C = d x π (pi greco) 3,14. d = C : π (3,14) r = C : (π x 2)
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- Elisabetta Forti
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1 circonferenza rettificata significa messa su una retta è un segmento che ha la stessa lunghezza della circonferenza formule: C = d x π (pi greco) 3,14 d = C : π (3,14) r = C : (π x 2) area del cerchio A = 3,14 x r 2 r = A : 3,14
2 CILINDRO r h A laterale Ab = r x r x 3,14 Al = r x 6,28 (3,14x2) x h At = Al + (Ab x 2) V = Ab x h
3 il cubo è un solido che ha 6 facce tutte uguali perché sono dei quadrati come tutti i solidi ha tre dimensioni altezza lunghezza larghezza sviluppo del cubo formule Ab = l x l Al = l x l x 4 At = l x l x 6 (perché 6 sono le facce del cubo)
4 relazione di Eulero (fisico e matematico svizzero dell illuminismo) dice che: se sommo le facce di un poliedro con il numero dei vertici scopro che è uguale al numero degli spigoli + 2 formula: f + v = s + 2 sviluppare un poliedro su un piano significa rappresentare tutte le sue facce sul piano es: cubo il giallo rappresenta l area laterale il rosso rappresenta l area di base giallo + rosso è l area totale
5 Area quadrato l x l Area rettangolo b x h Area parallelogramma b x h Area triangolo bxh:2 Area rombo D xd : 2 Area trapezio B+b x h : 2 Area poligono regolare perimetro x a (n) : 2 a Area x 2 : perimetro 2P Area x 2 : a L a : n ap l x n AREA lato l 2 x f (numero fisso) A f
6 b 2 + a 2 = c ipotenusa c 2 - b 2 = a cateto c 2 - a 2 = b cateto d = l x 2 l = d : 2 d (diagonale) = b 2 + h 2 b (base) = d 2 - h 2 h (altezza) = d 2 - b 2 B A O C AO 2 + OB 2 = AB ipotenusa AB 2 - OB 2 = OA cateto AB 2 - OA 2 = OB cateto D
7 B C A CE 2 + ED 2 = CD ipotenusa CD 2 - CE 2 = ED cateto CD 2 - ED 2 = CE cateto E D C = d x π (pi greco) 3,14 d = C : π (3,14) r = C : (π x 2) A = 3,14 x r 2 r = A : 3,14
8 solidi prisma retto Al = P2base x h P2base = Al : h h = Al : P2base At = Al + (Ab x 2) Al = At - (Ab x 2) Ab = At - Al : 2 Ab = l x l Al = l x l x 4 At = l x l x 6 volume del cubo V = l 3 (l x l x l) l = V (radice cubica del volume) volume del parallelepipedo V = Ab x h (lung x larg x h) Ab = V : h h = V :Ab
9 QUADRATO Perimetro = lato x 4 Area = lato x lato lato = Area
10 RETTANGOLO Perimetro = (base + altezza) x 2 Area = base x altezza base = Area : altezza altezza = Area : base
11 TRIANGOLO Perimetro = la somma dei lati Area = base x altezza base = Area x 2 : altezza altezza = Area x 2 : base
12 CUBO Area base = lato x lato Area laterale = lato x lato x 4 lato = Area laterale : 4 Area totale = lato x lato x 6 lato = Area totale : 6 Volume = lato x lato x lato 3 lato = Volume
13 CERCHIO circonferenza = 3,14 x diametro (rx2) Area = raggio x raggio x 3,14 raggio = Area : 3,14 diametro = raggio x 2
14 PARALLELEPIPEDO altezza lunghezza o base larghezza Area base = base x larghezza Al = perimetro base x altezza perim.base = Al : h h = Al : perim.base At = Al + (Ab x 2) Al = At - (Ab x 2) Ab = (At Al) : 2 Volume = Area base x h oppure (lung x larg x h) Ab = Volume : h h = Volume : Area base
15 CILINDRO Ab = raggio x raggio x 3,14 Al = raggio x 6,28 x altezza r = Al : (6,28 x h) h = Al : (6,28 x r) At = Al + (Ab x 2) Al = At - (Ab x 2) Ab = (At Al) : 2 V = Ab x h r = V : (3,14 x h) h = V : (3,14 x r x r)
16 numero fisso dei poligoni regolari Un poligono regolare è un poligono cha ha tutti i lati e gli angoli uguali. Es. sono poligoni regolari: il triangolo equilatero il quadrato il pentagono l esagono l ettagono l ottagono Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili e circoscrivibili e il centro dei due cerchi coincide anche con il centro del poligono regolare. L apotema di un poligono regolare è anche il raggio del cerchio inscritto nel poligono. In ogni poligono regolare il rapporto tra l'apotema e il lato è costante, dipende solo dal numero dei lati del poligono. Questa costante del poligono ha il nome di numero fisso nf che si può calcolare dividendo l apotema per il lato oppure consultando la tabella fornita Per trovare la lunghezza del lato devi dividere l apotema con il nf lato = a : nf Per trovare l apotema devi moltiplicare la lunghezza del lato x il nf a = lato x nf
17 Per trovare il numero fisso devi dividere l apotema con il lato nf = a : lato L area invece si calcola moltiplicando il perimetro per l apotema e dividendo per due A = 2P x a : 2 ma visto che esiste anche un rapporto costante tra Area e quadrato del lato del poligono regolare possiamo moltiplicare il quadrato del lato per un fattore fisso φ che dipende sempre dal numero dei lati del poligono vedi tabella A = fattore x lato 2 numero lati del poligono numero fisso fattore φ 3 lati 0,289 0,433 4 lati 0,5 1 5 lati 0,688 1,720 6 lati 0,866 2,598 7 lati 1,038 3,634 8 lati 1,207 4,828 9 lati 1,374 6, lati 1,539 7, lati 1,866 11,196
18 parallelepipedo è un prisma che ha come basi due parallelogrammi (es. per basi due rettangoli) le basi sono uguali due a due le formule sono le stesse del prisma retto Al = perimetro della base x altezza (del prisma) (2P) perimetro h = Al : altezza (del prisma) = Al : perimetro della base per ottenere la superficie totale si aggiunge a quella laterale il doppio dell area di una base Al = At - (Ab x 2) Ab = (At Al ) : 2 At = Al + (Ab x 2)
19 Parallelogramma - figura piana - quattro angoli due acuti e due ottusi - lati uguali due a due e paralleli altezza base AREA base x altezza B x h h Area : base A : b b Area : altezza A : h
20 il Teorema di Pitagora stabilisce una relazione fra i tre lati del triangolo rettangolo La somma delle aree dei due quadrati A e B costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato C costruito sull'ipotenusa C B ipotenusa A cateti Applicando la teoria: se fai il lato b 2 ottieni l area del quadrato B se fai il lato a 2 ottieni l area del quadrato A se poi sommi le aree A e B ottieni l area del quadrato C b 2 + a 2 = c 2 sai che per trovare il lato sapendo l area devi mettere sotto radice l area del quadrato quindi se vuoi ottenere il lato c farai: b 2 + a 2 = c ipotenusa con la stessa procedura ottieni anche gli altri due cateti 2 2 c - b = a cateto c 2 - a 2 = b cateto
21 Poligono regolare calcolando il lato alla seconda base base base base altezza raggio apotema base base AREA lato l 2 x f (numero fisso) lato alla seconda x numero fisso (f) A f Se nel problema ho solo la misura del lato, questo lo elevo alla seconda e lo moltiplico per il numero fisso (f) utilizzando la tabella, il numero fisso (f) è la misura dell apotema Pol. regolare n F 3 lati 0,289 0,433 4 lati 0,5 1 5 lati 0,688 1,720 6 lati 0,866 2,598 7 lati 1,038 3,634 8 lati 1,207 4,828 9 lati 1,374 6, lati 1,539 7, lati 1,866 11,196
22 Poligono irregolare I poligoni irregolari sono figure piane composte da altre figure piane conosciute, questa ad esempio è composta da rettangoli, ma può essere anche composta da figure diverse Per calcolare l Area del poligono irregolare, basta calcolare l area di ogni figura piana con le regole che già conosci e poi sommarle
23 Poligono regolare è una figura piana, circoscrivibile ad una circonferenza l altezza corrisponde al raggio del cerchio e all apotema del poligono ha tre o più angoli ha tre o più lati base base base base altezza raggio apotema base base AREA Perimetro x apotema : 2 2P (perimetro) x a (apotema) : 2 2P x a : 2 a 2P Area x 2 : 2P Area x 2 : a a l l x n (numero fisso) a : n Se nel problema non ho la misura dell apotema ma ho solo la misura del lato utilizzo la tabella e trovo il numero fisso (n) misura dell apotema, in base a quanti lati ha il poligono
24 prisma un prisma è un poliedro (solido) formato da due poligoni messi su due piani paralleli che rappresentano le basi del prisma (color rosa) e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati della base che rappresentano le facce laterali del prisma la distanza fra le due basi è l altezza (A 1 A) i lati delle basi e i lati dei parallelogrammi sono gli spigoli del prisma un prisma retto è quando gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi un prisma regolare se è retto e ha come basi due poligoni regolari
25 quadrato - figura piana - quattro angoli retti - lati uguali e paralleli - inscrivibile nel cerchio altezza base la base e l altezza hanno uguale lunghezza quindi la formula per trovare l Area si può anche scrivere lato x lato oppure lato alla seconda l 2 AREA base (lato) x altezza (lato) l x l = l 2 lato A (per trovare la radice di un numero esistono delle tabelle)
26 Rettangolo - figura piana - quattro angoli retti - lati uguali due a due e paralleli - inscrivibile nel cerchio altezza base AREA base x altezza B x h h Area : base A : b b Area : altezza A : h
27 Rombo e DELTOIDE d altezza base D - figura piana (definito anche un parallelogramma) - quattro angoli - quattro lati uguali - il rombo è uguale alla metà di un rettangolo la cui base e la cui altezza sono uguali alle diagonali del rombo se conosci la base e l altezza AREA base x altezza B x h h Area : base A : b b Area : altezza A : h se conosci le diagonali AREA D x d : 2 D A x 2 : d d A x 2 : D
28 la geometria solida studia i corpi con tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza (i solidi) un poliedro è una parte di spazio delimitata da poligoni (quadrati, rettangoli, triangoli, cerchi ) messi su piani diversi i poliedri possono essere concavi se qualche faccia interseca il poliedro stesso oppure convessi se le facce del poliedro non si intersecano un poliedro ha: le facce che sono i poligoni di cui è composto gli spigoli che sono i lati dei poligoni di cui è composto i vertici che sono i vertici anche dei poligoni di cui è composto diagonale le diagonali che sono segmenti che uniscono due vertici, ma non devono fare parte della stessa faccia
29 solidi di rotazione un punto che ruota intorno ad una retta o asse forma una circonferenza mentre una linea o un segmento o una retta che ruotano intorno ad un asse di rotazione formano una superficie curva chiamata anche superficie di rotazione i solidi di rotazione nascono dalla rotazione delle figure piane il cilindro nasce dalla rotazione di 360 di un rettangolo (o un quadrato) il cui asse di rotazione non è altro che uno dei suoi lati (AB) D A C B AB rappresenta l altezza del cilindro DC ruotando genera la superficie laterale del cilindro DA e CB ruotando generano le basi circolari del cilindro, due cerchi uguali e rappresentano anche i raggi delle basi
30 il volume è lo spazio che occupa un solido l unità di misura per calcolare il volume è il m 3 l esponente 3 indica le tre dimensioni dei solidi - lunghezza - larghezza - altezza volume del cubo V = l 3 (l x l x l) l = 3 V (radice cubica del volume) volume del parallelepipedo V = Ab x h oppure lung x larg x h Ab = V : h h = V :Ab
31 SUPERFICIE TOTALE per calcolare la superficie totale di un prima retto è necessario scomporlo in tutte le sue facce compreso le basi come vedi sopra la parte gialla è la superficie laterale del prisma e sembra essere un unico rettangolo la cui base è anche il perimetro della base del prisma e l altezza è l altezza del prisma quindi la regola per calcolare la superficie laterale è Al = perimetro della base x altezza (del prisma) formule inverse (2P) perimetro = Al : altezza (del prisma) h = Al : perimetro della base
32 per ottenere la superficie totale si aggiunge a quella laterale il doppio dell area di una base At = Al + (Ab x 2) formule inverse Al = At - (Ab x 2) Ab = (At Al ) : 2
33 TEOREMA DI PITAGORA nei poligoni Si applica sui poligoni dove è possibile ottenere dei triangoli rettangoli QUADRATO La diagonale di un quadrato divide il poligono in due triangoli rettangoli d = l x 2 l = d : 2
34 RETTANGOLO La diagonale di un rettangolo divide il poligono in due triangoli rettangoli d (diagonale) = b 2 + h 2 b (base) = d 2 - h 2 h (altezza) = d 2 - b 2
35 ROMBO Le diagonali di un rombo lo dividono in 4 triangoli rettangoli uguali B A O C D AO 2 + OB 2 = AB ipotenusa AB 2 - OB 2 = OA cateto AB 2 - OA 2 = OB cateto
36 TRAPEZIO RETTANGOLO L altezza (CE) divide il trapezio rettangolo in 1 rettangolo e in 1 triangolo rettangolo B C A E D CE 2 + ED 2 = CD ipotenusa CD 2 - CE 2 = ED cateto CD 2 - ED 2 = CE cateto
37 trapezio - figura piana - 4 angoli - 4 lati, due paralleli e due obliqui - può essere la metà di un parallelogramma avente la stessa altezza e per base la somma delle basi altezza BASE + base AREA BASE + base x altezza : 2 B+b x h : 2 h Area x 2 : BASE + base A x 2 : B+b B+b Area x 2 : altezza A x 2 : h
38 Triangolo - figura piana - tre angoli - tre lati - può essere la metà di un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza altezza base AREA base x altezza : 2 B x h : 2 h Area x 2 : base A x 2 : b b Area x 2 : altezza A x 2 : h La formula di ERONE ci consente di trovare l area di un triangolo senza conoscere l altezza ma sapendo tutte le misure dei lati Area = P x (P lato) x (P lato) x (P lato) P = semiperimetro = lato + lato + lato / 2
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