Formulario di Geometria Analitica

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1 Formulario di Geometria Analitica Indice degli argomenti Retta Circonferenza Paraola Ellisse Iperole 1

2 Retta Equazione della retta in forma implicita ax + y + c = 0 a = 0 x = 0 y Se retta parallela all'asse, se retta parallela all'asse. Equazione della retta in forma esplicita y = mx + q dove m chiamasi COEFFICIENTE ANGOLARE. Coefficiente angolare della retta in forma implicita a m =, 0 x m = 0 Se la retta è parallela all'asse,, se invece è parallela all'asse, (in questo caso diremo che non esiste. m = Coefficiente angolare dati due punti della retta P1( x1, y1 (, m = dove e P2 x2 y2 sono i punti suddetti. y2 x2 y1 x1 y Angolo formato dalla retta con l'asse dato x con coefficiente angolare α = arctan m Angolo formato da due rette con coefficienti angolare dati m1 m2 α = arctan( 1 + m1m2 dove m1 ed m2 sono rispettivamente i coefficienti angolari della prima e della seconda retta. Condizione di parallellismo tra due rette m1 Condizione di perpendicolarità tra due rette = m2 2

3 m1 = 1 m2 Equazione della retta passante per due punti dove e P2 x2 y2 sono i punti suddetti. Equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare dato dove Distanza retta punto dove x x1 x2 x1 P1( x1, y1 (, P1( x0, y0 P1( x0, y0 Distanza tra due punti y y1 y2 y1 =, e è il punto suddetto. è il punto suddetto. y y0 = m(x x0 d = a x 0 + y0 + c a x1 x2 y1 y2 d = ( x1 x2 2 + ( y1 y2 2 Punto medio M( x1 + x2 y1 + y2, 2 2 Fascio proprio di rette (rette che hanno un solo punto in comune Il coefficiente angolare varia al variare del paramentro. Fascio improprio di rette (fascio di rette parallele q y y c = m(k(x x c y = mx + q(k Stavolta, il termine varia al variare di. k k 3

4 Circonferenza Equazione della circonferenza in forma standard C(, x c y c (x x c 2 + (y y c 2 = r 2 dove è il centro della circonferenza ed è il raggio. Equazione della circonferenza in forma canonica r dove x 2 + y 2 + ax + y + c = 0 a = 2 x c, = 2 y c, c = x 2 c + y 2 c r 2 Coordinate del centro Lunghezza del raggio a C(, 2 2 r = 1 a + 4c CIRCONFERENZA REALE: + 4c > 0 se a 2 2. In questo caso infiniti sono i punti che appartengono al luogo da essa individuato. CIRCONFERENZA DEGENERE: + 4c = 0 se a 2 2. In questo caso solo un punto appartiene al luogo da essa individuato, ovvero il centro. CIRCONFERENZA NON REALE: + 4c < 0 se a 2 2. In questo caso non esistono punti che appartengono al luogo da essa individuato. Equazione asse radicale di due circonferenze Date le circonferenze 4

5 l'equazione dell'asse radicale è: C : x 2 + y 2 + a1x + 1y + c1 = 0 C : x 2 + y 2 + a2x + 2y + c2 = 0 ( x + ( y + = 0 a1 a2 1 2 c1 c2 5

6 Paraola Paraola con asse di simmetria verticale Paraola con asse di simmetria orizzontale Equazione Vertice Fuoco Asse simmetria Direttrice Equazione con vertice dato y = a x 2 + x + c x = a y 2 + y + c V (, Δ 4a 1Δ Δ V (, F (, 4a F ( 4a, x = y = 1+Δ 4a y 4a 1Δ y = x = 1+Δ 4a y v = a(x x v 2 x x v = a(y y v 2 6

7 Ellisse Equazione dell'ellisse in forma generale a x 2 + y 2 + cxy + dx + ey + f = 0 Equazione dell'ellisse in forma canonica C(, (x x c 2 (y y + c 2 = 1 a 2 2 x c y c a dove è il centro dell'ellisse e e rappresentano rispettivamente le misure del semiasse orizzontale e del semiasse verticale. Per comodità considereremo l'ellisse centrata nell'origine: x 2 y 2 a = 1 Coordinate dei fuochi a 2 2 F1(c,0 F2(c,0 Se > { con c = a 2 2 F1(0,c F2(0, c Se < { con c = a a 2 Coordinate dei quattro vertici V1(a, 0 V2(a, 0, V3(0, V3(0, Lunghezza dell'asse maggiore e minore Le lunghezze degli assi sono rispettivamente e. 2 Eccentricità e ={ c a c se a 2 > 2 se a 2 < 2 7

8 Iperole Condizione di esistenza del luogo geometrico Siano F1 ed F2 i due fuochi e P un punto generico del luogo. Indichiamo con 2c la distanza tra i due fuochi (DISTANZA FOCALE e con la differenza costante delle distanze dei punti dell'iperole dai fuochi. La condizione affichè il luogo esista è che sia: PF1 PF2 < < 2c F1F2 Condizione di appartenenza di un punto propri assi (con fuochi sugli assi PF1 PF2 = P(x, y all'iperole riferita ai Iperole che interseca l'asse x Iperole che interseca l'asse y Equazione canonica con centro in Vertici reali Asintoti (0,0 Eccentricità a 2 2 x = 1 2 = a 2 x 2 y 2 a 2 V1(a, 0 V2 (a, 0 (0, (0, y = ± x a y 2 V1 y = ± x a Fuochi (c = a F1(c, 0 F2 (c, 0 F1(0, c F2(0, c (c = + e = c a e = c V2 Equazione iperole non centrata nell'origine Detto C(, x c y c il centro dell'iperole, si ha: se a 2 > 2 (xx c 2 = 1 Iperole equilatera a 2 (yy c 2 se < = 1 a 2 2 (yy c 2 2 (xx c 2 2 a 2 Si ottiene quando a =. La lunghezza del semiasse trasverso sarà: 8

9 a = 2 c Iperole equilatera Iperole equilatera con c con c > 0 < 0 Equazione canonica con centro in (0,0 Fuochi Vertici xy = c F1 F2 V1 V2 ( 2c, 2c ( 2c, 2c ( c, c ( c, c xy = c F1 F2 V1 V2 ( 2(c, 2(c ( 2(c, 2(c ( (c, (c ( (c, (c 9