Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio 2016)

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1 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio 206) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Al variare del parametro α R, si considerino la retta { x + y z = r : 2x + αy + z = 0 ed il piano π : x + (α )y + z =.. Studiare la mutua posizione di r e π al variare di α R. 2. Dire per quali valori di α R, il piano π è ortogonale al piano π : x + 2y + z = 5.

2 Esercizio 2. Siano dati i sottospazi di R 4 : 2 4 W = L,, 5 2. Determinare equazioni cartesiane per W. 2. Determinare una base di U. 3. Dire se R 4 è somma diretta di U e W. { x + y z + w = 0, U : x + 2y + z + 2w = 0.

3 Esercizio 3. Sia data la matrice A = Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile su R e in tal caso trovare una matrice invertibile P e un matrice diagonale D, tali che P AP = D.

4 Esercizio 4. Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da 2 T 0 =, T = 0, T = Scrivere la matrice M C,C (T ), dove C è la base canonica di R Stabilire se T è suriettiva Stabilire se 2 appartiene all immagine di T. 2

5 Esame di Geometria - 6 CFU (Appello del 5 febbraio 206) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette 2 r : 0 + t 0, t R, s : t. Determinare un piano ortogonale a s e passante per l origine. 2. Determinare la mutua posizione delle due rette. 3. Scrivere un equazione cartesiana per r. 2 3, t R.

6 Esercizio 2. Considerare la matrice con h R parametro reale. 2 0 A = h 2, h. Stabilire per quali valori di h R la matrice A risulta invertibile. 2. Stabilire se per h = 0 la matrice A diagonalizzabile, giustificando la risposta.

7 Esercizio 3. Sia L : R 4 R 3 l applicazione lineare associata alla matrice A = rispetto alle basi canoniche. 0 0 Calcolare la dimensione e una base per il nucleo e per l immagine di L. L è un isomorfismo, iniettiva, suriettiva? Giustificare le risposte.

8 Esercizio 4. Al variare di k, b R, studiare il seguente sistema lineare, ovvero dire per quali valori dei parametri è risolubile, e per quali la soluzione è unica: x + 2y + kz = 2x + ky + 8z = 4x + 7y + z = b.

9 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 2 marzo A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π : x 2y + 2z = 2, π 2 : z = 5, π 3 : kx y = 3. Determinare i valori del parametro k per cui i tre piani hanno intersezione non vuota.

10 Esercizio 2. Siano date le matrici ( ) 2 3 A =, A =. Calcolare, se possibile, A A T 2 e A 3A 2. ( ) 0 0, A = 2. Stabilire se A, A 2, A 3 sono linearmente indipendenti. ( )

11 Esercizio 3. Si consideri le matrice A = Calcolare gli autovalori di A e una base per gli autospazi corrispondenti. 2. Stabilire, giustificando la risposta, se la matrice A è diagonalizzabile..

12 Esercizio 4. Si consideri l applicazione lineare F : R 3 R 3 definita da x x + x 3 F x 2 x 3 = x 2 + x 3 x + x 2 + 2x 3.. Calcolare una base del nucleo ed una base dell immagine di F. 2. Calcolare la matrice associata a F rispetto alla base B = { 0, partenza e alla base canonica in arrivo. 0, 2 } in

13 Esame di GEOMETRIA - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 206, A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: ([ Esercizio. Siano B =. Calcolare le coordinate di ] [ 0, [ ] 2 ]) e B = ([ rispetto alle base B. 2. Calcolare la matrice di cambiamento di base M(B, B). ] [, 0 ]) due basi di R 2.

14 Esercizio 2. In R 5, si considerino i sottospazi x + x 2 2x 3 + x 4 + 2x 5 = 0, W : x + x 2 x 3 2x 5 = 0, W 2 : x x 2 + x 3 + x 4 = 0, 2x 2x 2 + x 5 = 0.. Determinare una base e la dimensione di W W Determinare una base ortonormale di W.

15 Esercizio 3. Data la matrice A = trovare una matrice ortogonale U ed una matrice diagonale D tale che U T AU = D.

16 Esercizio 4. Sia T : V W una applicazione lineare.. Scrivere la definizione di nucleo di T. 2. Dimostrare che se T è iniettiva allora dim V dim W.

17 Esame di GEOMETRIA - 9 CFU (Appello del 8 Luglio 206) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, si considerino le rette x = + t s : y = t z = 2t. Stabilire la posizione reciproca delle due rette., s 2 : x = + 2t y = z = 2 + t 2. Determinare equazioni cartesiane della retta passante per P = (,, ) T e incidente a s e s 2.

18 Esercizio 2. Siano dati i sottospazi di R 4 : W = L 0 2, 2 3, 0, U = L 2 3, 0 0. Determinare equazioni cartesiane per W. 2. Determinare una base di W e completarla ad una base di R Calcolare dim(u + W ).

19 Esercizio 3. Si consideri l applicazione lineare L : R 3 R 4 definita da x + y z x L y = x y + z x + 3y 3z. z y z. Determinare una base per il nucleo e una base per l immagine di L. 2. Stabilire se il vettore (0, 2, 2, ) T appartiene all immagine di L.

20 Esercizio 4. Sia A una matrice quadrata a coefficienti reali.. Scrivere la definizione di autovalore di A. 2. Sia λ R un autovaolore di A. Definire la moltepliticità algebrica e molteplicità geometrica di λ e scrivere la disuguaglianza che lega le due molteplicità. 3. Stabilire, motivando le risposte, quali tra le seguenti matrici sono invertbili e quali sono simili: ,,

21 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 2 settembre 206) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino i sottospazi vettoriali U, W R 4 dati da U = L 0, 2, 2 0, W = L 0, 2. Determinare equazioni cartesiane per U. 2. Determinare una base di U + W. 0 0, Calcolare la dimensione di U W.

22 Esercizio 2. Sia data la matrice 0 3 A = (a) Stabilire se gli autospazi di A sono fra loro ortogonali. (b) Determinare, se possibile, una matrice P ortogonale e una matrice D diagonale in modo che sia P AP = D.

23 Esercizio 3. Siano date la retta r di equazioni parametriche x r : y = 0 + t, t R, z 2 2 e la retta s di equazioni cartesiane s : { x y + 3z + 7 = 0, x + y + 5z + 3 = 0. Determinare un equazione cartesiana del piano π contenente la retta r e parallelo alla retta s.

24 Esercizio 4. Si consideri la matrice 3 A = 0 3. a) Determinare tutti i vettori b R 3 per i quali il sistema lineare Ax = b risulta essere compatibile (risolubile). b) Si dica che cosa rappresenta geometricamente l insieme di questi vettori.

25 Geometria - 9 CFU (Appello del 2 settembre 206) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. In R 3, si consideri la retta r : { 2x x 3 = 0 x x = 0.. Determinare un equazione cartesiana per il piano π ortogonale a r e passante per P = (, 0, 3). 2. Detto Q il punto di intersezione tra la retta r e il piano π, determinare un equazione parametrica per la retta passante per P e Q.

26 Esercizio 2. Si consideri il sottospazio U di R 3 generato dai vettori 2 0,,. 2. Trovare una base ortogonale di U, rispetto al prodotto scalare canonico di R Trovare una base del complemento ortogonale U, rispetto al prodotto scalare canonico di R 3.

27 Esercizio 3. Sia L : R 4 R 4 l applicazione lineare definita da x x L x 2 x 3 = x 2 + x 3 x 2 + x 3. x 4 x 4. Calcolare la matrice associata ad L rispetto alla base canonica di R Trovare una base di Ker L e stabilire se L è un isomorfismo Stabilire se le immagini tramite L dei vettori e 0 0 sono linearmente indipendenti.

28 Esercizio 4. Data la matrice A = trovare una matrice P ortogonale e una matrice D diagonale tali che D = P AP.,