Area dei poligoni. Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA.

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1 Area dei poligoni AREA DEI POLIGONI 1 Def: si dice area di una superficie piana la parte delimitata di piano che essa occupa. Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA. Proprietà: due figure congruenti sono sempre equivalenti, ma due superfici equivalenti non sono sempre congruenti. F F A F = A F Def: Figure che possono essere scomposte in figure equivalenti, si dicono EQUISCOMPONIBILI.

2 AREA DEI POLIGONI Proprietà: Figure equiscomponibili sono tra loro EQUIVALENTI. Proprietà: La somma o la differenza fra superfici rispettivamente congruenti da origine a figure equivalenti. Approfondimento: Il tangram è un antico gioco di origine cinese; è costituito da un quadrato diviso in sette pezzi di forme geometriche diverse: - un parallelogramma - un quadrato - cinque triangoli ( grandi, 1 medio e piccoli).

3 AREA DEI POLIGONI 3 Def: misurare una superficie significa calcolare quante volte contiene l unità di misura. L unità di misura delle superfici è il metro quadrato m Si utilizzano multipli e sottomultipli: km hm dam m dm cm mm Per passare da un unità di misura all altra si deve MOLTIPLICARE o DIVIDERE per 100

4 AREA DEI POLIGONI 4 AREA DEI QUADRILATERI Rettangolo lati paralleli e congruenti due a due base e altezza tutti gli angoli di 90 0 (retti) ha due diagonali congruenti, che si tagliano a metà ha due assi di simmetria P = (b + h) A = b h A = b h b = A h h = A b

5 AREA DEI POLIGONI 5 Quadrato: lati tutti congruenti angoli tutti congruenti e di 90 0 due diagonali congruenti e che si tagliano a metà 4 assi di simmetria P = 4l Formula inversa: A = l l = l P = 4l l = P 4 A = l l = A Parallelogrammo Un parallelogrammo è equivalente a un rettangolo avente base e altezza rispettivamente congruenti. lati paralleli a due a due DE e CF sono le due altezze non ha assi di simmetria le due diagonali si tagliano a metà, ma non sono congruenti tra loro P = (b + l) A = b h

6 AREA DEI POLIGONI 6 Formule inverse: P = (b + l) P = b + l P l = b b = P l l = P b A = b h b = A h h = A b Rombo: tutti i lati congruenti e paralleli due a due angoli congruenti due a due diagonali perpendicolari che si tagliano a metà, che dividono la figura in 4 triangoli rettangoli congruenti assi di simmetria sono le diagonali Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente per lati le diagonali del rombo. d 1 = diagonale maggiore d = diagonale minore A = d 1 d

7 AREA DEI POLIGONI 7 Formule inverse A = d 1 d A d 1 = d Quindi d 1 = A d d = A d 1 Osservazione 1: Il rombo è anche un parallelogrammo, quindi valgono anche le formule viste per il parallelogrammo! A = AC BD = AB DH Osservazione : Il quadrato è un rombo particolare avente le diagonali congruenti. Per il quadrato risulta quindi: da cui: A = d d = A d = A

8 Quadrilateri aventi le diagonali perpendicolari AREA DEI POLIGONI 8 L area del rettangolo ottenuto è uguale al doppio dell area del quadrilatero ABCD: A rettangolo = AC BD A ABCD = A rettangolo = AC BD = d 1 d Trapezio SCALENO ISOSCELE RETTANGOLO Lati tutti diversi Angoli tutti diversi Altezze: DK=CH AD = BC lati obliqui A = B e C = D Altezze: DK=CH Diagonali congruenti A = D = 90 AD è lato e altezza AD=CH HB è proiezione del lato obliquo BC sulla base maggiore

9 AREA DEI POLIGONI 9 OSSERVAZIONE: ogni trapezio è equivalente alla metà del parallelogrammo avente per base la somma delle basi del trapezio e la stessa altezza. Quindi l area del trapezio è la metà: Se raddoppio il trapezio ottengo un parallelogramma, la cui area misura: A t = AD DH Ma AD = AB + CD base maggiore+base minore A p = AD DH A t = (AB + CD) DH Formule inverse: (B + b) = A h A = (B + b) h B = A h b b = A h B h = A (B + b)

10 AREA DEI POLIGONI 10 AB = l q 6 = 10 6 = 60 m BC = l q 4 = 10 4 = 40 m SCHEMA DEI PROBLEMI N. 6 BC = 4 6 AB A = 400 m A q = A 6 4 = 400 = 100 m 4 l q = A q = 100 = 10 m Regola: data l area di un quadrilatero e sapendo che una dimensione è una data frazione dell altra dimensione, si procede: 1. Si trova l AREA del quadratino che rappresenta l unità frazionaria A q = A N D. Si trova l unità frazionaria l q = A q 3. Si moltiplica l unità frazionaria una volta per il denominatore e una volta per il numeratore AB = l q N BC = l q D