Corso di Analisi: Algebra di Base. 7^ Lezione
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- Stefania Gatto
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1 Corso di Analisi: Algebra di Base 7^ Lezione Goniometria.Elementi di trigonometria piana. Unità di misura degli angoli. Misura di angoli orientati. Circonferenza goniometrica. Angoli e archi noti. Le funzioni, cos e tg. Relazioni fondamentali. Allegato Esercizi.
2 GONIOMETRIA ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA Ricorderemo innanzitutto alcuni concetti di base sugli angoli. Definiremo angolo come la parte di piano limitata da due semirette uscenti da un punto comune detto vertice. Es: β α Le semirette OA e OB definiscono quindi sempre due angoli piani, notati α $, β $. Le semirette OA e OB sono dette lati e O vertice. La somma dei due angoli, in cui viene diviso un piano, ci definisce quello che chiameremo angolo giro (60. Se i lati di un angolo sono opposti tra loro, i due angoli del piano sono detti piatti. L angolo non contenente il prolungamento dei suoi lati dicesi convesso, l altro concavo.
3 UNITA DI MISURA DEGLI ANGOLI Sistema di misurazione sessagesimale : Prevede la misura degli angoli in gradi. Per grado si intende la 60^ parte dell angolo giro ( la 90^ parte di un angolo retto. La sessantesima parte di un grado si dice minuto primo, la sessantesima parte di un primo, minuto secondo. Sistema di misurazione in radianti : Per angolo radiante intenderemo l angolo al centro di una circonferenza con raggio arbitrario, sotteso da un arco la cui misura uguaglia quella del corrispondente raggio. Dal momento che vi è un rapporto di proporzionalità tra gli archi di circonferenza e i rispettivi angoli al centro, prendendo come unità di misura per gli archi il raggio e per gli angoli il radiante, consegue che le misure di arco e angolo vengono espresse dallo stesso numero.
4 Ecco dunque che se la misura di una circonferenza, riferita al proprio raggio, è espressa da, anche l angolo giro, in radianti è. Allo stesso modo per l angolo piatto (, l angolo retto (. Ecco che allora arriveremo ad esprimere la relazione che ci contirà di volta in volta di passare dai gradi ai radianti e viceversa. Indicando con la misura in radianti di un angolo e con α la corrispondente misura in gradi avremo che: 60 : α : da cui: α α viceversa : α 80 Definiremo come angolo orientato, quell angolo i cui lati sono considerati in un certo ordine, cioè quando è stabilito quale dei due lati è da considerarsi come primo. Es: Angolo ab, con a primo lato, b secondo lato. Il lato a viene anche detto lato origine, b lato termine dell angolo.
5 MISURA DI ANGOLI ORIENTATI Abbiamo ricordato precedentemente cosa intendiamo per misura assoluta di un angolo; ora valuteremo cosa significhi misura relativa di un angolo. Se fissiamo su un piano un punto O e una semiretta a uscente da esso. La semiretta può ruotare attorno ad O in due versi opposti tra loro: verso antiorario e verso orario. Convenzionalmente diremo il verso antiorario verso positivo, il verso orario verso negativo. Definiremo quindi l angolo orientato a b, di vertice O, positivo, quando esso è descritto dal lato origine a tramite una rotazione positiva attorno ad O che porta a a sovrapporsi a b; l angolo orientato a b, negativo, quando esso è descritto dal lato origine a tramite una rotazione negativa attorno ad O che porta a a sovrapporsi a b. Es:
6 Angolo convesso Angolo concavo a b a b positivo negativo Chiameremo sistema cartesiano ortogonale associato all angolo orientato a b, di vertice O, il sistema d assi avente per origine il vertice O, il semiasse positivo delle coincidente con il lato origine a e il verso positivo dell asse y tale che l angolo orientato ^y abbia come misura +. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definiremo circonferenza goniometrica ( ossia riferita alla misura degli angoli, una circonferenza il cui centro coincide con l origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e il cui raggio è supposto di misura unitaria. C O R B(0,+ P P T A (-,0 O P A (+,0 B (0,-
7 La semiretta a uscente dall origine O incontra la circonferenza nel punto P e descrive a partire da A, intersezione dell asse cartesiano con C, un angolo orientato. L ordinata del punto P, proiezione di P sull asse y, misura del segmento OP, esprime quella che chiameremo. Allo stesso modo l ascissa del punto P, proiezione di P sull asse, misura del segmento OP, esprime il cos. Quindi il o e il coo di un angolo orientato sono funzioni dell ampiezza dell angolo stesso. L ordinata del punto T, intersezione di a con la tangente a C condotta da A, misura del segmento AT, esprime la tang nota come il rapporto tra cos. Riassumendo : OP OP cos OP AT tg OP Nota: Con la linea sopra gli estremi di un segmento, in questo caso, indicheremo la loro misura. E del tutto evidente che il valore di, cos e tg variano al variare dell angolo descritto. Il valore di assumerà il valore minimo nel punto B (0,- con valore - ; il valore massimo nel punto B(0,+ con valore +, ossia la misura completa del raggio; così come il cos che in A (-,0 ha valore - e in A(+,0 valore massimo. Parleremo quindi, per il o e il coo, di valori limitati tra - ed +. Più precisamente al crescere di da 0 a il o varia crescendo da 0 ad, assumendo tutti i valori intermedi. Da a il o varia decrescendo da a 0 ; da a decresce da 0 a - ; e infine da a cresce da - a 0. Così come il coo quando varia da 0 a decresce da a 0 ; con da a decresce da 0 a -; con da a cresce da - a 0 ; e con da a cresce da 0 a.
8 Allo stesso modo non avrà valori limitati la tg, poiché esprime il rapporto tra o e coo e quindi i valori sono variabili in tutto il campo reale, tranne per quei valori di che annullano il coo ; in tali valori +, + la tg non esiste.quindi diremo che la tangente assume qualsiasi valore, positivo, negativo o nullo, nell intervallo (, +. ANGOLI E ARCHI NOTI Sarà interessante ora considerare il valore del, cos, tang, per alcuni particolari valori dell angolo. Per particolari valori dell angolo intenderemo tutti quegli angoli multipli dell angolo di 0,, radianti Per calcolare i relativi corrispondenti valori delle funzioni, cos, tang, per tali angoli, dobbiamo considerare le proprietà dei triangoli rettangoli. Per determinare ad esempio il valore del o e del coo dell angolo di avremo:
9 cos OA, AP e quindi per determinare tali valori sarà necessario valutare le proprietà del triangolo equilatero. Quindi il, per + vale la metà della misura del raggio : Di conseguenza cos+ 6. Riassumendo avremo : cos tang 0 ( ( ( ( ( ( + ( ( ( ( Abbiamo considerato quindi tutti i valori del o, del coo e della tangente di quelli che chiameremo archi (angoli noti, limitatamente ai primi due quadranti ; lasceremo al lettore il compito di ultimare la tabella per i rimanenti quadranti.
10 LE FUNZIONI SENX, COSX, TANGX Ora diventa assai interessante riportare in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oy, i valori degli angoli (, in radianti, valutati in riferimento all asse delle ascisse, e i corrispondenti valori del o, coo e tangente, valutati in riferimento all asse delle ordinate. Quindi indicando con la misura in radianti di un angolo orientato e con y il corrispondente valore del o, avremo il grafico seguente: y + T Per valori dell angolo variabili tra 0 e, il o assume gli stessi valori che egli assume quando la misura dell angolo varia da a 4, da 4 a 6, ecc. così come per l angolo che varia da a 4, da 4 a 6, ecc. Tale proprietà definisce quella che chiameremo periodicità di una funzione. In sostanza definiremo periodo di una funzione l intervallo ( valutato in radianti per il quale la funzione riassume gli stessi valori assunti nell intervallo [ 0, ]. Quindi la funzione o è una funzione periodica dell angolo, con periodo radianti.
11 La relazione che qualifica una funzione periodica è: F( + T F ( con T, periodo. Allo stesso modo la funzione coo è una funzione periodica di periodo T. y cos T
12 Infine rappreteremo la funzione tang avente il periodo T, dimezzato rispetto alle funzioni o e coo. y tg T
13 RELAZIONI FONDAMENTALI ( per uno stesso angolo orientato Applicando il teorema di Pitagora al triangolo OPH si ottiene : OH + HP OP P O H E quindi con la relativa sostituzione si ha: + cos detta relazione fondamentale della trigonometria e di qui poi si possono ottenere le : e anche : cos cos ± cos cos ±
14 Inoltre per determinati tipi di problemi che si riscontreranno in seguito, citeremo le seguenti formule, non dimostrate. cos formule di duplicazione del o cos cos formule di duplicazione del coo tg tg tg formule di duplicazione della tangente ± cos formule di bisezione del o + cos cos ± formule di bisezione del coo cos tg ± + cos formule di bisezione della tangente p q p + q ( p ( q cos formule di Prostaferesi del o cos( p cos( q p q p + q formule di Prostaferesi del coo
15 Esercizi della 7 lezione di Algebra di base ESERCIZI SUL CALCOLO DELLE ESPRESSIONI GONIOMETRICHE ESERCIZI SULLE IDENTITA' GONIOMETRICHE
16 USO DEI PULSANTI Visualizza solo la soluzione dell'esercizio Visualizza le soluzioni di tutti gli eserciz i Nasconde le soluzioni T orna all'indice degli esercizi T orna all'indice della lezione
17 Calcolare il valore delle seguenti espressioni goniometriche :. tg cos 4 tg cos 0 4. cos( + cos ( 6 6 cos ( + cos ( tg( 0 + cos ( 45 cos( 60 + ( 0 tg ( 0 + cos ( 45 cos( 60 + ( cos( cos( ( + cos 5 + cos ( cos( ( + cos cos ( 0 tg( 45 cos ( 45 ( 45 ( ( 0 tg( 45 cos ( 45 + cos( 60 (
18 6. tg + + cos 4 4 tg + + cos cos( cos( ( 5 + cos ( cos( ( ( + ( cos( ( + ( cos( tg 4 9. cos( 4 ( cos tg 4 ( 4 ( ( 0 tg ( 5 cos( 5 4 ( 70 + cos ( 0 ( 0 tg ( 5 cos( 5 4 ( 70 + cos ( 0 ( (
19 Verificare le seguenti identità goniometriche utilizzando la relazione fondamentale e le formule di + cos ; cos ; cos cos duplicazione : (. + ( cos ( cos ( cos ( cos cos +. + tg cos cos + tg cos + cos cos cos + cos cos cos. + cos 0 + cos 0 cos + cos 0 4. cos + cos 0 cos + cos 0 ( + cos 0 cos + cos 0 cos 5. cos ( cos cos cos cos cos ( cos ( cos ( cos ( cos 4 + cos
20 7. cos cos cos cos cos 4 ( cos + ( cos cos cos cos 4 + cos cos 9. 6 cos + cos4 6 cos + cos 4 8 cos + cos 6 cos + ( cos 4 cos 6 cos 6 cos 0. tg cos + tg cos + cos tg cos + cos cos tg tg tg
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