1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli

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1 1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli A) 1 2 B) [ A) 2 x 1; B) (-, - 3) ( - 3, 0) ( 0, + ) ] 2) Riferendoti al grafico rappresentato completa a) Il dominio è... b) lim... c) lim =... d) f(x) 0 se... 3) Una funzione di equazione y = f(x) è tale che : D (-, - 2 ) ( - 2, 2) (2, + ) f(x) > 0 se x < - 2 x > 2, f(x) = 0 se x = 0 lim 1 lim lim x Rappresenta un grafico qualitativo della funzione. 4) Sono assegnate le funzioni di equazione: ( a, b R ) Determina per quali valori di a, b si ottiene una funzione che ha per asintoto la retta di equazione y = 2x + 5. Studia la funzione ottenuta e rappresenta un grafico qualitativo. [ a = 2 e b = 17 ] 5) Classifica le discontinuità delle seguenti funzioni a) b) y = [ a) x = 0 1 specie, x = 2 discontinuità eliminabile ; b) x = 1 discontinuità eliminabile ] 6) È assegnata la funzione di equazione y = 1 se x 0 ( a R ) se x > 0 ( a R ) ricava per quali valori di a si ottiene una funzione continua in x 0 = 0

2 posto a = - 4, ricava il dominio della funzione, studia il segno, classifica le discontinuità, scrivi le equazioni di tutti gli asintoti, rappresenta il grafico. [funzione continua se a = - 3 a = - 4 ] Di ciascuna delle funzioni che seguono scrivi il dominio e classifica tutte le discontinuità 7) [ x = 2 1 specie, x = 2 specie ] 8) 9) [ x = 2 discontinuità eliminabile, x = 3-2 specie ] [ x = 0 eliminabile ] 10) È assegnata l a funzione di equazione ( n N ). Classifica le discontinuità della funzione al variare di n. 11) È data la funzione di equazione y = 4x 3 + x Determina un intervallo [a, b] con a < 0 e b < 0, in cui la funzione cambia segno. La funzione ha massimo e minimo sull intervallo determinato? Perché? Il massimo e il minimo sono concordi o discordi? Perché? 12) Proponi l esempio di una funzione y = f(x) che su un intervallo [c, d] è continua e ha massimo e minimo concordi. Scrivi l equazione della funzione e rappresentala. Scrivi quanto valgono il massimo e il minimo. 13) Sono date le funzioni di equazione y = con k > 0. Ricava l equazione della retta t tangente alle curve assegnate nel loro punto di ascissa 1, siano A, B i punti in cui la retta t interseca gli assi cartesiani. Per quale delle curve assegnate l area del triangolo AOB vale 18? Rappresenta la funzione ottenuta. [t: y = -2kx + 3k, k = 8 ] 14) Sono assegnate le funzioni di equazione y = x 4 + ( k 2)x 3 + (1 2k)x 2 + kx a) verifica che hanno tutte un punto stazionario A(1; 0) b) ci sono funzioni, tra quelle assegnate, che hanno altri punti stazionari? c) quanti sono i punti d intersezione delle funzioni assegnate con l asse x? [ b) per ogni k ; c) x 1 = 0, x 2 = x3 = 1, x 4 = k ] 15) Data una semicirconferenza γ di centro O e diametro AB = 2, disegnare una corda CD parallela al diametro e tracciare le rette tangenti a γ nei punti C, D, indicare con E il loro punto d intersezione. Determinare per quale distanza di O dalla corda CD è massimo il rapporto CD OE. [ distanza = ] 16) Sono assegnate le rette di equazione (k + 1)x y + 2k + 2 = 0 a) Verificare che passano tutte per uno stesso punto A. Indicato con P il punto in cui le rette assegnate intersecano la bisettrice del primo e terzo quadrante, esprimere al

3 variare di k la misura di AP 2. Studiare (dominio, asintoti, segno, estremi relativi) la funzione ottenuta e rappresentarla. b) Indicato con C il punto in cui le rette assegnate intersecano la bisettrice del secondo e quarto quadrante, proiettare C sugli assi cartesiani nei punti H, L. Esprimere al variare di k il perimetro del rettangolo OHCL (O origine degli assi) e classificare il punto di non derivabilità della funzione ottenuta. [ a) A( - 2; 0) AP 2 = ; b) perimetro = 4, k = - 1 punto angoloso ] 17) È assegnato il fascio di parabole di equazione 21 (a 0). Determinare i punti A, B comuni a tutte le parabole del fascio. Tra le parabole assegnate determinare: la parabola p 1 tangente all asse delle ascisse e la parabola p 2 che, nel suo punto d intersezione con l asse delle ordinate, ha tangente parallela alla retta di equazione 2x + y = 0. Tra i rettangoli inscritti nella figura piana limitata dagli archi AB di p 1 e p 2, determinare quello di area massima. [ p 1 : y = - x 2 + 2x 1, p 2 : y = x 2 2x 1 ; se C indica un punto dell arco AV ( V vertice) di p 1, la posizione di C per cui si ottiene il rettangolo di area massima è x C = 1-18) Sono assegnate le funzioni di equazione y = 3x ln(ax 3 + bx 2 + 3x + 1) a) Determinare se per a 0 ci sono funzioni definite su tutto l asse reale b) Determinare se per a = 0 ci sono funzioni definite su tutto l asse reale c) Studiare e rappresentare la funzione che si ottiene per a = 0 e b = 3 ( non è richiesto lo studio del segno). Dimostrare che stacca sull asse delle ascisse un segmento che ha misura minore di 1. [ a) nessun valore di a; b) b > ] 19) Sono assegnate le parabole di equazione y = x 2 2kx + k 2 con k > 0 a) Indicato con A il punto in cui le parabole intersecano l asse delle ordinate, scrivere l equazione della retta t tangente in A alle parabole. La retta t interseca l asse delle ascisse in un punto B. Calcolare il rapporto tra le aree dei triangoli AOB e AVB, essendo V il vertice delle parabole. b) Preso, sulla generica parabola, il punto C di ascissa 2, indicare con H la sua proiezione sull asse delle ordinate. Proiettare il vertice V sulla direttrice nel punto S e indicare con T il punto in cui la direttrice interseca l asse y. Esprimere, al variare di k, l area del trapezio CHTS, rappresentare la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo la problema. [ a) B ;0 i due triangoli sono equivalenti; b) y = 2 4 ] ] 20) È assegnata la funzione di equazione a) Scrivere l equazione della retta t tangente alla funzione assegnata nel suo punto C d intersezione con l asse delle ordinate. Indicata con r una generica retta parallela a t, siano: A il punto in cui r interseca la retta di equazi one 2y 1 = 0, B il punto in cui r interseca l asse y. Esprimere, al variare di r, l area del triangolo ABC. Rappresentare la funzione ottenuta e calcolare l area della parte di piano limitata dal grafico di tale funzione e dagli assi cartesiani.

4 b) Tra le primitive della funzione assegnata determinare quella che passa per P0;. Studiare e rappresentare la funzione ottenuta. [a) r : y = 3x + k f(k) = area = ; b) y = e 2x + x2 x 3 ] 21) Dato un rettangolo ABCD di lati AB = 8 e BC = 6, indicare con O il suo centro; costruire nel semipiano di origine AB che non contiene il rettangolo, la semicirconferenza γ di diametro AB. Tracciata una corda MN di γ, parallela al diametro, e posta a distanza x dal diametro a) Si provi che il rapporto OM OB è espresso dalla funzione di equazione AC MN b) Indipendentemente dal problema geometrico, studiare e rappresentare la funzione f(x) data al punto a) c) Calcolare l area del triangolo mistilineo limitato dall asse x, dal grafico della funzione e dalla retta di equazione x = 3. d) Provare che la funzione di equazione y = f(x) ha un punto angoloso e calcolare l angolo formato dalle semirette tangenti. [ c) 2 ; d) ] 22) Sono assegnate le parabole di equazione y = ax 2 + (1 2a) x. Siano A, B i punti comuni a tutte le parabole assegnate. a) Ricavare l equazione del luogo descritto dai vertici delle parabole. Studiare e rappresentare la funzione ottenuta. b) Scritte le equazioni delle rette tangenti alle parabole nei punti A, B, ricavare per quale valore di a negativo vale l area della parte di piano limitata dalle suddette tangenti e dall arco di parabola AB. c) Considerate le parabole p, p che si ottengono, rispettivamente, per a = 3 e a= - 3, tracciare una retta s parallela all asse delle ordinate che interseca p e p nei punti P, Q. Determinare per quale posizione di s è massima l area del quadrilatero APBQ. [ a) b) a = - 4 ; c) x = 1 ] Quesiti 1) In figura è rappresentato il grafico della derivata seconda di una funzione di equazione y = f(x). Per ciascuna delle affermazioni che seguono decidi se è vera o falsa e giustifica la risposta che hai dato. a) La funzione ha due flessi b) La funzione ha un solo flesso di ascissa 2 c) La funzione ha un flesso di coordinate (2; 0) d) La funzione è concava verso l alto per x > 2. 2) Dimostrare che tra tutti i rettangoli di diagonale assegnata quello di area massima è il quadrato.

5 3) Data una semicirconferenza γ di diametro AB = 2r tracciare, nel semipiano di origine AB a cui appartiene γ, la semicirconferenza γ che ha centro in B e raggio r. Indicati con C l estremo del diametro di γ interno ad AB, D il punto d intersezione di γ e γ, calcolare il perimetro e l area del triangolo BCD. x 4 + x 2 + ax + b + 2 se x 0 4) Sono assegnate le funzioni di equazione y = x 3 lnx se x > 0 determinare per quali valori di a, b si ottiene una funzione continua e derivabile su tutto l asse reale. [ a = 0, b = - 2 ] 5) Scrivere una definizione di funzione dispari e determinare per quali valori dei coefficienti la funzione di equazione y = ax + bx + cx + dx + ex + f è una funzione dispari. Motivare in modo esauriente la risposta. 6) La carica che attraversa la sezione S di un conduttore segue la legge q(t) = 4t 3 + 3t 2 per t 0. Calcolare in quale istante la corrente ha assunto il valore di 36 A ( tutte le grandezze sono misurate nelle unità di misura del Sistema Internazionale). 7) Ricavare l equazione del luogo descritto dai punti P 1; e rappresentarlo. 8) Una forza F, di direzione costante, è espressa in funzione della distanza da un punto O dalla legge F(x) = N. Calcola, in joule, il lavoro che compie la forza per spostare una massa da un punto A a distanza 10cm a un punto B a distanza 30cm da O, sapendo che A, O, B sono allineati. 9) Un triangolo ABC, rettangolo in A, è circoscritto a una circonferenza di raggio r. Sapendo che il cateto AB ha misura 3r e che è diviso dal punto di tangenza T in due parti tali che BT = 2AT, calcola il perimetro del triangolo. 10) È data una funzione di equazione y = x x 1. Per ciascuna delle affermazioni che seguono decidi se è vera o falsa e giustifica la risposta che hai dato a) La funzione è crescente su R b) La funzione è decrescente su R c) La funzione è costante d) La funzione ha un minimo 11) Scrivi l enunciato del teorema di Rolle e calcola per quale valore di a la funzione di equazione y = x 4 + ax 3 + 8x 2 8x + 1 soddisfa le ipotesi del teorema nell intervallo [ 0, 2]. 12) La bevanda preferita da Luca costa 2, un giorno il suo prezzo viene aumentato del 10%. Dopo una settimana viene fatta una vendita promozionale a seguito della quale i prezzi di tutte le bevande vengono scontati del 10%. Luca acquisterà la bevanda allo stesso prezzo a cui la acquistava prima dell aumento? Giustifica la risposta che hai dato e, in caso di risposta negativa, calcola il costo della bevanda. 13) Considerata la funzione Log 10 ( ax 4 + x 2 ) dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha due estremanti e quelli per cui non ha punti estremanti. Giustificare la risposta.

6 [ a < 0 ] 14) Classificare eventuali punti di non derivabilità della funzione di equazione y = (x +1) x 2 1. Giustificare esaurientemente la risposta. [ x 0 = 1 punto angoloso ] 15) Dimostrare che ( a 0) non dipende dal valore di a. 16) Sapendo che = 9 stabilisci quali tra gli integrali che seguono sono calcolabili e, per quelli calcolabili, quanto valgono a) / / / / b) c) 5 d) 3 [ a), d) ] 17) In figura è rappresentato il grafico della funzione di equazione 4 A, B sono i suoi punti d intersezione con gli assi cartesiani, O è l origine degli assi. a) Calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione; del triangolo mistilineo AOB attorno all asse y. b) Il triangolo mistilineo AOB è la base di un solido le cui sezioni con piani perpendicolari ad OA sono triangoli equilateri; calcola il volume del solido. [ a ) π ; b) 2 3 ]