Il punto di intersezione degli assi coordinati prende il nome di origine O degli assi

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1 GEOMETRIA ANALITICA

2 PIANO CARTESIANO Ad ogni punto P del piano corrisponde una coppia di numeri sugli assi cartesiani. La coppia di numeri che indichiamo con (x,) prendono il nome di coordinate cartesiane di P. Viceversa ad ogni coppia di numeri (x,) resta associato un punto P del piano. Il punto di intersezione degli assi coordinati prende il nome di origine O degli assi

3 Distanza di due punti ESEMPIO: ) ( ) x x ( AB B A B A ; 3 ; AB B A

4 Punto medio di un segmento Per trovare le coordinate del punto medio di un segmento basta calcolare la media aritmetica delle ascisse e la media aritmetica delle ordinate. Le formule da utilizzare sono: x M x A x B ; M A B

5 Equazione della retta

6 Rette particolari Equazione generale della retta ax + b + c = 0 asse x = 0 asse x = 0 retta parallela all asse x = k retta parallela all asse x = h retta passante per l origine ax + b = 0

7 Equazione in forma esplicita = mx + q m è detto coefficiente angolare q è l ordinata all origine Nell equazione generale ax + b + c = 0 si ha m = -a/b e q = -c/b

8 Retta passante per un punto P(x 0, 0 ) (fascio di rette) - 0 = m( x - x 0 ) Retta passante per due punti P(x 1, 1 ), Q(x, )

9 Rette parallele e perpendicolari Date due rette =mx+q e =m x+q

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11 La Circonferenza La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato CENTRO. La sua equazione è x ax b c 0 con a b c 0

12 Le coordinate del centro e la lunghezza del raggio sono date da:, b a c b a r C =

13 Caso particolare x²+² = r² Si ha una circonferenza che ha il centro sull origine degli assi C(0,0) e raggio r

14 La Parabola La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti fa un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE La sua equazione è ax bx c con a 0

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16 Casi particolari Al variare dei coefficienti a, b, c dell equazione si hanno parabole con caratteristiche particolari ax parabola con vertice in O ax bx parabola passante per O ax c parabola con vertice sull asse

17 L Ellisse Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F 1 e F (detti fuochi). P F 1 F Quindi per ogni punto P dell ellisse si ha che: PF 1 + PF = costante

18 L Ellisse con fuochi sull asse x A 1 A è l asse maggiore B 1 B 1 B è l asse minore F 1 F è l asse focale A F 1 O F A 1 x B

19 L Ellisse con fuochi sull asse Se i fuochi sono sull asse delle ordinate si avrà un ellisse simile B 1 F 1 A A 1 a quella in figura. O x Evidentemente, l asse maggiore è il segmento B 1 B B F

20 Equazione dell Ellisse L equazione di un ellisse con il centro nell origine e i fuochi sull asse delle ascisse è: b x a b 1 O a x con a > b misure dei semiassi

21 L Ellisse: formule Equazione: Lunghezze degli assi: a e b Vertici: 1 Fuochi ed eccentricità x a b Se a>b F( c;0) con c ( a;0) ( 0; b) Se b>a F( 0; c) con c b a a b e e c a c b

22 L Iperbole Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F 1 e F detti fuochi.

23 Equazione dell Iperbole L equazione dell iperbole con i fuochi sull asse delle ascisse è: x a b 1

24 Equazione dell Iperbole L equazione di un iperbole con i fuochi sull asse delle ordinate è: x a b 1

25 L Iperbole: formule Equazione: x a Lunghezze degli assi: a asse trasverso b asse non trasverso b 1 Coordinate dei vertici: ( -a, 0 ), ( a, 0 ) Coordinate dei fuochi: ( -c, 0 ), ( c, 0 ) c b a

26 Asintoti dell Iperbole Le equazioni dei due asintoti dell iperbole sono date b a x da Sono due rette passanti per O

27 L Iperbole equilatera Se a = b si ha l iperbole equilatera di equazione x a con asintoti x Sono le bisettrici dei quadranti

28 L Iperbole equilatera Se si esegue una rotazione di assi di 45 in senso antiorario si ottiene l iperbole equilatera di equazione x k con asintoti x 0 0 sono gli assi cartesiani N.B: tale iperbole è una funzione