Corso di preparazione ai Giochi di Archimede Geometria e Logica

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1 Corso di preparazione ai Giochi di Archimede Geometria e Logica 1) Claudia ha disegnato sul quaderno l iniziale del suo nome, una C. Il disegno è stato fatto tagliando esattamente a metà una corona circolare con raggio esterno 4 cm e raggio interno 1 cm. Quanto misura il perimetro della C? (Arch 2006) a) 5 cm b) 5π cm c) (6+5π) cm d) (5+6π) cm e) (6+10 π) cm 2) Nel quadrato ABCD, avente il lato lungo 12 m, il lato AB viene diviso in tre segmenti AE, EF e FB di uguale lunghezza. Si tracciano i segmenti EC e FD che si intersecano nel punto H. Quanto è l area del triangolo HCD? (Arch 2006) a) 36 m² b) 48 m² c) 54 m² d) 60 m² e) 72 m² 3) Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q e raggio uguale al lato di Q. Il volume dell intersezione tra Q e S è: (Arch 2006) a) Un ottavo del volume della sfera b) Un quarto del volume della sfera c) Un sesto del volume del cubo d) Un quarto del volume del cubo e) Metà del volume del cubo 4) Nella figura il raggio del cerchio più grande misura 20cm. Quanto misura il raggio dei cerchi colorati in grigio? (Arch 2007) a) 5cm b) 6cm c) 8 cm d) 9 cm e) 10 cm 5) Mago Merlino posa a terra il suo cappello, un cono retto di altezza cm e di base una circonferenza di raggio cm. Una formica, partendo dal punto P sul bordo del cappello, vuole raggiungere il punto Q situato nel punto medio dell apotema della parte opposta (vedi figura). Quanto misura il cammino più breve che la formica dovrà percorrere sulla superficie del cappello per raggiungere Q? (Arch 2012)

2 a) cm b) cm c) cm d) cm e) Nessuna delle precedenti 6) Quale delle seguenti figure non può essere ottenuta mediante intersezione di due triangoli equilateri giacenti sullo stesso piano e delle stesse dimensioni? a) Un punto b) Un segmento c) Un triangolo scaleno d) Un triangolo ottusangolo e) Un trapezio scaleno f) Un pentagono non regolare 7) Una sfera di piombo del diametro di 64 cm viene fusa. Il piombo che se ne ricava viene usato tutto per fare 64 sferette di piombo tutte uguali. Qual è il diametro delle 64 sferette? a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm d) 8 cm e) 16 cm f) 32 cm 8) Un triangolo scaleno ABC ha l area di 7200cm². Detti D, E ed F i punti medi dei suoi lati, indichiamo con P, Q ed R i punti medi del triangolo DEF. Qual è l area del triangolo PQR? a) 144 cm² b) 288 cm² c) 450 cm² d) 800 cm² e) 900 cm² f) Può assumere diversi valori che dipendono dalla forma iniziale del triangolo ABC 9) Disponendo quattro triangoli rettangoli identici come nella figura di sinistra l area del quadrato bianco è 17 m². Disponendoli invece come nella figura di destra, l area del rombo bianco è 8 m². Quanto vale l area del quadrato ABCD? a) 19 m² b) 24 m² c) 25 m² d) 32 m² e) 36 m² 10) Bilbo e i suoi compagni, persi nelle tenebre del Bosco Atro, senza saperlo si trovano sul vertice di un grande triangolo equilatero di lato L. da lì essi seguono il sentiero, che si dirige fino al punto medio del lato opposto e devia quindi verso il punto medio di uno degli altri due lati. Una volta arrivati in quella posizione, la strada devia di 90 gradi e si ricongiunge infine con un tratto

3 di sentiero per cui erano già passati! Quanta strada hanno percorso i nani e lo hobbit, dalla partenza fino a quando si rendono conto di trovarsi in un luogo in cui erano già passati? 11) Sono dati due quadrati di lato 10 cm, uno dei quali ha un vertice nel centro dell altro. L area della parte comune ai due quadrati misura a) 20 cm² b) 25 cm² c) 40 cm² d) 50 cm² e) Dipende dalla posizione 12) In una scultura d'arte moderna è rappresentato un cerchio nascosto in parte da un triangolo equilatero, come in figura: il cerchio ha il diametro lungo quanto l'altezza del triangolo, la quale misura m. Quanto vale l'area della parte del cerchio non coperta dal triangolo? a) m² b) m² c) m² d) m² e) m² 12) Sapendo che il perimetro del parallelogramma FECD è 4, l area del C triangolo equilatero ABC risulta uguale a: D a) 8 b) 3 E c) 4 d) 6 e) 2 3. A F B 13) ABC è un triangolo isoscele, con AB = AC = 10 cm. D ed E sono due punti su AB e AC rispettivamente, entrambi distanti 6 cm da A, e H è il piede dell altezza di ABC relativa a BC. Calcolare il rapporto tra le aree di ABC e di DHE. a) 25/9 A b) 25/12 c) 10/6 C d) 25/6 e) 9/4. 14) Nella figura a fianco, calcolare CD sapendo che OB = 1, = 45, D = 15. B 15) Nel quadrilatero ABCD le diagonali sono ortogonali tra loro e gli angoli in B e in D sono retti. Inoltre AB = AD = 20 cm, BC = CD = 30 cm. Calcolare il raggio della circonferenza inscritta in ABCD. a) 15 cm b) 5 13 cm c) 10 cm

4 d) 6 5 cm e) 12 cm. 16) Due triangoli equilateri hanno il baricentro in comune e l uno si ottiene dall altro con una rotazione di 30 gradi. L area della loro intersezione rappresenta una percentuale dell area di uno dei triangoli che è: a) compresa tra il 50% e il 60% b) compresa tra il 60% e il 70% c) compresa tra il 70% e l 80% d) compresa tra l 80% e il 90% e) compresa tra il 90% e il 100%. 17) In un triangolo ABC scegliamo un punto D su AB e un punto E su AC in modo che la lunghezza di AD sia un terzo di quella di AB e la lunghezza di AE sia un terzo di quella di AC. Sapendo che l area del triangolo ADE è 5m², determinare l area del quadrilatero BCED. a) 10m² b) 20m² c) 25m² d) 30m² e) 40m². 18) Un triangolo equilatero e un quadrato hanno lo stesso perimetro. Quanto vale il rapporto tra la lunghezza di un lato del quadrato e quella di un lato del triangolo? a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 1 e) 8/3. 19) Da un semicerchio di cartone di raggio 10 cm si ritaglia un cerchio di diametro massimo. Dai due tronconi rimasti si ritagliano due cerchi di diametro massimo. Qual è la percentuale di cartoncino sprecata? a) 10% b) 20% c) 25% d) 30% e) 50%. 20) Determinare l area della figura tratteggiata, sapendo che ogni circonferenza ha raggio 1 cm. a) π cm² b) (π 2) cm² c) 2(π 1) cm² d) 2(π 2) cm² e) 4(π 1) cm²

5 21) Il quadrato ABCD disegnato a fianco ha il lato lungo 3 metri. Il segmento EF è lungo 1 metro ed è parallelo ad AB. Quanto vale l area dell esagono ABFCDE? a) 5 m² b) 5,5 m² c) 6,5 m² d) 7 m² e) Nessuna delle precedenti 22) Per il furto a casa de Ricchis i sospetti si sono ristretti a 4 persone : Aldo bruno e senza occhiali, Baldo, bruno e con gli occhiali, Carlo, biondo e con gli occhiali e Dario, biondo e senza occhiali. La polizia ha accertato che il furto è stato commesso da una sola persona, che si è avvalsa di un unico complice. Le deposizioni dei sospetti sono le seguenti: Aldo: Il colpevole è bruno e porta gli occhiali. Baldo: Il colpevole è biondo e non porta gli occhiali. Carlo: Il colpevole porta gli occhiali e il suo complice è Aldo. Dario: Il colpevole è bruno e il suo complice è Carlo. Si sa che le due affermazioni del colpevole sono false, mentre una sola affermazione del complice è falsa. Gli altri hanno detto la verità. Chi sono il colpevole e il suo complice? a) Aldo e Carlo b) Baldo e Carlo c) Baldo e Dario d) Aldo e Dario e) non è possibile dedurlo.

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