Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura

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1 Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio. [ punti] Sia dato il sistema lineare non omogeneo di 4 equazioni e 4 indeterminate: 2X 3X 2 + X 3 X 4 = X + X 2 X 3 2X 4 = 2. X 4X 2 + 6X 3 + X 4 = 3X 2X 2 + 4X 3 3X 4 = 3 (i) Utilizzando il teorema di Rouche -Capelli, stabilire se il sistema e compatibile ed, in caso affermativo, determinare da quanti parametri indipendenti dipende la soluzione generale del sistema. [ punti] (ii) In caso di compatibilita al punto (i), risolvere il sistema scrivendo esplicitamente la soluzione generale del sistema. [ punti] Svolgimento. (i) La matrice dei coefficienti del sistema lineare e A = mentre la matrice completa del sistema e la matrice C = Notiamo che la IV riga e la somma della I e della II. Pertanto la matrice dei coefficienti si riduce ad 2 3 A = mentre la matrice completa si riduce a Notiamo che C = det(a (, 2;, 2)) =

2 2 mentre det(a (, 2, 3;, 2, 3)) = det(a (, 2, 3;, 2, 4)) =. Per il Teorema di Kronecher, si ha r(a ) = 2. Poiche si ha anche det(c (, 2, 3;, 2, )) =, sempre per il Teorema di Kronecher si ha r(a ) = r(c ) = 2. Per il Teorema di Rouche -Capelli il sistema e compatibile e la soluzione generale dipendera da 4 2 = 2 parametri indipendenti. (ii) Per determinare la soluzione generale del sistema, non c e bisogno di applicare a C l algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan. Infatti, poiche r(c ) = 2 e det(a (, 2;, 2)) =, significa che la riga R 3 di C fornisce un equazione del sistema dipendente dalle prime due. In definitiva, andiamo a considerare X 3 = s, X 4 = t s, t R copsicche il sistema di partenza e equivalente al sistema { 2X 3X 2 = s + t, X + X 2 = 2 + s + 2t il quale e risolubile con la formula di Cramer. Si ha ( ) s + t 3 det 2 + s + 2t 2s + 7t + 7 X = = X 3 X 4 X 2 = In definitiva, la soluzione generale del sistema di partenza e : X 7/ 2/ 7/ X 2 = 3/ + s 7/ + t 3/, s, t R. det ( 2 s + t 2 + s + 2t ) = 7s + 3t + 3. Esercizio 2. [ punti] Siano V e W due spazi vettoriali di dimensioni dim(v ) = 3 e dim(w ) = 4, rispettivamente. Sia T : V W l applicazione lineare che, rispetto alle basi e = e, e 2, e 3, per V, e f = f, f 2, f 3, f 4, per W, si rappresenta con la matrice

3 3 A = (i) Calcolare il rango dell applicazione lineare T [2 punti] (ii) Stabilire se T e iniettiva e se T e suriettiva. [2 punti] (iii) Determinare, quando possibile, equazioni cartesiane dei sottospazi Ker(T ) V e Im(T ) W. [3 punti] (iv) Determinare equazioni parametriche (rispetto alla base e) del sottoinsieme T (f 2 + 2f 3 ) V, controimmagine del vettore f 2 + 2f 3 W. [3 punti] Svolgimento: (i) Notiamo che la matrice A ha rango 2. Infatti - la I e la IV riga di A sono proporzionali, - la III riga di A e uguale alla II - I. Ne segue che r(a) = 2. Poiche la nozione di rango di una matrice e indipendente dai cambiamenti di base, abbiamo che r(a) = r(t ) = 2. (ii) Visto che r(t ) = dim(im(t )) = 2, T non puo essere suriettiva. Inoltre, abbiamo dim(ker(t )) = dim(v ) dim(im(t )) = 3 2 = che comporta che T non e nemmeno iniettiva. (iii) La I e la II colonna di A determinano una base di Im(T ). Pertanto, equazioni cartesiane per Im(T ) sono Y 2Y 2 + Y 3 = 2Y Y 4 =, dove le Y i sono le indeterminate in W relative alla scelta di f. Per le equazioni cartesiane di Ker(T ) basta scrivere il sistema omogeneo AX = O. Eliminando le equazioni linarmente dipendenti dalle altre, tale sistema e equivalente a X 2 + X 3 = X X 3 =. (iv) Notiamo che le componenti in base f del vettore f 2 + 2f 3 sono 2 Determinare equazioni parametriche del sottoinsieme dato equivale a trovare la soluzione del sistema AX = 2

4 4 La matrice completa del sistema ha rango 2, pertanto il sistema e compatibile e la soluzione generale dipende da 3-2 = parametro. Precisamente X = t +, X 2 = t, X 3 = t, t R. Esercizio 3. [ punti] Sia e = e, e 2, e 3 la base canonica dello spazio vettoriale R 3 e sia f : R 3 R 3 l operatore lineare definito da: f(e ) = e + e 2 + e 3, f(e 2 e 3 ) =, f(e e 3 ) =. (i) Determinare la matrice A := M e (f) che rappresenta l operatore f in base e. Dedurre il rango di f e la dimensione di Ker(f). [2 punti] (ii) Trovare gli autovalori e gli autospazi di A, specificando per ciascun autovalore la sua molteplicita algebrica e geometrica. [4 punti] (iii) Stabilire se f e diagonalizzabile ed, in caso affermativo, determinare una base b di R 3 in cui la matrice A si diagonalizza, i.e. diventa simile ad una matrice D diagonale. Scrivere la matrice D = M b (f) e la relazione di coniugio tra A e D. [4 punti] Svolgimento: Svolgimento: (i) Notiamo subito che, dalle relazioni che determinano f abbiamo che Pertanto, la matrice A e f(e ) = f(e 2 ) = f(e 3 ) = e + e 2 + e 3. A = che ha quindi rango. In definitiva, dim(im(f)) = e quindi dim(ker(f)) = 2. (ii) Il polinomio caratteristico di A e, P A (λ) = λ 2 (3 λ). Pertanto A ha due autovalori, λ = che e di molteplicita algebrica 2, e λ = 3 che e un autovalore semplice. L autospazio V (f) non e altro che Ker f, le cui equazioni cartesiane sono date da Ax =. Una base per Ker f e costituita dai vettori b =, b 2 = Pertanto la molteplicita geometrica g() = 2 = a(). Poiche l autovalore 3 e semplice, avremo sicuramente a(3) = g(3) =. L autospazio V 3 (f) ha equazioni cartesiane date da (A 3I 3 )x =, che fornisce il sistema X 2 X 3 = 2X X 2 X 3 =.

5 Pertanto una base per V 3 (f) e data da b 3 =. (iii) Poiche tutti gli autovalori distinti di A soddisfano la condizione a(λ) = g(λ), la matrice A e sicuramente diagonalizzabile. Inoltre, visto che gli autovalori e 3 sono distinti, allora b 3 non appartiene a V (f). Quindi la base b cercata e proprio quella formata da b, b 2, b 3. In tale base, abbiamo che D = M b,b (f) = 3 Detta C la matrice cambiamento di base M e,b = dalla base e alla base b, la relazione di coniugio e D = C AC.