Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013

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1 Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico di P 2 rispetto all asse delle ordinate P 4 simmetrico di P 1 rispetto all asse delle ascisse. Rappresentato il quadrilatero P 1 P 2 P 3 P 4 a) calcolarne il perimetro b) riconoscere se si tratta di una delle seguenti figure: rettangolo, parallelogrammo, trapezio e giustificare la risposta. c) Determinare per quale valore di k il punto L; è allineato con P 1 e P 3. [ a) ; c) k = 6 ] 2) Dato il punto A(2; 0) determinare: a) quali tra i punti di coordinate (k + 2; k + 1) hanno distanza 5 da A e indicarli con E, F. Disegnare il punto A, simmetrico di A rispetto all asse y, e verificare che il quadrilatero che ha i vertici nei punti medi dei lati del quadrilatero AEA F è un parallelogrammo. b) Riferendosi alla figura ricavare le coordinate di C. Scrivere l equazione della retta s che passa per C e che è parallela all asse x. Calcolare le coordinate del baricentro G del triangolo ABC. Calcolare la misura dell altezza del triangolo relativa al lato AC. [ C(0; 22 2 ) G ; ] 3) Dati i punti: A(4; 1) B(8; 3) C4; a) ricavare le coordinate dell ortocentro del triangolo ABC b) ricavare l equazione della retta s che passa per A e che è perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante, rappresentarla. La retta s interseca l asse x in E e l asse y in F, indicato con P un generico punto del segmento EF, tracciare la retta t di equazione y + 2 = 0 e proiettare i punti P, E sulla retta t in H, K. Determinare per quale posizione di P la somma delle basi e dell altezza del trapezio PEKH vale 9.

2 c) Scrivere l equazione della retta a che passa per A e forma un angolo di 60 con l asse x. Indicare con: K il punto in cui a interseca l asse x, L il punto di a di ascissa 6. Ricavare le coordinate del terzo vertice del triangolo equilatero che ha un lato coincidente con KL e l altro lato sull asse delle ascisse. [ a) H ;3 ; b) P ; b) K 4 ;0 L6; N8 ;0 ] 4) Sono assegnati il punto P( 2; 1) e il fascio di rette di equazione a) Ricavare le equazioni delle rette r, s del fascio tali che la distanza di P da r e da s è uguale a 2. b) Indicate con A, B le intersezione delle rette del fascio con gli assi cartesiani 1. determinare le rette e, f per le quali l area del triangolo AOB è uguale a 3 2. determinare per quale valore di q il segmento AB è base di un triangolo isoscele che ha il vertice nel punto C(1; 1) [ a) 2, 3 ; b) 1., 2. q = - 6 ] 5) Ricavare l equazione della parabola che ha asse parallelo all asse y, vertice V ; e passa per A(0; 2), rappresentarla dopo aver ricavato ogni elemento utile. a) Tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante, ricavare quella tangente alla parabola. b) Tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante determinare quella che stacca una corda BC di misura 4 2 sulla parabola. Calcolare l area del triangolo che ha vertici nei punti B, C e V (vertice della parabola). [ y = x 2 + x + 2, a) y = - x + 3, b) y = - x 1 area = 15/2 ] 6) Ricavare l equazione della parabola p che ha fuoco F ;1 e direttrice d : 2x 5 = 0, rappresentarla dopo aver ricavato ogni elemento utile. Indicati con A, B i punti in cui p interseca l asse delle ordinate, calcolare l area del triangolo che ha vertici in A, B e nel punto C in cui si intersecano le tangenti alla parabola nei punti A, B. [, A(0; - 1) t A : x 2y 2 = 0, B(0; - 3) t B : x + 2y 6 = 0; C(4; 1) area = 8 ] 7) Ricavare le equazioni delle parabole p, p che hanno vertice V(0; 1) e passano per A( - 2; 0). Calcolare le coordinate del fuoco e l equazione della direttrice di ciascuna delle due parabole. Per una delle due parabole, a scelta, ricavare attraverso la costruzione per punti, le coordinate di tre punti della parabola. [ p: 1, F(0; 0) d: y 2 = 0; p x = - 2y 2 +4y 2 F ;1, d : 8x 1 = 0] 8) Tra le parabole di equazione x = ay 2 + by + c determinare quella che ha fuoco F(0; 1) e ha per direttrice la retta x = 2, rappresentarla. Indicati con A, B i suoi punti d intersezione con l asse y, determinare i punti P dell arco AB in corrispondenza dei quali l area del triangolo ABP vale. [, P 1 ;, P 2 ; ]

3 9) Data la parabola p di equazione, rappresentarla. a) Inscrivere nel segmento parabolico limitato da p e dall asse x il rettangolo di perimetro 14. b) A partire dal grafico di p rappresentare 4. Spiegare come si è ottenuto il grafico rappresentato. [ a) un vertice ha coordinate ;3 ] 10) In figura sono rappresentati i grafici di due fasci di parabole, indicati con A) e B). A) B) a) Individuare quale tra le equazioni che seguono rappresenta il fascio A) e quale il fascio B), spiegare la scelta effettuata P 1 ) y = (2 a - 1)x 2 + (3 4 a)x P 2 ) y = ax 2 + (1-3 a)x ; P 3 ) y = x 2 + 2kx 4k 3 P 4 ) y = 2x 2 + 2kx 4k b) In corrispondenza del fascio di equazione P 4 ricavare l equazione del luogo descritto dai fuochi delle parabole e rappresentarlo. [ a) P 1 fascio A, P 3 fascio B; b) 2 8 ] 11) In figura è rappresentato il grafico di una funzione illimitata y = f(x), rappresenta nello stesso sistema di riferimento: g(x) = f(x) h(x) = f(x) + 1 l(x) = f(x + 1). Scrivi attraverso quali considerazioni hai rappresentato i grafici di g, h, l. A partire dal grafico scrivi qual è il codominio di ciascuna delle funzioni f, g, h, l.

4 12) Ricavare il dominio di ciascuna delle funzioni che seguono: f(x) = g(x) = h(x) = l(x) = per ciascuna di esse stabilire se è pari, dispari o non gode di nessuna delle due proprietà. [ f D R, g D 0, h D R, l D 3; sono funzioni pari g, h, è una funzione dispari f ] 13) Sono assegnati i punti A(1;1) B(1; 5) a) Ricavare l equazione della circonferenza γ che passa per A, B e che ha il centro sulla retta di equazione 6x 2y 9 = 0, rappresentarla. Ricavare le equazioni delle rette tangenti a γ condotte dal punto P(0; - 2). Calcolare l area del triangolo delimitato dalle tangenti determinate e dal diametro di γ parallelo all asse delle ascisse. b) Ricavare l equazione della circonferenza che ha centro in A e che è tangente agli assi cartesiani. Determinare quali, tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante, staccano sulla circonferenza determinata una corda di misura 2. [ a) 3 ; rette tangenti: x = 0, 2, area T = ; b) ; rette x + y 1 = 0, x + y 3 = 0 ] 14) È assegnata l equazione 2 90 a) Determinare per quali valori di a rappresenta circonferenze che hanno raggio uguale a 2. Dimostrare che ciascuna delle circonferenze ottenute è tangente a uno degli assi cartesiani. b) Determinare se esistono valori di a per i quali l equazione assegnata rappresenta una circonferenza che ha il centro sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante. In caso di

5 risposta affermativa rappresentare la circonferenza ottenuta e ricavare le equazioni delle rette tangenti nei suoi punti d intersezione con l asse x. c) Determinare se esistono valori di a per i quali l equazione assegnata rappresenta una circonferenza che ha il centro sulla retta di equazione x = 4. In caso di risposta affermativa rappresentare la circonferenza, e ricavare l equazione della circonferenza γ concentrica a quella determinata e tangente alla retta di equazione x y 8 = 0. [ a) a = - 4 a = 6 ; b) non esiste una circonferenza che soddisfa le condizioni assegnate; c) a = - 8, γ : 4 5 ] 15) Sono assegnate due circonferenze γ 1 e γ 2 che hanno il centro in uno stesso punto O e hanno raggio, rispettivamente, r 1 = 3 e r 2 = 5. Tracciare una corda AB di γ 2 tangente a γ 1 e una corda CD di γ 2 parallela ad AB e situata nel semipiano di origine AB che non contiene O. Indicata con x la distanza di CD da O, determinare per quali valori di x la somma delle basi del trapezio ABDC supera 14 volte l altezza. [ soluzioni 3 a x 4 a ] 16) Ricavare l equazione della funzione y = f(x) il cui grafico è rappresentato in figura (le linee curve sono un arco di parabola che ha vertice sull asse x e un quarto di circonferenza). A partire dall equazione ottenuta ricavare per quali valori di x si ottiene f (x) = - 1 e per quali valori di x si ottiene f (x) = + 1. [ y 4 y y8 ; f(x) = - 1 se x = 3 x = 9; f(x) = 1 se x = 6 3 x = 7 ] 6 17) È assegnato il quadrilatero che ha i vertici nei punti A(- 1; - 1) B(1; - 1) C(3;3) D(- 1; 1). Sono assegnate le dilatazioni δ 1 (2, - 3) δ 2, δ 3 (- 3, 3), tutte di centro O.

6 a) Dimostra, con il metodo che preferisci, che il quadrilatero assegnato ha i lati a due a due congruenti e ha le diagonali tra loro perpendicolari. Tra le dilatazioni assegnate individua quali lo trasformano in un quadrilatero che gode delle stesse proprietà. Giustifica la risposta che ai dato. b) Calcola il perimetro del quadrilatero assegnato e ricava l equazione di una dilatazione di centro O che lo trasforma in un quadrilatero che ha perimetro 1 5. c) Applica la dilatazione δ 1 (2, - 3) alla circonferenza γ circoscritta al triangolo ABD, scrivi l equazione della curva trasformata γ e rappresentala. Ricava le coordinate dei vertici di A B D ottenuto applicando δ 1 ad ABD; A B D è ancora un triangolo rettangolo? Tutti i triangoli rettangoli inscritti in γ vengono trasformati da δ 1 in altri triangoli rettangoli o solo alcuni? Giustifica la risposta che hai dato. [ b) 2p = 4 4 5, δ, ; c) γ: x2 + y 2 = 2, γ : 1 ] 18) Ricavare l equazione canonica dell ellisse che ha l asse focale sull asse delle ordinate, eccentricità e passa per il punto A ;. Rappresentare l ellisse ottenuta. Calcolare l area del quadrato inscritto nell ellisse. [ 1, area del quadrato = ] 19) È assegnata l ellisse di equazione 16 1, rappresentarla. a) Ricavare le coordinate dei vertici dei rettangoli che sono inscritti nell ellisse e hanno area 12. Ricavare il perimetro di ciascuno dei triangoli che hanno due vertici nei fuochi dell ellisse e il terzo vertice in uno dei vertici dei rettangoli determinati. b) Ricavare l equazione dell iperbole che ha il centro sull asse delle ascisse, ha un asintoto coincidente con la retta che passa per i vertici dell ellisse assegnata situati sui semiassi cartesiani positivi e passa per il punto A8;. Rappresentare la curva ottenuta. [ a) i triangoli sono due e hanno l uno un vertice in P 1 (3; 4) l altro in P 2 4;. Tutti i triangoli hanno perimetro 2p = ; b) 1 ] 20) È assegnata l equazione 1 ( k - 3) ricavare per quali valori di k rappresenta: a) una circonferenza b) un ellisse con i fuochi sull asse x c) un ellisse con i fuochi sull asse y d) un iperbole. [ a) k = -1 k =2; b) 3 < k < - 1 k < 2; c) 1 < k < 2; d) k < - 3 ] 21) Riconoscere e rappresentare la curva di equazione: x 2 4y 2 6x + 16y 8 = 0. (x 3) 2 4(y 2) 2 = 1

7 22) In figura sono assegnati un punto F( 3;2 e una retta r. a) Dedurre le caratteristiche di ciascuna iperbole che ha un fuoco in F e un asintoto coincidente con la retta r. Scrivere l equazione dell iperbole e rappresentarla. b) Ricavare l equazione dell ellisse che un fuoco in F, l altro nel simmetrico di F rispetto all asse delle ascisse e che passa per L1 3;0. Rappresentarla [ a) asse trasverso parallelo asse y: , asse trasvrso parallelo all asse x: ; b) 3 1 ] Cerchio e trigonometria 1) Data una semicirconferenza γ di centro C e raggio r, tracciare, a distanza parallela al diametro. Proiettare i punti A, B sul diametro in H, K e calcolare l area della figura limitata dall arco AB e dai segmenti AH, HK,BK. da C, la corda AB 2) In figura è rappresentato un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r. Su ciascuno dei lati dell esagono è costruita una semicirconferenza che ha per diametro il lato. Calcolare la somma delle aree delle 6 lunule. 3) Un triangolo ABC rettangolo in C ha il cateto AC = 5 e l angolo α di vertice A è tale che senα =. Proiettare C su AB in K, K su AC in H e H su AB in L, quindi calcolare la somma CK + KH + HL. 4) Sono assegnate le funzioni a) y = - 2 cos(x) b) y = sen(2x) c) y = cos(4x) Di quali tra le funzioni assegnate è rappresentato il grafico? Giustifica la risposta che hai dato e rappresenta quella non disegnata. Per ciascuna delle funzioni assegnate ricava il periodo T

8 Per ciascuna delle funzioni assegnate ricava un intervallo in cui può essere invertita. Giustifica la risposta che hai dato. 5) Rappresenta il grafico della funzione in [ 0, 2π ], in particolare scrivi le coordinate del massimo e del minimo. 6) Riconduci a funzioni di α la seguente espressione: cos 2 cos Scrivi l espressione ottenuta in modo che contenga solo la funzione seno. [ 4sen 2 α - 1 ] 7) Sapendo che senα = e che 0 < α < a) Ricava il valore in gradi sessagesimali di α b) L angolo α è maggiore o minore di 1 radiante? Giustifica la risposta che hai dato c) Calcola il valore dell espressione: sen( π +α ) cos( - α ) + tg(3π + α ) [ c) ]

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