Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura

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1 Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura IV Appello corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 3/7/ NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi spazi la MATRICOLA (NO NOME E NO COGNOME) In TIPOLOGIA scrivere Geometria (9 o CFU), Geometria (5 CFU) oppure Geometria (5 CFU) Geometria = svolgere gli Esercizi ), 3), 4) e 6) in ore e 4 min Geometria = svolgere gli Esercizi ), ) e 3) in ore Geometria = svolgere gli Esercizi 4), 5) e 6) in ore AVVISI IMPORTANTI: () GIUSTIFICARE chiaramente i passaggi peculiari e le affermazioni che si danno, motivando le strategie di risoluzione che si scelgono. Senza giustificazioni precise, anche formule giuste non possono essere considerate a punteggio pieno. () CONSEGNARE ESCLUSIVAMENTE i seguenti fogli. Non verranno presi in considerazione i fogli di brutta copia. (3) Una volta iniziato l esame scritto E SEVERAMENTE VIETATO USCIRE DALL AULA, salvo non si consegni l elaborato o non ci si ritiri dalla prova scritta. (4) Non lasciare nessuna parte dell elaborato scritto ne a MATITA (per motivi di sicurezza di conformita all originale consegnato) ne ad INCHIOSTRO ROSSO (utilizzato dal docente per la correzione). MATRICOLA: TIPOLOGIA:

2 SOLUZIONI COMPITO Esercizio. [ punti] Nello spazio vettoriale R 4, munito della base canonica e, siano assegnati i seguenti vettori: w =, w = le cui componenti sono espresse rispetto ad e. Sia, w 3 = W := Lin (w, w, w 3 ). (i) Determinare la dimensione di W, estraendo dal sistema di generatori dato una base b per W. (ii) Determinare equazioni parametriche e cartesiane di W. (iii) Determinare una base di un sottospazio di R 4 supplementare a W. Svolgimento. (i) I vettori dati sono banalmente linearmente dipendenti in R 4. Basta calcolare il rango della matrice A del sistema dei tre vettori dati rispetto ad e. Tuttavia considerando la sottomatrice A(,, ), notiamo che essa ha determinante non nullo. Pertanto dim(w ) = rg(a) = 4, ed una base b per W e ad esempio costituita dai vettori b := w, w. (ii) Imponendo la condizione rg(a A X) =, dove A i e la colonna i-esima di A ed X la colonna delle indeterminate, si ottengono le equazioni cartesiane di W, che sono X + X 3 = = X X + X 4. Risolvendo il sistema lineare, si trovano anche equazioni parametriche per W, cioe x = t, x = s, x 3 = t, x 4 = t + s. (iii) Un sottospazio supplementare a W in R 4 ha dimensione. Una base per tale spazio e quindi costituita ad esempio dai vettori e e e + e che entrambi non soddisfano le equazioni cartesiane di W e sono manifestamente linearmente indipendenti. Esercizio. [ punti] Sia R 3 lo spazio vettoriale euclideo, munito del prodotto scalare standard, e della base canonica e. Sia W R 3 il sottospazio definito dalle equazioni parametriche X = s W : X = s, s, t R. X 3 = t

3 Dopo aver verificato che il vettore v = non appartiene a W, determinare il vettore proiezione ortogonale di v su W. Svolgimento. E ovvio che v non giace in W, dato che le sue componenti non soddisfano le equazioni parametriche di W. Una base per W e data dai vettori b =, b = ortogonale per W. Le proiezioni ortogonali di v su tali vettori sono. Facilmente si vede che tali vettori formano una base π b (v) = / / Pertanto π W (v) = π b (v)+π b (v) =, π b (v) = / / che e proporzionale al vettore normale a W... In effetti v π W (v) = / / 3 Esercizio 3. [ punti] Considerato lo spazio vettoriale R 3, dotato della base canonica e, sia F l operatore lineare su R 3 definito da F (e + e ) = 4e, F (e ) = 7e, F (e + 3e 3 ) = 3e + 5e + 6e 3. (i) Determinare la matrice A := M e (F ), che rappresenta l operatore F in base canonica e, e la dimensione dei sottospazi Ker(F ) e Im(F ). (ii) Determinare gli autovalori di F, specificando per ogni autovalore la molteplicità geometrica ed algebrica. Dedurre se F è diagonalizzabile. (iii) Se F risulta diagonalizzabile, trovare una base v diagonalizzante F, scrivere la matrice M v (F ) che rappresenta l operatore nella base v. (iv) Scrivere la relazione che lega le due matrici A e M v (F ). Svolgimento. (i) Sfruttando la linearita di F, troviamo che A = 7 Poiche le prime righe di A sono indipendenti, ma la I e la III riga sono proporzionali, deduciamo che rg(a) =, quindi dim(im(f )) =. Dal Teorema di Nullita + Rango, si ottiene che dim(ker(f )) = 3 =. (ii) Dalla teoria generale, sappiamo che il polinomio caratteristico di un operatore lineare è invariante rispetto ai cambiamenti di base. Pertanto, per calcolare P F (T ) basta calcolare P A (T ). Questo polinomio è. P A (T ) = T (T )( 7 T ).

4 4 L operatore F ha quindi tre autovalori semplici. Pertanto per ogni autovalore λ di F si ha necessariamente a(λ) = g(λ) =. (iii) Poiche ogni autovalore e semplice, F e sicuramente diagonalizzabile. Determinare l autospazio relativo all autovalore λ = equivale a trovare una base del Ker(F ); pertanto il sistema omogeneo Ax = ha spazio di soluzioni generato dal vettore v = (7,, ). Procedendo in modo analogo, si vanno a risolvere i sistemi lineari Ax = x e Ax = 7 x che forniscono come generatori dei rispettivi spazi di soluzioni i vettori v = (,, ) e v 3 = (,, ). In tale base, la matrice M v (F ) e la matrice diagonale D =. 7 (iv) Se denotiamo con M = M e,v la matrice cambiamento di base dalla base canonica alla base diagonalizzante, si ha D = M AM. Esercizio 4. [ punti] Nello spazio cartesiano R 3, con riferimento cartesiano ortogonale RC(O, E) e con coordinate cartesiane (x, x, x 3 ), sia α R 3 il piano di equazione cartesiana: α : X + X + X 3 =. (i) Scrivere le formule di riflessione rispetto al piano α. (ii) Determinare equazioni parametriche { e cartesiane della retta m R 3, ottenuta X + X X 3 = per riflessione della retta l : rispetto al piano α. X X = (iii) Determinare equazioni cartesiane della superficie Σ ottenuta dalla riflessione rispetto al piano α della sfera S di centro l origine O e raggio 5. Svolgimento. (i) Sia p = (a, b, c) il punto generico di R 3. Un vettore normale al piano α e il vettore n = (,, ). Pertanto la retta r, passante per p e perpendicolare a α, ha equazione parametrica vettoriale e quindi equazioni parametriche scalari x = p + tn, X = a + t, X = b + t, X 3 = c + t. Se imponiamo l intersezione di r con α, si ottiene il valore t = a b c. 6

5 Quindi, se S α (p) denota il simmetrico di p rispetto ad α, esso si ottiene come punto sulla retta r, corrispondente al valore del parametro t, cioe S α (p) = (a, b, c) + a b c (,, ). 3 In definitiva, le formule di simmetria rispetto a α sono S α ((a, b, c)) = ( 3 a 3 b 3 c + 3, 3 a + 3 b 3 c + 3, 3 a 3 b 3 c + 3 (ii) Prendiamo due punti su l, ad esempio R = (,, ) e Q = (,, ). Dalle formule di simmetria precedenti, si ha che S α (R) = ( 3, 3, 3 ) S α(q) = ( 4 3, 3, 5 3 ). Percio, un vettore direttore di m e dato da S α (Q) S α (R) = (,, ). Allora, l equazione parametrica vettoriale di m e data da x = ( 3, 3, 3 ) + t(,, ) e quindi le equazioni parametriche scalari sono X = 3 + t, X = 3 + t, X 3 = 3 + t. Queste determinano le equazioni cartesiane di m che sono, ad esempio m : X X = = X + X X 3. Notiamo che le equazione cartesiane che definiscono m coincidono con quelle che definiscono l. In altre parole l = m. Questa non e una contraddizione. Infatti un vettore direttore di l coincide con il vettore normale a π; in altre parole l era una retta perpendicolare a π, pertanto la riflessa di l rispetto a π e chiaramente l. (iii) Poiche S α e un isometria, la superficie Σ e comunque una sfera di raggio 5. Per determinare l equazione cartesiana e sufficiente quindi determinare il punto ottenuto per riflessione rispetto a α del centro di S. Si ottiene S α (O) = ( 3, 3, 3 ), pertanto l equazione cartesiana di Σ e semplicemente (X 3 ) + (X 3 ) + (X 3 3 ) = 5. 5 ). Esercizio 5. [ punti] Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale standard RC(O; x, x ), si considerino le coniche C, di equazione cartesiana e D, di equazione cartesiana X X + X + X + =, X + 3X X X =. (i) Stabilire se esiste un affinita di R che trasformi C in D, motivando tutte le asserzioni fatte.

6 6 (ii) Stabilire se esiste un isometria di R che trasformi C in D, motivando tutte le asserzioni fatte. Svolgimento: (i) La matrice simmetrica completa associata a C è la matrice à = Otteniamo det(ã) = e det(a) = /4 <. Pertanto C e un iperbole semplicemente degenere. Per la conica D, basta osservare che essa si scrive come. X (X + 3X ) = ; pertanto anche questa e manifestamente un iperbole semplicemente degenere. Questo comporta che C e D sono sicuramente affini, dato che la forma canonica affine di un iperbole semplicemente degenere e univocamente individuata ed e, in opportune coordinate, Z Z =. (ii) Le coniche C e D non possono invece essere congruenti. Per giungere a questa conclusione, si puo applicare l algoritmo di riduzione a forma canonica metrica sia a C che a D e vedere che le forme canoniche metriche vengono differenti. Un metodo piu rapido e invece quello di considerare il cosendo dell angolo formato tra le due rette costituenti sia C che D. Per calcolare il coseno dell angolo θ tra le due rette di D basta considerare che i due vettori direttori sono (, ) e (, 3). Pertanto si ha cos θ =. Per determinare i vettori direttori delle due rette che formano C, basta osservare che la forma quadratica associata alla conica e X X, pertanto i due assi di simmetria di C sono necessariamente ortogonali. Esercizio 6. [ punti] Nello spazio cartesiano R 3, con riferimento cartesiano ortonormale standard RC(O; x, x, x 3 ), sia data la quadrica Σ di equazione cartesiana Σ : X 4X X 3 + X 3 + X X X 3 =. (i) Verificare che Σ e un cilindro, stabilendo che tipo di cilindro quadrico e. (ii) Determinare i parametri direttori delle generatrici del cilindro Σ. (iii) Determinare l equazione cartesiana di una qualsiasi direttrice di Σ passante per l origine. Svolgimento: (i) Con i soliti metodi, si determina che rg(ã) = 3 e rg(a) =, pertanto Σ e un cilindro parabolico. (ii) Il piano tangente in O a Σ ha equazione X X X 3 =. Tagliando Σ con tale piano otteniamo il sistema X X X 3 = = (X X 3 ) che determina la retta r X X X 3 = = (X X 3 )

7 contata con molteplicita. Pertanto r e una generatrice del cilindro e quindi i parametri direttori sono l =, m =, n =. (iii) Per trovare una direttrice di Σ passante per O, si puo prendere il piano normale alla generatrice r passante per O, che ha equazione X + X + X 3 =. In definitiva la direttrice che consideriamo e D : X + X + X 3 = = X 4X X 3 + X 3 + X X X 3. 7