3^C PNI MATEMATICA compito n a. Esprimi y in funzione di x, imponendo le opportune condizioni di esistenza; disegna la curva g

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1 3^C PNI MATEMATICA compito n Considera la relazione 1 x 1 y =1. a. Esprimi y in funzione di x, imponendo le opportune condizioni di esistenza; disegna la curva g descritta dall'equazione e descrivine le caratteristiche principali (genere, centro e assi di simmetria, asintoti, vertici, eccentricità). b. Determina per quali valori del parametro a le rette del fascio x y=a sono secanti o tangenti alla curva g. c. Scrivi l'equazione della circonferenza k di centro C 1,1 che intercetta sulla retta r di equazione x y=4 una corda AB di lunghezza AB=2 2. d. Calcola le aree delle due regioni di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta r. e. Determina l'equazione della circonferenza concentrica a k e tangente a g. 2. Un'ellisse l ed un'iperbole m hanno in comune i fuochi F 1 4,0 ed F 2 4,0 e il semiasse giacente sull'asse delle ordinate: b=3. a. Determina le equazioni delle due curve, disegnale e descrivine le caratteristiche principali. b. Determina i punti di intersezione delle due curve. c. Detto P il punto di intersezione che si trova nel primo quadrante, verifica che le tangenti alle due curve passanti per P sono perpendicolari. (I calcoli risultano più rapidi con il famigerato metodo di sdoppiamento ). 3. Calcola la semidistanza focale c dell'iperbole di equazione y= 2 x 1 x 1.

2 3^C - Correzione compito n 5 1. a. 1 x 1 =1 x y=xy x 1 y=x y= x y x 1 Si tratta di una funzione omografica (iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi cartesiani); centro di simmetria 1,1 ; assi di simmetria le rette di equazione y=x e y= x 2 ; asintoti x=1 e y=1 ; vertici 2, 2 e 0,0 (quest'ultimo da escludere per le C.E.); eccentricità e= 2, in quanto l'iperbole è equilatera. b. Poiché le rette del fascio sono perpendicolari ad uno degli assi di simmetria, si hanno rette tangenti in corrispondenza del passaggio per i vertici, ovvero per a=0 (da escludere per le C.E.) e per a=4. Si hanno quindi rette secanti per a 0 a 4. con le C.E x 0 x 1; y 0. Lo stesso risultato si può ottenere mettendo a sistema l'equazione del fascio e quella della curva e imponendo la condizione 0 : k S 2 A C g H B S 1 r y= x a x a x 1 =x ax a=0 =a 2 4 a 0 a 0 a 4. c. La distanza del centro C dalla retta r è: CH = = 2. Poiché H deve essere il punto medio della corda cercata, il raggio misura: r= CH 2 AH 2 =2. L'equazione della circonferenza è quindi: x 1 2 y 1 2 =4 y 2 2 x 2 y 2=0. Volendo utilizzare il metodo analitico, si imposta il sistema: { x 1 2 y 1 2 =r x 10 r 2 =0 x= 2 r 2 4. y=4 x Imponiamo AB= x 1 m 2 =2 2 2 r 2 4=4 r=2. d. { x2 y 2 2 x 2 y 2=0 4 x 3=0 A 1,3 ; B 3,1. y=4 x Osserviamo che i raggi AC e BC sono perpendicolari, e quindi che l'arco AB è un quarto di circonferenza. Se indichiamo con S 1 l'area del minore dei segmenti circolari di base AB, essa è la differenza tra l'area del settore circolare delimitato dall'angolo al centro ACB e l'area del triangolo ABC: S 1 = = 2. L'area del secondo segmento circolare è la differenza tra l'area del cerchio ed S 1 : S 2 = =3 2. e. Poiché entrambe le curve sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo

3 quadrante, anche i loro punti di intersezione sono simmetrici rispetto alla stessa retta. Si ha tangenza quando i punti di intersezione appartengono alla bisettrice, ovvero quando la circonferenza passa per i vertici dell'iperbole, il che avviene per r= 2. La circonferenza 2. cercata ha quindi equazione: x 1 2 y 1 2 = 2 y 2 2 x 2 y=0. (In questo caso, la risoluzione analitica condurrebbe ad un sistema di quarto grado particolarmente laborioso da risolvere). a. Poiché b=3 e c=4, per l'ellisse avremo: a 2 =b 2 c 2 =25, mentre per l'iperbole: a 2 =c 2 b 2 =7. Le rispettive equazioni sono quindi: 25 y2 x2 =1 e 9 7 y2 9 =1. Entrambe hanno centro di simmetria coincidente con l'origine degli assi e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani; vertici ±5,0 e l m P 0,±3 per l'ellisse, ± 7,0 per l'iperbole; asintoti di equazione y=± 3 7 x per l'iperbole; eccentricità e= c a = 4 5 per l'ellisse e e= c a = 4 7 b. Sommando membro a membro le due equazioni, ottengo: per l'iperbole. 25 x2 7 =2 x2 = x=±5 7 e, sostituendo in una delle due equazioni: 4 y 2 9 = y2 = y=±9 4 dei segni, ottengo le coordinate dei punti di intersezione. c. La tangente all'ellisse in P ha equazione: la tangente all'iperbole in P ha equazione: poiché m 1 m 2 = 1, le due tangenti in P sono perpendicolari.. Considerando tutte e quattro le possibili combinazioni xx 0 a yy 0 7 =1 2 2 b 20 x 1 4 y=1 m = xx 0 a 2 yy 0 b 2 = x 1 9 y=1 m 2= 5 7 ; 3. L'iperbole data ha centro C 1,2. Il centro viene portato nell'origine dalla traslazione di equazioni { x '=x 1 y ' = y 2 x=x ' 1 { y= y ' 2 2 x ' 1 1 y ' 2= x ' 1 1 Quindi: c= a 2 b 2 = 6 6=2 3., che trasforma l'equazione in: x ' y '=3. Sappiamo che k=3= a2 2 a2 =6. ;

4 3^A - MATEMATICA compito n Indica con O l'origine degli assi cartesiani. a. Dati i punti A 3,0, B 3,0, determina il luogo l dei punti del piano tali che la somma delle loro distanze da A e da B è uguale a 4. b. Determina il luogo g dei punti del piano tali che la loro distanza da O è uguale a 1. c. Presi due punti P e Q del primo quadrante tali che P, Q, y P = y Q, verifica che la tangente in P a l e la tangente in Q a g intersecano l'asse delle ordinate nello stesso punto T. 2. Considera l'iperbole equilatera m di equazione xy=k. a. Determina l'equazione della retta r tangente a m nel suo punto generico P. b. Detti A e B i punti in cui la retta r interseca gli assi cartesiani, verifica che P è il punto medio del segmento AB. c. Calcola l'area del triangolo OAB. Cosa osservi? 3. La mosca che abbiamo conosciuto in un precedente compito di L fisica parte in volo all'istante t=0 dall'origine del piano cartesiano con velocità di componenti v x =2, v y =1 e viene illuminata da una lampadina posta nel punto L 0,10. a. Scrivi le leggi orarie x= f t e y=g t che descrivono il moto della mosca nel piano e la legge oraria x=h t che M descrive il moto dell'ombra della mosca sull'asse x. O b. Traccia il grafico posizione-tempo descritto dalla legge oraria x=h t (prescindendo dalle limitazioni su t e ponendo il tempo t sulle ascisse e la posizione x sulle ordinate). Descrivi le caratteristiche della curva ottenuta. c. Evidenzia la parte del grafico che corrisponde alle limitazioni su t del problema. d. Calcola la velocità dell'ombra nell'istante t=5.

5 3^A - Correzione compito n 5 1. a. Il luogo l è l'ellisse avente fuochi A e B e asse maggiore di misura 4. Quindi: c= 3, a=2, b= a 2 c 2 =1. T Equazione l: /4 y 2 =1. b. Il luogo g è la circonferenza di centro O e raggio 1: y 2 =1. c. Poniamo y P = y Q =t. Quindi: x P =2 1 t 2, x Q = 1 t 2. Q g P l La tangente in P a l ha equazione x P x Essa interseca l'asse y per x=0 y T =1/t. a 2 y P y b 2 = t 2 x ty=1. Il raggio OQ ha coefficiente angolare: m r = y Q = t. x Q 1 t 2 2. La tangente in Q a g è perpendicolare al raggio: y t= 1 t 2 x 1 t 2. t Essa interseca l'asse y per: x=0 y T =t 1 t 2 = 1 c.v.d. t t a. Poniamo P t, k t. La tangente in P ha coefficiente angolare m tg = k x P 2. L'equazione della tangente r è quindi: y k t = k t 2 x t. B b. y=0 k t 2 x t = k t x t=t x=2t A 2t,0 ; x=0 y k t = k t y= 2 k t B 0, 2 k t. Quindi P è il punto medio del segmento AB c.v.d. P c. Area OAB = 1 2 OA OB= t 2 k t =2 k. Osserviamo che l'area del triangolo è costante, ovvero dipende solo dall'iperbole considerata, e non dalla scelta del punto P su di essa. A m

6 3. a. Leggi orarie (equazioni parametriche della traiettoria): x M =2t, y M =t. La retta LM rappresenta il raggio di luce che illumina la mosca ad un certo istante: m LM = y x = t 10 2t, q=10 ; quindi l'equazione di LM è y= t 10 2t x 10. L'ombra è data dall'intersezione della retta LM con l'asse x: b. La curva ottenuta è il grafico di una funzione omogafica (iperbole equilatera avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani) di centro C 10, 20, asintoti di equazione x=10, y= 20, che interseca gli assi cartesiani nell'origine e che attraverso una traslazione può essere riportata alla forma k 0. xy=k con y=0 x O = 20t 10 t c. La legge oraria del moto dell'ombra è valida per 0 t 10, in quanto per t 0 la mosca non ha ancora preso il volo, e per t 10 essa ha raggiunto un'altezza maggiore o uguale di quella della lampadina, e quindi non proietta più la sua ombra sull'asse x. La parte di grafico corrispondente è quella evidenziata in rosso. d. La velocità istantanea è la pendenza del grafico posizione-tempo nell'istante dato. Per t=5 x O = =20. La retta generica per P 5,20 ha equazione: x 20=m t 5 x=mt 5 m 20. Sostituiamo nell'equazione x=h t : 20 t 10 t =mt 5 m t=10 mt 50 m 200 mt 2 5 mt 20 t mt m t 50 m 200=0. Imponiamo la condizione di tangenza =0 : m 2 4 m 50 m 200 = m 225 m m m=0 25 m m 1600=0 m 2 16 m 64=0 m 8 2 =0 m=8. Quindi nell'istante t=5 la velocità dell'ombra è v O =8. x. t

7 3^F - MATEMATICA compito n Data la curva G di equazione 5 9 y 2 45=0 : a. descrivine le caratteristiche e tracciane il grafico; b. trova e disegna le due parabole aventi per direttrice l'asse delle ordinate e per fuoco uno dei fuochi della curva G (per abbreviare i calcoli, puoi utilizzare una simmetria); c. calcola il perimetro del rettangolo avente come vertici i punti in cui le due parabole intersecano la curva G (puoi utilizzare le simmetrie). 2. Data la curva L di equazione 2 y 2 4=0 : a. descrivine le caratteristiche e tracciane il grafico; b. determina il punto A in cui la curva L interseca il semiasse positivo delle ascisse e la retta t tangente in A alla curva L; c. conduci per l'origine una retta generica r di coefficiente angolare positivo, e calcola le coordinate dei punti B di intersezione tra le rette r e t e C (nel primo quadrante) di intersezione tra la retta r e la curva L; d. conduci la retta n passante per il punto C e perpendicolare alla retta r e calcola le coordinate del punto D in cui la retta n interseca l'asse delle ascisse; e. determina il coefficiente angolare della retta r in modo che il rapporto tra le aree del triangolo ODC e del triangolo OAB sia uguale a 5/2. 3. Considera la curva S di equazione y= 2 x 1 1 x : a. descrivine le principali caratteristiche (compresi i vertici) e tracciane il grafico; b. determina l equazione della retta t tangente alla curva S nel suo punto P di ascissa nulla.

8 3^F - Correzione compito n 5 1. Scriviamo l'equazione in forma canonica: 9 y2 5 =1. a. La curva G è un'ellisse avente centro nell'origine degli assi e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani; semiassi a=3, b= 5 ; semidistanza G focale c= a 2 b 2 =2 ; fuochi F 12 ±2,0 ; vertici ±3,0, 0± 5 ; eccentricità e=c/a=2/3 1. b. Una delle parabole cercate è il luogo dei punti equidistanti dall'asse y e dal fuoco F 2 2,0. Imponiamo: Pd =PF x = x 2 2 y 2 = 4 x 4 y 2 x=1/4 y 2 1. La seconda parabola ha equazione: x= 1/4 y 2 1 (per simmetria rispetto asse y). c. { 5 x2 9 y 2 45=0 y 2 =4 x x 4 45= =0 x= 18± = 18± x 1 = 9 5 ; = 9. x 1 = 9 5 y2 = =16 5 y=± 4 5 ; x =9 2 y2 = Punti intersezione: 9 5,± 4 5 ; 9 5,± 4 5 (per simmetria rispetto asse y). 2 p rett = = Scriviamo l'equazione in forma canonica: 4 y2 2 =1. a. La curva L è un'iperbole avente centro nell'origine degli assi e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani; semiassi a=2, b= 2 ; semidistanza focale c= a 2 b 2 = 6 ; fuochi F 12 ± 6,0 ; vertici ±2,0 ; eccentricità e=c/a= 6/2 1 ; asintoti di equazione y=± b a x=± 2 2 x. b. y=0 4=0 x=±2 A 2,0. Equazione retta t: x=2. r B A n C L D c. Equazione retta r: y=mx con m 0. { y=mx x=2 B 2, 2 m.

9 { x2 2 y 2 4=0 y=mx 2 m 2 2 =4 x= 1 2 m 2 2 C 1 2 m, 2 m m. 2 La condizione di esistenza 1 2 m 2 0 1/ 2 m 1/ 2 esprime il fatto che, per avere un punto di intersezione C, la retta r deve essere compresa tra gli asintoti dell'iperbole. d. Equazione retta n: y 2 m 1 2 m 2 = 1 m x m 2. 2 y=0 x 1 2 m = 2 m m 2 D 2 m m,0. 2 e. Area ODC = 1 2 x y = m D C 2 2 m2 1 2 m m = 2 m m 2 1. Area m 2 OAB = 1 2 x y =2 m. A B A ODC = 5 2 A OAB 2 m m m 2 = m 2 m2 2=5 10 m 2 m 2 = 1 4 m= 1 2. Abbiamo potuto dividere entrambi i membri dell'equazione per m perché sapevamo dal testo che m a. Si tratta di una funzione omografica, avente come grafico un'iperbole equilatera avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani; centro di simmetria: C d /c,c/a 1, 2 ; eq. asintoti: x=1, y= 2 ; int. assi: 1/2,0 ; P 0,1 ; eccentricità e= 2 (essendo un'iperbole equilatera); eq. assi di simmetria: y 2=± x 1 y=x 3 ; y= x 1 ; { 2 x 1 y= vertici: 1 x y= x 1 2 x 1= 1 2 x 2=0 { x=1± 3 y= 2 3. L'altro asse di simmetria (non trasverso) non interseca l'iperbole. b. Equazione retta generica per P: y=mx 1. t P C S { y= 2 x 1 1 x y=mx 1 2 x 1= 1 x mx 1 =mx 1 m x m 3 m x=0 x 1 =0 ; =m 3. Le due soluzioni coincidono per m=3 (anche ponendo =0 ). Equazione tangente t: y=3 x 1.

10 Liceo Scientifico G. Marconi MATEMATICA Prova parallela classi terze - a.s La prova consiste di 24 quesiti. Ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E. Una sola di queste risposte è corretta; le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Per ciascuno dei quesiti, trascrivi la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto Non è consentito utilizzare bianchetto, lapis, penne di colore diverso dal nero o dal blu. Riporta il tuo nome e cognome su ogni pagina del questionario. Il tempo a disposizione è di 60 minuti. 1. La disequazione 0 è verificata: a. solo per x 0 b. solo per x 0 c. solo per x=0 d. per qualunque valore reale di x e. per nessun valore reale di x 2. La disequazione x2 1 0 è verificata: 1 a. per tutti i valori reali di x b. per tutti i valori di x minori di -1 o maggiori di 1 c. per tutti i valori di x compresi tra -1 e 1 d. per tutti i valori di x diversi da -1 e 1 e. per tutti i valori di x maggiori di 1 3. Il sistema di disequazioni { x a. è sempre verificato b. non è mai verificato Nome Classe

11 c. è verificato per x 3 d. è verificato per x 2 x 2 e. è verificato per x 3 x 3 4. La disequazione 10 x 20 1 : a. è sempre verificata b. non è mai verificata c. è verificata per x 3 x 7 d. è verificata per 3 x 7 e. è verificata per x 3 x x La disequazione x x : a. è verificata per x 0 b. non è mai verificata c. è sempre verificata d. è verificata per 0 x 1 e. è verificata per x 1 6. Qual è la funzione inversa della funzione f :R R, definita da f x = 4? a. y=± x 4 b. y= x 4 c. y= x 4 d. y= 4 e. La funzione non ha inversa 7. La retta passante per i punti A 0, 2 e B 3,7 ha equazione: a. y=3 x 7 b. y= 5 3 x 2 c. y=3 x 2 d. y= 3 x 2 e. y= 5 3 x 7 8. La distanza del punto P 1, 1 dalla retta di equazione 2 x y 2=0 è: Nome Classe

12 a. 2/ 5 b. 5 c. 1/ 5 d. 3 e. 2/ 3 9. L'asse del segmento di estremi A 1, 1 e B 0,1 ha equazione: a. y 2 x 1=0 b. 4 y 2 x 1=0 c. 4 y x 2=0 d. y x 4=0 e. y x 4=0 10.Il luogo dei punti del piano cartesiano che verificano l'equazione 4=0 è: a. una circonferenza b. una parabola c. l'unione di due rette parallele d. l'intersezione di due rette e. il punto di coordinate 2, 2 11.L'equazione 1 y 2 4 =0 nel piano cartesiano determina: a. un'iperbole b. una circonferenza c. quattro punti d. due punti e. l'insieme vuoto 12.La circonferenza con diametro di estremi A 2,1 e B 4,1 ha equazione: a. y 2 2 y 12=0 b. y 2 2 y 36=0 c. y 2 2 x 2 y 7=0 d. y 2 2 x 2 y 36=0 e. y 2 2 x 2 y 34=0 Nome Classe

13 13.La tangente alla circonferenza di equazione a. non esiste b. è l'asse x c. è l'asse y d. è la bisettrice del I e III quadrante e. è la bisettrice del II e IV quadrante y 2 3 x 3 y=0 nell'origine: 14.Le circonferenze: : y 2 2 x 4=0 e : y 2 2 x=0 : a. sono secanti b. sono tangenti c. G è interna a L d. L è interna a G e. sono esterne 15.La parabola con vertice nell'origine e fuoco F 2,0 ha equazione: a. x= 1 8 y2 b. x= 8 y 2 c. x= 1 4 y2 d. x= 4 y 2 e. x= 2 y 2 16.La retta che interseca la parabola a. y=3 x 2 b. y=x 3 c. y= x 3 d. y=2 x 3 e. y=2 x 3 y= 3 nei punti di ascissa 0 e 2 ha equazione: 17.La tangente alla parabola y=4 2 x nel punto P 1/2,0 ha equazione: a. y=2 x 1 b. y= 1 2 x 1 c. y=1 2 x Nome Classe

14 d. y=2 x 1 e. y= 1 2 x 1 18.L'ellisse avente un fuoco F 12,0 e un vertice A 13,0 ha equazione: a. b. c. d. e. 13 y2 5 =1 5 y2 13 =1 169 y2 25 =1 169 y2 25 =1 25 y2 169 =1 19.Il centro di simmetria dell'ellisse di equazione 4 y 2 2 x 3=0 è: a. C 1, 2 b. C 1, 1 c. C 2, 1 d. C 1,0 e. C 1, 2 20.L'iperbole di equazione a. 0,5 b. 3,0 c. 5,0 d. 5,0 e. 0, 5 y2 =1 ha un fuoco in: 4 21.L'iperbole di equazione a. y=±2 x b. y=±x/2 c. y=± 2 x x2 5 y2 =1 ha asintoti: 10 Nome Classe

15 d. y=±x/ 2 e. y=±5 x 22.La funzione omografica a. x= 5 e y=3 b. x= 2 e y=3 c. x= 3 e y=1 d. x=3/2 e y=5/2 e. x= 1/3 e y=2 y= 3 x 5 x 2 ha asintoti: 23.La trasformazione che manda la circonferenza y 2 =1 nell'ellisse x2 3 y2 =1 ha equazioni: 4 a. { x '=2 x y '= 3 y b. { x '=x/2 y '= 3 y c. { x '= 3 x y '=2 y d. { x '=x/ 3 y '=2 y e. { x '=x/2 y '= y/ 3 24.La circonferenza di equazione a. c=2 b. c=3 c. c=4 d. c=7 e. c=9 y 2 4 x 6 y c=0 è tangente all'asse x se: Nome Classe

16 Prova parallela classi terze - a.s Risposte corrette e b b a d e c c b c c c e d a e d c d d c b c c

17 3^C PNI MATEMATICA compito n Dati i punti A 2,0, B 0, 4, sia P x, y un punto tale che x 0 ed y 0, e siano C, D, E, F rispettivamente i punti medi dei lati OA, AP, PB, BO del quadrilatero OAPB. a. Quali posizioni può occupare P perché il quadrilatero OAPB degeneri in un triangolo? b. Dimostra, sia per via analitica che sintetica, che il quadrilatero CDEF è un parallelogrammo. c. Quali posizioni può occupare P perché il quadrilatero CDEF sia un rettangolo? d. Quali posizioni può occupare P perché il quadrilatero CDEF sia un rombo? e. Quali sono le coordinate di P quando CDEF è un quadrato? f. Nel caso in cui P, oltre a rispettare le condizioni assegnate inizialmente, appartenga alla retta r di equazione y=4 x, determina per quale posizione di P l'area del quadrato di lato CD è uguale all'area del parallelogrammo CDEF. 2. Considera un punto generico Q della parabola l di equazione y=. Determina l'equazione della retta t tangente a l in Q. La retta t interseca l'asse delle ascisse nel punto A. Indica con P il punto di intersezione della retta p, passante per A e parallela all'asse delle ordinate, e della retta n, passante per Q e normale a l (una retta si dice normale ad una curva in un suo punto se è perpendicolare alla tangente alla curva in quel punto). Determina l'equazione del luogo geometrico g, descritto dal punto P al variare di Q su l. Calcola il rapporto m r /m t, dove m r è il coefficiente angolare della retta r, tangente alla curva g in P, ed m t è il coefficiente angolare della retta t, tangente alla parabola l in Q. 3. Data una retta r ed un punto F non appartenente ad essa, prendi un punto Q su r. Indica con P il punto di intersezione tra l'asse di FQ e la perpendicolare ad r passante per Q. Dimostra, sia con metodo sintetico che analitico, che, al variare di Q su r, il punto P descrive una parabola. Dimostra poi, solo con metodo analitico, che l'asse di FQ è tangente alla parabola.

18 3^C - Correzione compito n 6 1. Dalla formula del punto medio: C 1,0, D x 2 2, y 2, E, y 4, F 0, 2. 2 y= 2 x 4 a. OAPB degenera in un triangolo se P appartiene al segmento AB: {. 0 x 2 b. Per via analitica: m CD =m EF = y x CD EF ; m DE=m CF = 2 DE CF. Per via sintetica, è sufficiente applicare ai triangoli OPA e OPB, oppure PAB e OAB, il teorema per cui il segmento congiungente i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. c. CDEF è un rettangolo se: CD DE m CD = 1 m DE y= d. CDEF è un rombo se: con x 0. P(x,y) E(x/2,y/2+2) B(0,4) D(x/2+1,y/2) F(0,2) H O(0,0) C(1,0) A(2,0) CD=CF x2 4 y2 4 = 5 x2 y 2 =20 con x 0 e y 0. Lo stesso risultato si ottiene imponendo che le diagonali siano perpendicolari. e. CDEF è un quadrato se: { y=x/2 y 2 =20 f. Quando P appartiene ad r: CD 2 = x2 4 y2 4 = x2, da cui ottengo P 4, x 2 4 = x2 4 x 8 2 Poiché la retta FC ha equazione 2 x y 2=0, la distanza del punto D dalla retta FC è: x 2 y/2 2 DH = = 5 x y/2 5 che, quando P appartiene ad r, diventa: L'area del parallelogrammo CDEF è: FC DH = 5 2 x/2 = 4 x 5 2 Impongo: 4 x 8=x 4 5 x 4=0 x 1 =1 ; =4... DH = x La soluzione P 1 1,3 è accettabile, mentre P 2 4,0 non verifica le condizioni date. 2. Poniamo Q t,t 2. Per la formula di sdoppiamento, il coefficiente angolare della tangente t è m t =2 ax 0 b=2t, quindi l'equazione di t risulta: y t 2 =2t x t y=2tx t 2. La retta t interseca l'asse delle ascisse in A t /2,0, quindi l'equazione della retta p è x=t /2. L'equazione della normale n è: y t 2 = 1 2t Il punto P è l'intersezione tra le rette p ed n: x t y= x 2t t

19 { y= x 2t t x=t /2 t=2 x y= n l g r t Quindi, il luogo g è anch'esso una parabola. Il coefficiente angolare della tangente r in Q è: P Q m r =2 ax 0 b=2 4 t m =4t, quindi: 2 r m t = 4t 2t =2. A p 3. Metodo sintetico: poiché P appartiene all'asse di QF, allora: PF =PQ. Ma PQ è anche la distanza di P dalla retta r, quindi il punto P ha la stessa distanza dal punto F e dalla retta r. Al variare di Q su r, pertanto, il punto P descrive la parabola avente fuoco F e direttrice r. Metodo analitico: scegliamo il riferimento cartesiano in modo che l'asse delle ascisse sia parallelo alla retta r e l'origine degli assi sia equidistante da r e da F. Poniamo: F 0, a, r : y= a. (Per maggiore semplicità, potremmo scegliere a come unità di misura ). Il punto Q ha coordinate: Q t, a, quindi: m FQ = 2 a t e m asse = t 2 a. L'equazione dell'asse di FQ è: y= t 2 a x t 2 = t 2 a x t 2 4 a. La retta perpendicolare ad r e passante per Q ha equazione x=t. Ponendo a sistema le ultime due equazioni ed eliminando il parametro t, ricaviamo: y= 1 4 a x2, che, come dovremmo sapere, è l'equazione della parabola di fuoco F e direttrice r. Per la formula di sdoppiamento, il coefficiente angolare della tangente in P è: m=2 Ax 0 B=2 1 4 a t= t 2 a Quindi l'asse di FQ è tangente in P alla parabola., che è anche il coefficiente angolare dell'asse di FQ. F M P Q r

20 3^A - Verifica su ellisse e iperbole Le risposte non giustificate non verranno valutate. Livello di sufficienza: sei risposte corrette e correttamente giustificate. La domanda n 13 equivale a tre delle altre domande. 1. Determina l'equazione del luogo dei punti tali che la somma delle loro distanze dai punti A 8,0, B 8,0 sia uguale a Determina l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione 4 y 2 =8 nel suo punto P 1,2. 3. Determina l'equazione dell'ellisse che ha un vertice B 0, 5 e un fuoco F 2,0. 4. Determina l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine che ha un fuoco F 3,0 ed eccentricità e=3/ Determina il centro di simmetria e le lunghezze dei semiassi dell'ellisse di equazione 12 5 y 2 24 x 30 y 3=0. 6. Disegna il grafico della funzione y=2 1 descrivendo la curva ottenuta. 7. Determina l'equazione del luogo dei punti tali che la differenza delle loro distanze dai punti A 0, 11, B 0, 11 sia uguale a Determina l'equazione dell'iperbole che ha un asintoto di equazione y=4 x e un fuoco F 2 17,0. 9. Determina l'equazione dell'iperbole che ha un vertice (reale) A 3,0 ed eccentricità e=4/3. 10.Determina l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti avente un vertice V 4, Disegna il grafico della funzione y= 5 2 x 2 x 4 (unità di misura = 4 quadretti). 12.Disegna il grafico della funzione y=2 1 descrivendo la curva ottenuta.

21 13.Per ciascuna delle seguenti equazioni, descrivi il luogo dei punti le cui coordinate la rendono vera (ad esempio: nessun punto; un punto, specificando quale; due punti, specificando quali; una retta, specificando l'equazione; due rette, specificando le equazioni; una circonferenza, un'iperbole, una parabola...): a. y 2 =0 b. y 2 = 1 c. 1=0 d. 2 xy y 2 =0 e. xy y 2 =0 f. y 2 =0 g. 3 x 2=0 h. x 1 2 y 1 2 =0 i. 1 2 y 2 =0

22 3^A - Correzione verifica su ellisse e iperbole 1. Si tratta di un'ellisse avente i fuochi sull'asse x; c=8 ; 2 a=20 a=10 b= a 2 c 2 = =6. Equazione ellisse: 100 y2 36 =1. 2. Formula di sdoppiamento: 4 1 x 2 y=8 y=2 x Abbiamo b= 5, c=2. Poiché i fuochi si trovano sull'asse x: a= b 2 c 2 = 5 4=3. Equazione ellisse: 9 y2 5 =1. 4. Abbiamo c=3. Poiché i fuochi si trovano sull'asse x: e=c/a a=c/e= 34 b= a 2 c 2 = 34 9=5. Equazione ellisse: 34 y2 25 =1. 5. Possiamo applicare all'equazione il metodo del completamento del quadrato : 12 2 x 1 5 y 2 6 y 9 = x y 3 2 =1. 12 Quindi l'ellisse ha centro C 1,3 e semiassi a= 5, b=2 3. In alternativa, possiamo determinare la traslazione che, eliminando i termini di primo grado in x e y, porti il centro nell'origine degli assi. 6. Scriviamo l'equazione nella forma y2 =1 con la condizione y 0. 4 Quindi, data l'ellisse di centro l'origine e semiassi a=1, b=2 dobbiamo considerarne l'arco situato nel semipiano delle ordinate positive. 7. Si tratta di un'iperbole avente i fuochi sull'asse y; c= 11 ; 2b=6 b=3 a= c 2 b 2 = 11 9= 2. Equazione iperbole: 2 y2 9 = Impostiamo il sistema: { c2 =a 2 b 2 =68 b/a=4 b=4 a a2 16 a 2 =68 a 2 =4 a=2 b=8. Equazione iperbole: 4 y2 64 =1. 9. Sappiamo che i fuochi sono sull'asse x e che: a=3, e=c/a=4/3 c=4 b= c 2 a 2 = 16 9= 7. Equazione iperbole: 9 y2 7 =1. 10.Data l'equazione xy=k, imponiamo il passaggio per V: xy= Funzione omografica di centro C d /c, a/c 2, 1, che interseca gli assi cartesiani in A 5/2,0, B 0, 5/4 (vedi grafico sul retro).

23 12.Scriviamo l'equazione nella forma 13. y2 =1 con la condizione y 0. 4 Quindi, data iperbole di centro l'origine e semiassi a=1, b=2 dobbiamo considerarne l'arco situato nel semipiano delle ordinate positive. a. origine degli assi (somma di quadrati); b. nessun punto reale (somma di quadrati); c. due rette parallele all'asse y: x=±1 ; d. due rette coincidenti: x y 2 =0 ; bisettrice del 2 e del 4 quadrante; e. origine degli assi (falso quadrato); f. due rette: x y x y =0 ; bisettrici dei quadranti; g. due rette parallele all'asse y: x=1 x=2 ; h. un punto: 1, 1 ; i. due punti: ±1,0. n. 11 n. 12

24 3^F - Verifica su ellisse, iperbole, funzioni Le risposte non giustificate non verranno valutate. Livello di sufficienza: sei risposte corrette e correttamente giustificate. 1. Determina l'equazione del luogo dei punti tali che la somma delle loro distanze dai punti A 0, 4 e B 0, 4 sia uguale a Determina l'equazione dell'ellisse passante per i punti A 2,0 e B 1,3. 3. Determina i fuochi della curva di equazione 4 y 2 =4 e rappresentala. 4. Determina l'equazione dell'ellisse avente fuochi F 0,± 3 ed eccentricità e=1/ Determina l'equazione del luogo dei punti tali che la differenza delle loro distanze dai punti A 0, 13/3 e B 0, 13/3 sia uguale a Determina l'equazione dell'iperbole di vertici ±4,0 ed eccentricità e=5/4. 7. In una iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, la distanza tra i vertici misura 6. Determina le possibili equazioni della curva. 8. Traccia il grafico della funzione y= 3 x x Determina il campo di esistenza della funzione y= 2 x 1 x Determina il codominio della funzione y= Studia il segno della funzione y= x Traccia il grafico della funzione y= 6 x 8.

25 3^F - Risposte verifica su ellisse, iperbole, funzioni 1. Ellisse con i fuochi sull'asse y. { c=4 b=5 a2 =b 2 c 2 =25 16=9 x2 9 y2 25 =1. 2. Passaggio per A 2,0 a=2. Passaggio per B 1, b 2 =1 b2 =12 x2 4 y2 12 = y 2 =4 y2 4 =1 a=1; b=2 ; c= b2 a 2 = 3. Fuochi: 0,± c= 3 b= c e =3 a2 =b 2 c 2 =9 3=6 x2 6 y2 9 =1. 5. Iperbole con i fuochi sull'asse y. { c= 13/3 b=1 a 2 =c 2 b 2 = = 4 9 x2 4/9 y2 1 = Fuochi su asse x. a=4 c=ea=5 b 2 =c 2 a 2 =25 16=9 x2 16 y2 9 =1. 7. I vertici, appartenendo alle bisettrici dei quadranti, hanno coordinate uguali o opposte. Indichiamo con a una di tali coordinate: 2 a 2 =9 a 2 =9/2. Equazione dell'iperbole: xy=±a 2 =±9/2. 8. Centro C 1, 1. Intersezioni assi: 3,0 ; 0, rad = 2 x 1 x 2 0 x 2 x y= 1 4 { y 0 4 y 2 = Data l'ellisse di semiassi a=1/2 e b=1, ne consideriamo l'arco che si trova nel semipiano delle ordinate positive. Codominio: 0 y o x - o o - 1- o + - f(x) y= 6 x 8={ x2 6 x 8 se x 0 6 x 8 se x 0