POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA
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- Gianfranco Micheli
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1 POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA Poligoni Inscritti ad una circonferenza: Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza e gli assi dei lati s intersecano in un unico punto detto: circocentro. Diremo che il poligono è inscritto alla circonferenza, mentre la circonferenza è circoscritta al poligono. Esercizio 1. Dati i seguenti poligoni regolari di lato x cm ( se avessi difficoltà utilizza x = 4 (cm)): Disegna la circonferenza circoscritta al poligono e calcolane perimetro e area. Il triangolo equilatero. CH = Raggio circonferenza circoscritta = C = A = Il quadrato. AC = Raggio circonferenza circoscritta =. C = A = 1
2 Il pentagono regolare. Per calcolare il raggio abbiamo bisogno il numero Raggio circonferenza circoscritta = C = A = L esagono regolare. AD = Raggio circonferenza circoscritta= C = A = 2
3 Esercizio 2. Inscrivi i seguenti triangoli in una circonferenza. Triangolo Triangolo Triangolo Come puoi calcolare il raggio? Esercizio 3. Un quadrilatero può essere iscritto ad una circonferenza, se la somma degli angoli opposti è 180. Verifica quali dei seguenti quadrilateri possono essere circoscritti da una circonferenza. 3
4 Poligoni Circoscritti ad una circonferenza: Un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza e le bisettrici degli angoli s intersecano in un unico punto detto: incentro. Diremo che il poligono è circoscritto alla circonferenza, mentre la circonferenza è inscritta al poligono. Esercizio 1. Dati i seguenti poligoni regolari di lato x cm ( se avessi difficoltà utilizza x = 4 (cm)): Disegna la circonferenza inscritta al poligono e calcolane perimetro e area. Calcola l area del poligono regolare utilizzando la ben nota formula. Il triangolo equilatero. CH = Raggio circonferenza inscritta =. C = A = Area triangolo utilizzando il raggio della cironferenza inscritta:... Formula inversa: Il quadrato. AC = Raggio circonferenza inscritta = C = A = Area quadrato utilizzando il raggio della cironferenza inscritta:. Formula inversa:. 4
5 Il pentagono regolare. Per calcolare il raggio abbiamo bisogno il numero Raggio circonferenza inscritta = C = A = Area pentagono utilizzando il raggio della cironferenza inscritta:. Formula inversa:. L esagono regolare. AD = Raggio circonferenza inscritta = C = A = Area esagono utilizzando il raggio della cironferenza inscritta:. Formula inversa:. 5
6 Esercizio 2. Circoscrivi i seguenti triangoli in una circonferenza. Triangolo Triangolo Triangolo Come calcoleresti l area utilizzando il raggio della circonferenza inscritta al triangolo?. Formula inversa:. Esercizio 3. Verifica quali dei seguenti quadrilateri sono circoscrivibili. un quadrilatero si può circoscrivere ad una circonferenza se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali: per esempi il rombo e il quadrato sono sempre circoscrivibili, mentre invece il.. e il..no. 6
7 Esercizio 4. Abbiamo visto che non è possibile circoscrivere il rombo, poiché la somma degli angoli opposti 180, mentre è possibile inscrivere una circonferenza, analizziamo meglio questa situazione. Disegna in un rombo di 6 cm di lato, la circonferenza inscritta. Come calcoleresti l area del rombo utilizzando il raggio della circonferenza inscritta? AB = BC = CD = AD = x ( cm) Calcolo dell area: Area..=... Area..=... Area..=... Area..=... Area rombo:... Formula inversa:. Osservazione: Disegna l altezza del rombo, che rapporto hai con il raggio della circonferenza inscritta? Esercizi: a) Dato un rombo avente le diagonali di 4 cm e 6 cm: i) Disegnalo in scala 1 :1. ii) Calcola l area. iii) Calcola il perimetro. iv) Disegna la circonferenza inscritta al triangolo. v) Calcola il raggio della circonferenza inscritta al triangolo. vi) Calcola il rapporto tra il perimetro della cerchio inscritta e quello del rombo. vii) Calcola il rapporto tra l area del cerchio inscritto e l area del rombo. b) L area d un rombo è di 24 cm 2, mentre la sua altezza è di 4,8 cm, calcola: i) La misura del raggio della circonferenza inscritta al rombo. ii) La misura del lato del rombo. iii) La misura della diagonale maggiore. iv) La misura della diagonale minore. v) Disegna il rombo e la circonferenza inscritta. 7
8 Esercizi sui poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza. Domande a scelta multipla: Quale delle seguenti affermazioni è falsa? 1) È sempre possibile inscrivere in una circonferenza: a) Un rombo. c) Un trapezio isoscele. b) Un rettangolo. d) Un quadrato. 2) È sempre possibile inscrivere in una circonferenza: a) Un rombo. c) Un trapezio isoscele. b) Un rettangolo. d) Un parallelogrammo. 3) Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza, allora è rettangolo. b) Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza, allora è un poligono regolare. c) Si possono circoscrivere ad una circonferenza solo quadrilateri convessi. d) Se un quadrilatero è circoscritto a una circonferenza allora è un rettangolo. 4) Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Il lato dell esagono regolare è pari al raggio della circonferenza inscritta. b) La diagonale del quadrato è uguale al raggio dalla circonferenza circoscritta. c) Il lato del quadrato è congruente al raggio della circonferenza inscritta. d) Il rapporto tra il lato del triangolo equilatero circoscritto e quello inscritto alla stessa circonferenza è due. Risolvi i seguenti esercizi, disegnando sempre la situazione. 5) Un esagono regolare ha il perimetro di 36 cm. Calcola la misura del raggio della circonferenza inscritta e circoscritta. 6) Un rettangolo ABCD ha le due dimensioni di 8cm e di 6 cm. Calcola: a) Il raggio della circonferenza circoscritta al rettangolo. b) Il rapporto tra l area del rettangolo e quella del cerchio. 7) Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una circonferenza di raggio 6 cm. Sapendo che il lato obliquo misura 18 cm, calcolarne il perimetro e l area. 8) Calcola il raggio della circonferenza inscritta in un rombo avente le diagonali di 144 cm e di 60 cm. 9) Un rettangolo ha il perimetro di 28 cm e una dimensione è i ¾ dell altra. Calcola il diametro della circonferenza circoscritta al rettangolo. 10) I lati di un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza. Sai ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza di centro O, tale che le misure di due lati opposti siano rispettivamente 23 cm e 45 cm, mentre gli altri due lati opposti sono l uno il triplo dell altro. Calcola la misura dei lati mancanti 11) Un triangolo equilatero ABC, ha l altezza di 27 dm, calcola: a) Il perimetro del triangolo. b) L area del triangolo. c) La misura del raggio della circonferenza inscritta al triangolo. d) La misura del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo 8
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