I TRIANGOLI AB < AC + BC

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1 I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa. Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA : 1. TEOREMA DELLA FORMA - è una figura indeformabile, a differenza degli altri poligoni con quattro o più lati; 2. TEOREMA DELLE DIAGONALI - il triangolo non ha diagonali; d tot = n(n 3) : 2 = 3(3 3) : 2 = 0 3. TEOREMA DEI 2 LATI - il lato maggiore deve essere minore della somma degli altri due. AB < AC + BC 4. TEOREMA DEI TRE PUNTI - se il triangolo è inscritto i 3 vertici toccano la circonferenza. Se il triangolo è circoscritto i lati toccano la circonferenza in 3 punti e si dice che i lati sono TANGENTI alla circonferenza. Questo teorema dimostra che tutti i triangoli sono sempre circoscrivibili e inscrivibili a un cerchio. 5. TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI - la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto, ossia 180 ; (n 2) 180 = (3 2) 180 = TEOREMA DELL ANGOLO ESTERNO - ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti a esso. ˆB esterno = Â + Ĉ 7. TEOREMA DEGLI ANGOLI ACUTI - due angoli interni sono sempre acuti e il terzo angolo classifica il triangolo, (non essendo possibile che più di un angolo interno sia retto o ottuso). 8. TEOREMA DEL LATO E DELL ANGOLO OPPOSTO - a lato maggiore sta sempre opposto l angolo maggiore e viceversa. (ES: all ipotenusa è opposto l angolo retto)

2 CLASSIFICAZIONE: 1. I triangoli possono essere classificati in base alla LUNGHEZZA RELATIVA DEI LATI: In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si può definire equivalentemente come triangolo equiangolo, ovvero un triangolo avente i suoi angoli interni di uguale ampiezza, pari a 60. In un triangolo isoscele due lati hanno lunghezza uguale chiamati lati obliqui. Il terzo lato è detto base. Un triangolo isoscele si può definire equivalentemente come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza chiamati angoli alla base. L angolo opposto al lato definito base viene detto angolo al vertice. In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può definire equivalentemente come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze. 2. I triangoli possono essere classificati anche in base alle DIMENSIONI DEL LORO ANGOLO INTERNO PIÙ AMPIO; sono descritti di seguito usando i gradi: Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90. Il lato opposto all'angolo retto è detto ipotenusa ed è il lato più lungo del triangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti. Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90, cioè ha 2 angoli acuti e uno ottuso. Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90, cioè ha tre angoli acuti. Problema 1: Un triangolo scaleno ha l angolo esterno in B che misura 112 e l angolo interno A è 2/3 dell angolo interno in C. Calcola la misura dell angolo esterno in A e l angolo esterno in C. Problema 2: Un triangolo rettangolo ha l angolo esterno in B che misura 123. Calcola la misura dei tre angoli interni. Problema 3: Un triangolo isoscele ha gli angoli acuti che sono uno i 2/3 dell altro. Calcola la misura dei tre angoli interni. Problema 4: In un triangolo isoscele l angolo alla base è i 9/2 di quello al vertice. Calcola la misura dei tre angoli interni. Problema 5: Il perimetro di un triangolo isoscele è 66 cm e la base è 5/3 del lato obliquo. Calcola i tre lati del triangolo.

3 PUNTI NOTEVOLI 1. ORTOCENTRO E l incontro delle ALTEZZE del triangolo. L altezza è quel segmento che unisce un vertice con il lato opposto in maniera tale da formare un angolo da 90. Ogni altezza è infatti perpendicolare al lato su cui cade, perciò si parla di altezza relativa al lato Ogni triangolo ha 3 altezze. (interno) (sul vertice dell angolo retto) (esterno all angolo ottuso) TEOREMA DELLE 3 ALTEZZE In ogni triangolo ogni lato ha la sua altezza, per cui il prodotto di ciascun lato per la propria altezza è sempre uguale. (se moltiplichiamo ogni lato per la propria altezza otteniamo sempre lo stesso valore) a h a = b h b = c h c 2. BARICENTRO E l incontro delle MEDIANE del triangolo. La mediana è quel segmento che unisce un vertice con il lato opposto nel suo punto medio. Ogni mediana divide il lato in due parti uguali. Ogni triangolo ha 3 mediane. (sempre interno al triangolo di qualsiasi tipo sia) TEOREMA DELLE 3 PARTI In ogni triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti che sono una il doppio dell altra. (se dividiamo la mediana in 3 segmenti unitari, il baricentro li separa in due parti da 1 segmento unitari e da 2 segmenti unitari)

4 3. INCENTRO E l incontro delle BISETTRICI del triangolo. La bisettrice è quel segmento che unisce un vertice con il lato opposto dividendo l angolo in due parti uguali. Ogni triangolo ha 3 bisettrici. (sempre interno al triangolo di qualsiasi tipo sia) PRIMO TEOREMA DELL EQUIDISTANZA In un qualsiasi triangolo l incentro è equidistante dai 3 lati e coincide con il centro della circonferenza inscritta 4. CIRCOCENTRO E l incontro degli ASSI del triangolo. L asse è quel segmento perpendicolare ad ogni lato nel punto medio (non esce da nessun vertice). Ogni triangolo ha 3 assi (interno) (sul punto medio dell ipotenusa) (esterno ma opposto all angolo ottuso) SECONDO TEOREMA DELL EQUIDISTANZA In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai 3 vertici e coincide con il centro della circonferenza circoscritta TEOREMA DELGLI ANGOLI AL CENTRO E ALLA CIRCONFERENZA In un qualsiasi triangolo l angolo che si forma nel circocentro è detto angolo al centro ed è il doppio dell angolo che si forma sulla circonferenza circoscritta ed avente gli estremi in comune nel triangolo ABV ho: AOB = 2AVB oppure AVB = AOB 2

5 PARTICOLARI PROPRIETA DEI TRIANGOLI 1. TRIANGOLO ISOSCELE L altezza relativa alla base è sia mediana, che altezza, che asse della base, nonché bisettrice dell angolo al vertice opposto alla base. Per tale motivo la base è suddivisa in due parti congruenti (CH = HB), il segmento AH è perpendicolare ad HB e i triangolo isoscele è suddiviso in due triangoli rettangoli uguali CAH e HAB Tutti i punti notevoli, anche se non coincidenti tra loro, coincidono però in tale segmento. 2. TRIANGOLO EQUILATERO Tutti i punti notevoli sono concentrati in un unico punto detto semplicemente CENTRO, che è il centro anche delle due circonferenze (inscritta e circoscritta). Per ciascun lato la mediana, l asse, la bisettrice e l altezza coincidono in un unico segmento. TEOREMA DEL DOPPIO RAGGIO In ogni triangolo isoscele e in ogni triangolo equilatero l altezza relativa alla base è suddivisa in 3 parti uguali: Il raggio del cerchio che si può inscrivere dentro al triangolo è detto APOTEMA e misura 1/3 dell altezza relativa alla base. (l altezza è il triplo dell apotema) Il raggio del cerchio che si può circoscrivere fuori al triangolo è detto RAGGIO ESTERNO e misura 2/3 dell altezza relativa alla base. (l altezza è divisibile in 3 SU e l apotema è 1 SU mentre il raggio esterno è 2 SU)

6 3. TRIANGOLO RETTANGOLO TEOREMA DELLA MEDIANA RELATIVA ALL IPOTENUSA In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa al lato maggiore (ipotenusa) divide tale lato in due parti uguali alla mediana stessa. (la mediana è uguale alla metà dell ipotenusa) AM = CM = MB Questo teorema permette di inscrivere il triangolo rettangolo in una semicirconferenza poiché la mediana sarebbe congruente al raggio CONSEGUENZA DEL SECONDO TEOREMA DELL EQUIDISTANZA In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici e coincide con il centro della circonferenza circoscritta Questo teorema permette di inscrivere il triangolo rettangolo in una semicirconferenza poiché il circocentro coincide con il centro del cerchio circoscritto e l ipotenusa va a coincidere con il diametro. TEOREMA DEGLI ANGOLI PARTICOLARI In un qualsiasi triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari (la loro somma è 90 ). Questo teorema permette di considerare due tipi di angoli acuti: due angoli da 45 - metà di un quadrato avente la diagonale congruente all ipotenusa e i due cateti uguali tra loro essendo i lati del quadrato. Si ottiene un triangolo rettangolo isoscele un angolo da 30 e un angolo da 60 - metà di un triangolo equilatero avente il lato congruente all ipotenusa. Il cateto opposto all angolo da 30 misura metà dell ipotenusa.

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