Teoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14

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1 Indice L attività di recupero Funzioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche Obiettivo Determinare cos α noto (determinare noto cos α) Teoria in sintesi Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in tangente e cotangente Obiettivo Determinare il valore delle funzioni goniometriche (o cos α) tg α ctg α noto cos α (o ) Obiettivo Trasformare espressioni goniometriche in altre contenenti solo o cos α Obiettivo Determinare l equazione di una retta che passa per un punto P e forma un angolo α con la direzione positiva dell asse Attività di sportello 9 - Attività di sportello 9 - Verifica conclusiva0 Formule goniometriche Teoria in sintesi Obiettivo Semplificare espressioni contenenti archi associati Obiettivo Semplificare espressioni contenenti formule di addizione e sottrazione Obiettivo Semplificare espressioni contenenti formule di duplicazione Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche utilizzando le formule di bisezione Obiettivo Risolvere semplici problemi geometrici Attività di sportello 9 - Verifica conclusiva 0 Curve goniometriche Teoria in sintesi Obiettivo Disegnare curve deducibili da curve goniometriche Obiettivo Disegnare curve di equazione a sen + b cos Obiettivo Applicazione alle funzioni Attività di sportello 8 - Verifica conclusiva 9 Identità ed equazioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Verificare identità goniometriche Obiettivo Risolvere equazioni elementari Obiettivo Risolvere equazioni riconducibili a equazioni elementari Obiettivo Risolvere equazioni lineari in seno e coseno Obiettivo Risolvere equazioni omogenee o riconducibili a omogenee Obiettivo Determinare il dominio di funzioni goniometriche

2 Indice Obiettivo Disegnare grafici e risolvere semplici problemi 8 Obiettivo 8 Risolvere i sistemi misti 9 Attività di sportello - Attività di sportello - Verifica conclusiva Disequazioni goniometriche Teoria in sintesi Obiettivo Risolvere disequazioni goniometriche elementari Obiettivo Risolvere disequazioni goniometriche riconducibili a disequazioni elementari Obiettivo Risolvere disequazioni lineari in seno e coseno 8 Obiettivo Risolvere disequazioni omogenee o riconducibili a omogenee 9 Obiettivo Determinare il dominio e il segno di funzioni goniometriche 0 Obiettivo Disegnare grafici e risolvere semplici problemi Attività di sportello - Attività di sportello - Verifica conclusiva Triangoli rettangoli Teoria in sintesi Obiettivo Risoluzione dei triangoli rettangoli Obiettivo Risoluzione di semplici problemi sui triangoli rettangoli Obiettivo Calcolare l area di un triangolo 9 Obiettivo Applicare il teorema della corda 0 Obiettivo Applicare i teoremi studiati a problemi di geometria piana Teoria in sintesi Obiettivo Applicare i teoremi studiati a problemi di geometria solida Obiettivo Applicare i teoremi studiati a problemi con grafici ricerca di massimo e minimo discussione Attività di sportello - Verifica conclusiva 8 Triangoli qualunque Teoria in sintesi 9 Obiettivo Applicare il teorema dei seni 80 Obiettivo Applicare il teorema del coseno 8 Obiettivo Risolvere problemi di geometria piana tramite i teoremi sui triangoli qualunque 8 Teoria in sintesi 8 Obiettivo Risolvere problemi di geometria solida tramite i teoremi sui triangoli qualunque 8 Obiettivo Applicare i teoremi studiati a problemi con studio di funzione 8 Attività di sportello 8 - Verifica conclusiva 88 Funzioni: proprietà e operazioni Teoria in sintesi 89 Obiettivo Determinare il dominio di una funzione 90 Obiettivo Ricerca dell estremo inferiore e superiore minimo e massimo 9 Obiettivo Studiare la parità di funzioni 9 Obiettivo Studiare la periodicità di funzioni 9

3 Indice Teoria in sintesi 9 Obiettivo Definire l inversa di una funzione 9 Teoria in sintesi 9 Obiettivo Definire le funzioni composte 9 Obiettivo Disegnare grafici deducibili dal grafico di funzioni note 99 Attività di sportello 0 - Attività di sportello 0 - Verifica conclusiva 0 Limiti di funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Verificare un limite 0 Obiettivo Calcolare limiti all infinito di funzioni razionali 0 Teoria in sintesi 09 Obiettivo Calcolare limiti all infinito utilizzando il teorema del confronto 0 Obiettivo Svolgere operazioni con i limiti Obiettivo Tracciare grafici di semplici funzioni composte Attività di sportello - Attività di sportello - Verifica conclusiva Funzioni continue Teoria in sintesi Obiettivo Calcolo di limiti per 0 di funzioni continue nel punto 0 8 Obiettivo Calcolare limiti di forme indeterminate ; Obiettivo Calcolare limiti di forme indeterminate ( ) 0 sen Obiettivo Calcolare limiti di forme indeterminate tenendo conto che lim 0 Obiettivo Calcolare limiti di forme indeterminate tenendo conto che lim + e Teoria in sintesi Obiettivo Studiare i punti di discontinuità Teoria in sintesi 9 Obiettivo Applicare il teorema di Weierstrass 9 Obiettivo 8 Applicare il teorema di esistenza degli zeri Teoria in sintesi Obiettivo 9 Determinare gli asintoti verticali di una funzione Obiettivo 0 Determinare gli asintoti orizzontali di una funzione Obiettivo Determinare gli asintoti obliqui di una funzione Teoria in sintesi 9 Obiettivo Primo approccio allo studio di una funzione 0 Attività di sportello - Attività di sportello - Attività di sportello - Verifica conclusiva Soluzioni Funzioni goniometriche - Formule goniometriche - Curve goniometriche - Identità ed equazioni goniometriche 0 - Disequazioni goniometriche - Triangoli rettangoli - Triangoli qualunque - Funzioni: proprietà e operazioni - Limiti di funzioni - Funzioni continue 9

4 Funzioni goniometriche Teoria in sintesi Definizione Fissato un sistema di riferimento cartesiano XOY si dice circonferenza goniometrica γ la circonferenza avente per centro l origine e raggio uguale a. Y O α P AP α ( A(; 0) X Il punto A(; 0) intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse è detto origine degli archi che supponiamo orientati positivamente cioè in verso antiorario. La lunghezza α dell arco A P indica la misura in radianti dell angolo AOP. Definizione Si definiscono coseno e seno di α rispettivamente l ascissa e l ordinata del punto P e si scrive: P(cos α; ). Il punto P è sulla circonferenza per cui vale: cos α+sen α Proprietà delle funzioni seno e coseno ; ; ; Y (0; ) ; 90 0 ; ; Le funzioni coseno e seno sono: definite in e hanno codominio [ ; ] limitate: cos α ; cos αcos(α+k) k periodiche: sen(α+k) k ( ; 0) ; ; ; O (0; ) 0 ; (; 0) X ; ; cos è pari sen è dispari Il grafico di sen si ottiene dal grafico di cos mediante una traslazione di vettore v ; 0 O cos sen 0

5 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno sercizio risolto Calcolare il valore dell espressione goniometrica in seno e coseno cos + cos + sen +. Si sostituisce a ogni funzione goniometrica il valore in corrispondenza degli angoli richiesti e si effettua la somma algebrica: cos + cos sen Calcolare il valore delle seguenti espressioni goniometriche in seno e coseno cos + sen + cos sen cos + sen cos + sen cos sen + sen cos + cos + sen + sen cos + sen( ) + sen sercizio risolto cos + sen( ) + cos cos + sen + cos cos cos + sen(0 ) + sen 9 + sen + sen 9 cos 9 + sen + sen Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche Determinare il minimo m e il massimo M della funzione f() + cos nell intervallo [0; ]. Nell intervallo [0; ] la funzione cos assume valore minimo e valore massimo quindi si ha: moltiplicando per sommando cos + cos + + cos + Pertanto la funzione f() + cos per [0; ] ha valore minimo m e valore massimo M. RCS Libri S.p.A. - Divisione Education Milano

6 sercizio guidato. Determinare il minimo m e il massimo M della funzione f() cos nell intervallo 0;. [ ] [ ] Nell intervallo 0; la funzione cos assume valore minimo... e valore massimo... quindi si ha: moltiplicando per sommando 0 cos Pertanto la funzione f() cos per 0; ha valore minimo m... e valore massimo M.... [ ] Calcolare il valore delle seguenti espressioni goniometriche in seno e coseno.. f() + cos [ 0; ]. f() sen [ ; ]... f() cos 0;. f() sen [ ] [ ] f() + sen 0; 8. f() sen f() + sen [0; ] 9. f() + cos ; [ ]

7 Obiettivo Determinare cos a noto sen a (determinare sen a noto cos a) sercizio risolto Determinare cos α sapendo che e che 0 < α <. Si ricava cos α da: cosα ± sen α ± ± 8 ± 9 9 e si accetta solo la soluzione positiva relativa al primo quadrante cos α. 0 < α < : Determinare cos α sapendo che: 0. 0 < α <. < α <. 0 < α <. < α <. 0 < α < 8. < α < Determinare sapendo che:.. 8. cos α 0 < α < cos α 0 < α < cos α 0 < α < cos α < α < cos α < α < 8 cos α < α < 9

8 Teoria in sintesi Proprietà delle funzioni tangente e cotangente Le funzioni tangente e cotangente sono: illimitate tgαtg(α+k) k periodiche: ctgαctg(α+k) k γ Y B O α P T A(; 0) Q X D Proprietà della tangentoide Proprietà della cotangentoide tg è definita e ha codominio + k ( k ) ctg è definita k (k ) e ha codominio tg è dispari ctg è dispari tg ha asintoti + k k O ctg ha asintoti k k O Significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta Sia Y mx l equazione di una retta r passante per l origine O degli assi e sia α la misura in radianti dell angolo che la semiretta positiva dell asse X forma con la semiretta di r i cui punti hanno ordinata non negativa. Sapendo che il coefficiente angolare m è il rapporto m Y con X 0 e utilizzando le nozioni acquisite X di goniometria si ha: tg α m tg α m cos α da cui: tgα α + k cos α Relazione ctg α α k tg α cos α

9 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in tangente e cotangente sercizio risolto Calcolare il valore dell espressione goniometrica tg + ctg + sen in tangente e cotangente. Si sostituisce a ogni funzione goniometrica il valore in corrispondenza degli angoli richiesti e si effettua la somma algebrica. tg + ctg + sen + + Calcolare il valore delle seguenti espressioni goniometriche in tangente e cotangente tg( ) + ctg + sen tg( ) + ctg + sen tg + ctg + sen tg ctg cos tg ( ) ctg + cos tg ctg sen + + cos tg( ) + ctg + ( sen cos ) tg( ) + ctg sen ( ) + ( cos ) sen cos + cos ( ) ( ) sen cos cos Obiettivo Determinare il valore delle funzioni goniometriche sen a (o cos a) tg a ctg a noto cos a (o sen a) Utilizziamo gli stessi esercizi dell obiettivo di questo capitolo. sercizio risolto Determinare cos α tgα ctg α sapendo che e che 0 < α <. Sappiamo che cos α (esercizio risolto nell obiettivo ). Si ricava quindi: tgα ectgα cosα cosα tgα.

10 Determinare cos α tgα ctg α sapendo che:. 0 < α <. < α <. 0 < α <. < α <. 0 < α < 8. < α < Determinare tgα ctg α sapendo che: cos α 0 < a < cos α 0 < a < cos α 0 < a <... cos α < α < cos α < α < 8 cos α < α < 9 Obiettivo Trasformare espressioni goniometriche in altre contenenti solo sen a o cos a sercizio risolto Trasformare l espressione cos α+tg α+ctg α α k in un altra contenente solo. Si utilizzano le relazioni fondamentali: cos α+ tg α+ ctg α + + cos α + + cos α ( ) + + ( ) ( )sen α + ( )sen α Trasformare le seguenti espressioni in altre contenenti solo.. cos α + ctg α α k. cos α(cos α + ctg α) α k. (cos α ctg + α) α k. cos α(cos α + tg α) α k

11 Trasformare le seguenti espressioni in altre contenenti solo cos α. 8. cos α + ctg α α k 0. cos α + tg α α + k 9. sen α + ctg α α k. cosα + tg α ctgα α k Obiettivo Determinare l equazione di una retta che passa per un punto P e forma un angolo a con la direzione positiva dell asse sercizio risolto Determinare l equazione di una retta che passa per il punto P(; ) e forma l angolo α con la direzione positiva dell asse. Si scrive la retta nella forma P m( P ) dove m tgα (m coefficiente angolare). Si sostituiscono i valori dati: + ( ) 0 e si disegna il grafico della retta. α O P(; ) sercizio guidato. Determinare l equazione di una retta che passa per il punto P(; ) e forma l angolo con la direzione positiva dell asse. α Si scrive la retta nella forma:... m(...) dove m tgα(m coefficiente...). P( ;) Si sostituiscono i valori dati: O e si disegna il grafico della retta.

12 . Associare a ogni grafico della retta la sua espressione algebrica. ) + 0 ) 0 ) + 0 a) b) c) P( ; ) α O α O P ; ( ) α O P( ;) Determinare l equazione di una retta passante per il punto P e formante l angolo α con la direzione positiva dell asse.... P( ; ) P( 0 ; ) α α P( ; ) α P( 0; ) P( ; ) α P( ; ) α α 0. Come sono le rette trovate negli esercizi 8 e 9? Si può dedurre dai dati forniti? 8

13 attività di sportello Obiettivi tempo previsto: 0 minuti Punti Obiettivo : calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno. Calcolare il valore dell espressione goniometrica in seno e coseno: cos + sen cos. cos + + sen sen Obiettivo : determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche. Indicare il minimo m e il massimo M della funzione f() cos nell intervallo ;. Obiettivo : determinare cos α noto (determinare noto cos α). Determinare cos α sapendo che e che 0 α < <. Obiettivo : calcolare il valore di espressioni goniometriche in tangente e cotangente. Calcolare il valore dell espressione goniometrica in tangente e cotangente: ctg + tg ctg + tg ctg tg +. attività di sportello Obiettivi tempo previsto: 0 minuti Punti Obiettivo : determinare il valore delle funzioni goniometriche (o cos α) tg α ctg α noto cos α (o ) Obiettivo : trasformare espressioni goniometriche in altre contenenti o cos α. Determinare cos α tgα ctg α sapendo che e che 0 < α <.. Trasformare la seguente espressione in un altra contenente solo : ctg α tg α ( cos α) α k. ctg α + tg α Obiettivo : determinare l equazione di una retta passante per un punto P e formante un angolo α con la direzione positiva dell asse. Determinare l equazione di una retta passante per il punto P( ; ) e formante l angolo α con la direzione positiva dell asse. 9

14 Verifica conclusiva tempo previsto: ore Argomenti Quesiti Punti Espressione goniometrica Calcolare il valore dell espressione: cos tg + sen tg tg cos Espressione Trasformare in funzione di cos α con 0 < α < l espressione: goniometrica cos α ( ctg α + ) tg α + tg α + Funzioni Dell angolo α si sa < α < e determinare il goniometriche valore di cos α tgα ctg α. tg α ctgα cos α Calcolare il valore di +. tg α + ctgα cos α Studio di una funzione Data la funzione + sen determinare il dominio il minimo m e il massimo M nell intervallo I 0;. Equazione Determinare l equazione di una retta r passante per il punto P(; ) di una retta e formante l angolo α con la direzione positiva dell asse. Determinare poi l equazione della retta perpendicolare p alla retta r e passante per il punto Q(0; ). Determinare il valore dell angolo β che la retta p forma con la direzione positiva dell asse. 0