima disequazione diventa cos +> 0 cos> cos > la seconda cos > 0 cos > 0 cos < oppure cos > e quindi il primo dei sistemi () è equivalente all unione cos > cos < oppure cos > cos >. Di tali sistemi il primo è impossibile (perché < ) mentre il secondo si riduce ovviamente a cos >.

9 FUNZIONI 9 Dunque il primo dei sistemi () fornisce () cos > 0 7. cos =cos7 = Per il secondo dei sistemi () da un lato si ha cos +< 0 cos< cos < dall altro cos < 0 cos < 0 < cos < equindi cos < < cos < che prendendo l intersezione delle condizioni si riduce a < cos <. Tale disequazione goniometrica elementare ha la soluzione (5) 5. cos =cos5 = cos =cos = In definitiva unendo la () e la (5) si ottiene che è il dominio della funzione f ristretta all intervallo [0 ]. Ildominiointerodif si ottiene poi per periodicità: dom f = +k 5 +k +k 7 +k +k 9 +k. kz

10 0 M.GUIDA S.ROLANDO ESERCIZIO. Determinare dominio segno e zeri della funzione f nei seguenti casi: + f () = + + f () =ln. Svolgimento. i) Le condizioni da imporre riguardano radicando (non negativo) e denominatore (non nullo): 0 += 0. La disequazione di grado 0 ha la soluzione 0 e quindi si ottiene 0 cioè = < oppure < 0 oppure. Dunque dom f =( ) ( 0] [ +). ii) f () > 0 significa + + > 0 e quindi equivale all unione () + > 0 + < 0 (A) oppure (B). +> 0 +< 0 Si tenga presente che il problema di studiare il segno di f () sottintende che ci si debba comunque limitare a considerare nel dominio di f. (A) Risolviamo separatamente le due disequazioni del sistema prendendo poi l intersezione delle soluzioni. (A) La disequazione irrazionale + > 0 cioè > equivale all unione <0 0 oppure 0 >( ). La seconda disequazione del primo sistema è sempre vera in dom f (dove stiamo considerando ) e quindi tale sistema si riduce alla sola prima disequazione >. Il secondo sistema diventa > + > > che è impossibile. La disequazione irrazionale (A) è quindi risolta per >. (A) Si ha immediatamente >. Dunque il sistema (A) equivale a > con dom f > chehaovviamentelasoluzione ( +). (B) Risolviamo separatamente le due disequazioni del sistema prendendo poi l intersezione delle soluzioni. Alternativamente si può studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore e poi confrontarli.

11 FUNZIONI (B) La disequazione irrazionale + < 0 cioè < equivale al sistema 0 >0. <( ) La prima disequazione è sempre vera in dom f; la seconda dà immediatamente <; la terza diventa < + < <. Si ottiene quindi <. (B) Si ha immediatamente <. Dunque il sistema (B) equivale a < < con dom f chehaovviamentelasoluzione ( ). In definitiva prendendo l unione delle soluzioni dei sistemi (A) e (B) siottiene f () > 0 ( ) ( +) cioè l insieme di positività di f è D f+ =( ) ( +). Per tutti gli altri di dom f si avrà allora f () 0. In particolare si ha f () =0 = che equivale al sistema misto 0 =( ) cioè =. Quindi l insieme degli zeri di f è D f0 = {}. Infine l insieme di negatività di f risulta D f =domf \ (D f+ D f0 )=( 0]. i) Le condizioni di esistenza da imporre riguardano radicando (non negativo) denominatore (non nullo) e logaritmo (argomento positivo): + 0 = 0. + > 0 Risolvendo la disequazione irrazionale fratta + > 0 che equivale all unione +> 0 +< 0 (A) oppure (B) > 0 < 0 la condizione di realtà della radice ( + 0) e quella di non annullamento del denominatore ( = 0) risulteranno automaticamente soddisfatte; è dunque suciente risolvere i sistemi (A) e (B) ed unirne poi le soluzioni.

12 Prendendo l unione si ha allora +> M.GUIDA S.ROLANDO (A) La disequazione irrazionale +< equivale al sistema > < > 0 >0 < oppure > cheèrisoltoda >. Il sistema (A) diventa equivale allora a ( +). (B) La disequazione irrazionale +> equivale all unione <0 0 oppure + 0 +>. Il primo sistema ha ovviamente la soluzione <0 mentre il secondo è risolto da 0 <. ed il sistema (B) diventa < cioè [ ). Unendo infine le soluzioni dei sistemi (A) e (B) siottiene dom f =[ ) ( +). ii) Poiché ln > 0 > la condizione f () > 0 significa + > cioè + che equivale all unione > 0 +> 0 > oppure > 0 + +< 0 < 0. Si tenga presente che il problema di studiare il segno di f () sottintende che ci si debba comunque limitare a considerare nel dominio di f (in cui la condizione + 0 di realtà della radice è già verificata). Il primo sistema diventa allora +< > 0 +< > < > > 0

13 FUNZIONI che è impossibile. Il secondo sistema diventa < + < 0 <+ < > < anch esso impossibile. Dunque la condizione f () > 0 non è mai verificata per dom f. Inoltre f () =0equivale a + = + =0 +=0 da cui = + = += che però non appartiene a dom f. Indefinitiva non può che essere f () < 0 per ogni dom f.

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado.............. 3 Esercizi sulle equazioni di grado superiore

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte.

DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. Tutorial di Barberis Paola - 2009 Definizioni: FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE

Dettagli

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x)

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x) Cos è una funzione? Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama funzione da in una relazione f tale che per ogni x Є X esiste uno ed un solo elemento y Є Y tale che (x,y) Є f. Data la funzione f:x->r,

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Studio di una funzione. Schema esemplificativo

Studio di una funzione. Schema esemplificativo Studio di una funzione Schema esemplificativo Generalità Studiare una funzione significa determinarne le proprietà ovvero Il dominio. Il segno. Gli intervalli in cui cresce o decresce. Minimi e massimi

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

G3. Asintoti e continuità

G3. Asintoti e continuità G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p. Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO

4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO 4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO 4.0. Esponenziale. Nella prima sezione abbiamo definito le potenze con esponente reale. Vediamo ora in dettaglio le proprietà della funzione esponenziale a,

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE. VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,

Dettagli

Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

Chi non risolve esercizi non impara la matematica. .6 esercizi 3 Esercizio 8. Stabilisci se la funzione = 4 è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4 ( ) = 4 = f() La funzione è pari. Vedi le figure 4f e 30f..6 esercizi

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

4. Funzioni elementari

4. Funzioni elementari ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

Funzioni e loro invertibilità

Funzioni e loro invertibilità Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

Formule trigonometriche

Formule trigonometriche Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche v.scudero Una disequazioni algebrica si presenta in una delle quattro forme seguenti: () P( () P( (3) P( () P( essendo P( un polinomio in. Noi studieremo

Dettagli

DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte.

DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte. DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte. Tutorial di Barberis Paola agg 2015 FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE

Dettagli

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE PIANO DI LAVORO DOCENTE Carmela Calò MATERIA Matematica DESTINATARI 4Cl ANNO SCOLASTICO 2013-14 COMPETENZE CONCORDATE CON CONSIGLIO DI CLASSE Si veda la programmazione comune del CdC COMPETENZE CONCORDATE

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA

LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA Anno Scolastico 2014/15 LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA : MATEMATICA PRIMO BIENNIO L asse matematico ha l obiettivo di far acquisire allo studente saperi e competenze

Dettagli

MODULO O VALORE ASSOLUTO

MODULO O VALORE ASSOLUTO Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 1 MODULO O VALORE ASSOLUTO Questo concetto risulta spesso di difficile comprensione. Per capirlo, occorre applicare rigorosamente la definizione di modulo.

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

Liceo linguistico Trento Classi quarte vecchio ordinamento Studio di funzioni (prima parte) Visita il sito: www.raimondovaleri.it

Liceo linguistico Trento Classi quarte vecchio ordinamento Studio di funzioni (prima parte) Visita il sito: www.raimondovaleri.it Liceo linguistico Trento Classi quarte vecchio ordinamento Studio di funzioni (prima parte) Visita il sito: www.raimondovaleri.it Esempio 1 y= f (x)= x 1 x 2 9 a Dominio: D= R { 3,3} Il denominatore deve

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

Programmi a.s. 2014-15

Programmi a.s. 2014-15 Docente BARO MAVIS Classi 4 ENOGASTRONOMIA sezione/i Ce 1. Disequazioni e loro applicazione: Le disequazioni e le loro proprietà; Le disequazioni di primo e secondo grado; Le disequazioni di grado superiore

Dettagli

Programma di MATEMATICA

Programma di MATEMATICA MINISTERO DELL ISTRUZIONE, DELL UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA UFFICIO SCOLASTICO REGIONALE PER IL LAZIO ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Via Silvestri, 301 00164 ROMA - Via Silvestri, 301 Tel. 06/121127660 Fax

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione 0.0. 3.2 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli