c) Determina per quali valori di k il segmento BC ha misura 2. 3) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura

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1 VERIFICHE TERZA C a.s ) Sono assegnati i punti A(0; 10) B(8; - 6) C(0; 0). Rappresentali. a) Verifica che il triangolo ABC è isoscele e calcola la sua area b) Tra i punti P che hanno ordinata positiva e ascissa uguale a 1 determina quello che è vertice del triangolo rettangolo PBC di ipotenusa BC c) Scrivi l equazione della mediana relativa al lato AB. [ a) area = 40 ; b) (1; 1) ; c) y = x ] 2) Sono assegnati i punti A ; 3 B ; 1 C(k + 1; 3-2k ) a) Determina per quale valore di k la somma delle coordinate del baricentro del triangolo ABC vale - 2 b) Determina per quale valore di k il simmetrico di A rispetto a C ha ascissa uguale a c) Determina per quali valori di k il segmento BC ha misura 2. [ a) k = 10 ; b) k = ; c) k = k = ] 3) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura y = 3x 2 3 x 2 y = 2x < x < 0 y = x + 4 x 0 4) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura

2 y = 3x 1 x 0 y = x 1 0 < x < 3 y = 3x 3 3 x 3 5) Sono assegnati i punti A(2; 2) B(9; 2) C(4; 5) a) ricava le coordinate dell ortocentro del triangolo ABC b) Ricava, tra le rette che passano per A, quelle che hanno distanza da C [ a) 4; ; b) y - 1 = (x 3), y - 1 = (x 3) ] 6) Sono assegnate le rette di equazione (1 + 2k)x + ky + 1 k = 0 a) ricava la retta del fascio che è parallela alla retta di equazione 5x + 4y + 7 = 0. Rappresentala. b) ricava le rette del fascio che staccano un segmento di misura 3 sull asse delle ascisse a partire dal punto P(- 2; 0). [ a) 5x 4y + 7 = 0 ; b) k = - 2 k = ] 7) Tra le circonferenze di equazione x 2 + y 2 + kx 2y + 1 = 0 a) Determina quelle che staccano una corda di misura 2 2 sulla retta s: x y + 1= 0 b) Ricava l equazione della circonferenza γ che ha il centro sulla retta s di equazione x + 5y = 0. Detti A, B i punti di γ di ordinata 3, scrivi le equazioni delle tangenti a γ nei punti A, B.

3 8) Ricava l equazione della circonferenza γ che passa per i punti A( - 1; 0) B(0; 3) e che ha il centro sulla retta s di equazione 2x + y + 2 = 0. Ricava le equazioni delle rette che sono parallele alla retta t di equazione x + 2y = 0 e sono tangenti a γ. 9) Ricava per quali valori di k le equazioni x 2 + y 2 + (2k + 6)x + 4ky + 5k 2 = 0 rappresentano circonferenze. 10) Data una semicirconferenza γ di diametro AB = 2, disegnare nel semipiano di origine AB che non contiene γ, il triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa AB. Indicato con P un punto di AB, tracciare la retta t perpendicolare in P al diametro e indicare con Q e R i punti in cui t interseca, rispettivamente, BC e γ. Determinare per quali distanze di P da B vale la relazione PB + PQ > PR. (Risolvere la disequazione per via grafica) [ x + 2x < 2x soluzioni < x 2 ] 11) È assegnato un quadrato ABCD di lato unitario. Preso un punto P sul lato AB tracciare la semiretta che ha origine P, forma un angolo di 60 con PB e interseca il lato BC in un punto Q. Determinare per quali valori di PB è soddisfatta la relazione 4AD + DQ PQ < 4BQ. (Risolvere la disequazione per via grafica) [ x 2 3x + 6 < 4 3x soluzioni < x ] 12) Tra le rette di equazione (2 3k)x + ky 5 = 0 ricavare a) La retta unita nella simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante b) La retta unita nella simmetria che ha centro C(1; 0) c) La retta unita nella simmetria che ha asse s di equazione y + 1 = 0 d) La retta unita nella traslazione di equazioni x = x + 4 y = y 3 [ a) k = ; b) k = - 1 ; c) k = 0 ; d) k = ] 13) Data la parabola di equazione x = y + y, rappresentarla. Indicare con V il suo vertice e con A il suo punto d intersezione con l asse delle ordinate distinto dall origine degli assi. a) Indicato con P un punto dell arco AV, proiettare P e il fuoco F sulla direttrice nei punti C, D, rispettivamente. Determinare per quale posizione di P la somma delle basi e dell altezza del trapezio FDCP vale 17. In corrispondenza del punto P determinato calcolare l area del trapezio FDCP. b) Determinare i punti della parabola che hanno distanza 3 dalla retta di equazione 4x + 3y = 0. [ a) posto x P = k l unica soluzione accettabile è k = 12, area = 26 ] 14) Ricavare l equazione della parabola p che ha asse parallelo all asse y, vertice V ; 0 e passa per A(0; 9); indicare con B il simmetrico di A rispetto all asse della parabola. a) Inscrivere nel segmento parabolico limitato da p e dal segmento AB il rettangolo che ha perimetro 14. b) Ricavare le equazioni delle tangenti alla parabola condotte dall origine degli assi. [ p: y = 4x 2 12x + 9 ; a) un vertice del rettangolo è P ; 4; y = 0, y = - 24x ]

4 15) Sono assegnate le parabole di equazione y = (a + 1)x 2 2ax a) ricava le equazioni delle parabole p 1, p 2 del fascio che hanno il fuoco sull asse delle ascisse; indica con F 1, F 2 e con V 1, V 2 i loro fuochi e i loro vertici. Calcola l area del quadrilatero F 1 F 2 V 2 V 1. b) determina quali, tra le parabole del fascio, intersecano il semiasse delle ascisse positive e quali il semiasse delle ascisse negative. c) ricava le equazioni delle parabole del fascio che staccano sull asse delle ascisse un segmento che ha misura. Rappresenta le parabole ottenute. [ a) a = ± ½ area = 4/9 ; b) intersezioni con il semiasse delle ascisse positive se a < - 1 a > 0 ; c) a = 3 a = - 3/7 ] 16) E assegnato il fascio di parabole di equazione x = y2 + ky + k. Ricava le coordinate del punto base A. a) ricava l equazione del luogo descritto dai fuochi delle parabole e rappresentalo b) ricava le equazioni delle parabole che hanno il vertice sulla retta di equazione x 1 = 0. Una retta di equazione y c = 0, con c > 1, interseca le parabole nei punti P, Q. Esprimi, al variare di c, l area del triangolo APQ, rappresenta la funzione ottenuta e metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. Qual è l espressione dell area del triangolo APQ se si toglie la condizione c > 1? [ A(0; 1) a) x = y 2 /4 y/2 ¾ b) area = ( c 1) 2 /2 ] 17) Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB di misura 1 e il cateto AC doppio di AB. Indicato con P un punto su AC, sia H la proiezione di P sull ipotenusa. Esprimere, in funzione di AP, PB 2 + PC 2 + 5PH 2. Rappresentare la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [ AP = x, y = 3x 2 8x + 9 ] 18) Sono dati i punti A(4; 0) B(0; 4) C(- 4; 0) D(0; - 4) a) Ricavare l equazione dell ellisse che ha i fuochi nei punti medi dei segmenti AB e BC e eccentricità. Rappresentare la curva ottenuta. b) Ricavare l equazione della parabola p che è tangente in A al segmento AB e che passa per C e l equazione della parabola p che è tangente in A al segmento AD e che passa per C. Rappresentarle. Ricavare le coordinate dei vertici del rettangolo che ha i lati paralleli agli assi cartesiani, i vertici sugli archi AC di p, p e perimetro. c) Una retta s parallela all asse y incontra il segmento AB in P e il segmento AD in Q, si ottiene così un trapezio BPQD. Esprimere, al variare di s, la somma della base maggiore e di una delle diagonali del trapezio. Rappresentare la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema.

5 d) Ricavare: l equazione dell iperbole che ha per asintoti le rette su cui giacciono i segmento BC e CD e che passa per il punto E(1; - 3). Rappresentarla. l equazione dell iperbole che ha per asintoti le rette su cui giacciono i segmento BC e CD e che passa per il punto F(- 2; 4). Rappresentarla. Calcolare l area del quadrilatero che ha i vertici nei vertici delle due iperboli determinate. [ a) + () = 1 ; b) p: y = x + 2, p : y = x 2 un vertice del rettangolo ha coordinate ; ; c) se x = k è l equazione di s, la funzione è y = 8 + 2k 16k + 64 con 0 k 4 ; d) ( x + 4) 2 y 2 = 16, ( x + 4) 2 y 2 = - 12, area = 16 3 ] 19) Data l equazione: + = 1 ricava per quali valori di k rappresenta a) un ellisse b) un ellisse con i fuochi sull asse delle ascisse c) un ellisse con i fuochi sull asse delle ordinate d) un iperbole e) un iperbole con asse trasverso sull asse delle ascisse [ a) < k < 1 ; b) < k < ; c) < k < 1 ; d) k < k > 1 ; e) k < ] 20) In figura è rappresentata un semiellisse, associa al grafico la sua equazione. Motiva la scelta operata. a) + () = 1 b) y = 4x + 16 c) y = 1 + 4x + 16 d) y = 1 + 4x ) Rappresenta le funzioni di equazione a) y = b) y = 22) Per ciascuna delle affermazioni che seguono decidi se è vera o falsa e motiva la risposta a) Ogni iperbole equilatera ha eccentricità e = 2 b) Un ellisse può avere eccentricità e = c) I fuochi di un ellisse sono sull asse minore

6 d) un iperbole che ha per asintoti le rette rappresentate e si trova negli angoli evidenziati può avere equazione + = 1