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1 La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della parabola, che è perpendicolare alla direttrice, passa per il fuoco e interseca la parabola in un punto detto VERTICE; si allarga indefinitamente, nel senso che qualunque retta parallela all asse di simmetria la interseca in uno ed uno solo punto; volge la concavità sempre dalla stessa parte. Una parabola è il luogo dei punti P i equidistanti tra il punto F (fuoco) e la retta L(direttrice). Nel disegno, i segmenti FP i e P i Q i hanno la stessa lunghezza (per i=1,2,3.. ). Fissando nel piano della parabola un sistema di assi cartesiani con asse delle ascisse parallelo alla direttrice, e quindi asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate, l equazione della curva suddetta è quella di una funzione quadratica, cioè di una funzione polinomiale di II grado: y=ax 2 +bx+c. I coefficienti a, b e c del trinomio di II grado a secondo membro dell equazione esplicita soprascritta sono legati alle caratteristiche geometrico-grafiche della parabola: 1. il verso cui è rivolta la concavità (detta anche apertura) dipende dal valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0; 2. la posizione dell asse di simmetria nel piano cartesiano dipende da a e b: l equazione di tale retta parallela all asse y è ;

2 3. l ascissa del vertice dipende da a e b: il suo valore si può ottenere utilizzando la relazione ; 4. l ordinata del vertice dipende da a, b e c e si può ottenere utilizzando la relazione 5. il punto d intersezione della parabola con l asse y dipende da c: il valore dell ordinata di tale punto è proprio c; 6. la mutua posizione di parabola e asse x dipende da a, b e c, più precisamente dalla loro combinazione espressa dal cosiddetto discriminante : se >0 l asse x è secante rispetto alla parabola, se =0 l asse x è tangente rispetto alla parabola, se <0 l asse x è esterno alla parabola. Data l equazione di una parabola, per esempio y = x 2 2x 3, per tracciarne il grafico approssimato si può procedere nel modo seguente: determinare il valore dell ascissa del vertice utilizzando la relazione 3. soprascritta, che nel caso in esame fornisce determinare il valore dell ordinata utilizzando l equazione stessa della parabola con la sostituzione alla variabile x del valore per x V trovato al punto precedente: y V = = 4; è possibile anche utilizzare la relazione 4. del precedente elenco, che applicata al caso in esame diventa

3 disegnare l asse di simmetria tracciando una retta verticale passante per il vertice, la cui equazione sarà quella indicata al punto 2. del precedente elenco; individuare le coordinate di un altro punto fissando a piacere l ascissa, cioè assegnando un valore arbitrario alla variabile x, e determinando la rispettiva ordinata procedendo per sostituzione nell equazione della parabola; individuare graficamente il punto simmetrico, rispetto all asse, di quello precedentemente trovato; ripetere gli ultimi due passaggi più volte a seconda del grado di approssimazione con cui si vuole tracciare la curva. vertice: V(1, 4) asse di simmetria: x = 1 RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE DI II GRADO

4 Ricordando che: i.tutti i punti della parabola di equazione y=ax 2 +bx+c hanno coordinate della forma (x;ax 2 +bx+c): le loro ordinate, infatti, si ottengono sostituendo alla variabile x i valori numerici scelti per le ascisse; ii.quando si risolve una disequazione di II grado quale ax 2 +bx+c>0 si cercano quei valori reali che, sostituiti alla variabile x nell espressione a primo membro, danno un risultato positivo; si deduce che per risolvere una disequazione di II grado del tipo ax 2 +bx+c>0 (o ax 2 +bx+c<0) è possibile procedere graficamente nel modo seguente: 1. disegnando la parabola grafico dell equazione y=ax 2 +bx+c, 2. individuando tutti quei valori di ascissa dei punti della parabola che hanno ordinata positiva (o negativa). Le situazioni che si possono presentare sono le seguenti:

5 dove con x 1 e x 2 sono stati indicati i valori delle ascisse dei punti (eventualmente coincidenti) in cui la parabola interseca l asse x, detti anche ZERI della funzione quadratica. La dimostrazione analitica dei vari casi sopra riportati si ottiene usando la seguente fattorizzazione: y=ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) dove x 1, x 2 sono le soluzioni dell equazione associata ax 2 +bx+c= 0 detti anche zeri della funzione quadratica come è stato fatto nella Dispensa n.1.

6 I diversi casi dipendono dai seguenti elementi: il segno del coefficiente a, che determina se la parabola associata alla disequazione rivolge la concavità verso l alto (a>0) o verso il basso (a<0); il segno del discriminante che determina se il trinomio ha due zeri reali e distinti ( >0), due zeri reali coincidenti ( =0) oppure nessuno zero reale ( <0); il simbolo di disuguaglianza > o < che determina quali punti della parabola si devono prendere in considerazione per individuare le soluzioni: quelli con ordinata positiva se compare il simbolo >, quelli con ordinata negativa se compare il simbolo <. Considerando il caso a>0, sono qui di seguito rappresentate tutte le situazioni possibili:

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