I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due.

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1 I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. A D B H C K Una particolarità del parallelogramma è che mantiene le sue caratteristiche anche quando viene deformato, o schiacciato.

2 In un parallelogramma ci sono due diagonali. A D B C B A C D In un parallelogramma gli angoli opposti sono sempre congruenti. Gli angoli adiacenti a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è uguale a 180 )

3 Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti. Le due diagonali si intersecano sempre nel loro punto medio.

4 Un particolare parallelogramma è il RETTANGOLO Il rettangolo è un parallelogramma avente quattro angoli retti (di 90 ). Aaltezza D O altezza B base Ciascuno dei lati può essere considerato la base, e l'altro diventerà così l'altezza del rettangolo. C base Un rettangolo ha due diagonali, che si BISECANO (cioè si intersecano in un punto che le divide in due parti uguali). Le due diagonali sono congruenti.

5 IL ROMBO Il rombo è un parallelogramma avente i quattro lati congruenti. A altezza B D Un rombo ha sempre due diagonali, che possono essere congruenti, oppure di diversa lunghezza (una diagonale sarà in questo caso detta maggiore, l'altra minore). C Le due diagonali del rombo sono sempre perpendicolari.

6 IL QUADRATO Il quadrato è un parallelogramma avente quattro lati congruenti e quattro angoli retti. A diagonale D Anche il quadrato ha due diagonali, che sono sempre perpendicolari e congruenti. Ciascun lato può fare da base, o da altezza. B lato C

7 CLASSIFICAZIONE GENERALE DEI QUADRILATERI INSIEME DEI QUADRILATERI INSIEME DEI TRAPEZI INSIEME DEI PARALLELOGRAMMI RETTANGOLI QUADRATI ROMBI

8 CIRCONFERENZA E CERCHIO La circonferenza (C) è una linea chiusa formata da tutti i punti del piano posti alla stessa distanza da un punto interno chiamato centro della circonferenza. La distanza fra i punti e il centro prende il nome di raggio della circonferenza (r). centro (C) raggio (r) Il doppio del raggio (2r) si chiama DIAMETRO.

9 Un punto può: a) essere esterno alla circonferenza b) essere interno alla circonferenza c) appartenere alla circonferenza centro (C) raggio (r) L'insieme dei punti interni e di quelli che appartengono alla circonferenza prende il nome di CERCHIO. Si può anche dire che il cerchio è la parte di piano delimitato dalla sua circonferenza.

10 arco Consideriamo un cerchio come quello in figura. Prendiamo due punti (A e B) della circonferenza. A corda arco B Ciascuna delle due parti in cui viene suddivisa la circonferenza viene detto ARCO. Esso si indica con AB Il segmento che unisce i punti A e B prende invece il nome di CORDA. I punti A e B sono chiamati estremi dell'arco o della corda. La corda più grande di tutte è il DIAMETRO, che passa per il centro della circonferenza.

11 SECANTE: se tocca la circonferenza in due punti. Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza. retta ESTERNA (se nessuno dei suoi punti appartiene alla circonferenza) TANGENTE: se un suo punto appartiene alla circonferenza (cioè se la tocca solo in un punto)

12 POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Un poligono si può inscrivere in una circonferenza, quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza stessa. Il poligono si dice inscritto nella circonferenza, mentre la circonferenza si dice circoscritta al poligono. A F Il poligono è inscritto nella circonferenza B E La circonferenza è circoscritta al poligono. C D

13 Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se gli assi di tutti i suoi lati si incontrano in un unico punto chiamato circocentro. Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta. assi dei lati In altre parole, un poligono si può inscrivere in una circonferenza avente il centro coincidente con il suo circocentro, che è unico. circocentro

14 Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r, e un poligono avente tutti i lati tangenti alla circonferenza. Circonferenza di centro O r O Poligono tangente alla circonferenza bisettrici del poligono. Il centro della circonferenza è l'incentro del poligono, cioè il punto di incontro delle sue bisettrici. Questo poligono si dice circoscritto alla circonferenza, mentre la circonferenza è inscritta nel poligono.

15 Un poligono si può circoscrivere a una circonferenza se le bisettrici di tutti i suoi angoli si incontrano in un unico punto (o incentro) che sarà il centro della circonferenza inscritta. in altre parole Un poligono si può circoscrivere a una circonferenza avente il centro coincidente col suo incentro, che è unico. Il centro e il raggio (r) della circonferenza inscritta nel poligono si chiamano rispettivamente INCENTRO e APOTEMA (a) del poligono. L'apotema (si indica con la a minuscola) di un poligono è il raggio della circonferenza inscritta nel poligono stesso. circonferenza inscritta nel poligono apotema poligono circoscritto alla circonferenza

16 E' sempre possibile inscrivere una circonferenza in un poligono? cioè... tutti i poligoni si possono circoscrivere a una circonferenza? NO

17 TRIANGOLI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA. Poichè tutti i triangoli hanno un unico punto dove si incontrano i tre assi (circocentro) e un unico punto dove si incontrano le tre bisettrici (incentro), allora ne consegue che TUTTI I TRIANGOLI SI POSSONO INSCRIVERE E CIRCOSCRIVERE A UNA CIRCONFERENZA.

18 assi del triangolo circonferenza circoscritta al triangolo circonferenza inscritta nel triangolo incentro apotema bisettrici del triangolo circocentro

19 circonferenza circoscritta al triangolo assi del triangolo circocentro il raggio della circonferenza inscritta si dice APOTEMA incentro circonferenza inscritta nel triangolo bisettrici del triangolo In tutti i triangoli è sempre possibile inscrivere una circonferenza (puntata sull'incentro, punto di incontro delle tre bisettrici) ed è sempre possibile inscriverli in una circonferenza (centrata sul circocentro, punto di incontro dei tre assi del triangolo).

20 Nel triangolo equilatero tuttavia, il circocentro e l'incentro coincidono, per cui le due circonferenze, quella che circoscrive il triangolo e quella inscritta nel triangolo, sono CONCENTRICHE. Hanno cioè lo stesso centro. Il triangolo equilatero, e tutti i poligoni in cui la circonferenza iscritta e quella circoscritta sono concentriche, si dicono POLIGONI REGOLARI. il triangolo equilatero e' un esempio di poligono regolare

21 QUADRILATERI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA. Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se gli angoli opposti sono supplementari (la loro somma è uguale a 180 ). In esso cioè esiste, ed è unico, il circocentro. circocentro circocentro Infatti gli assi si incontrano in un solo punto (il circocentro) Questi due quadrilateri si possono inscrivere in una circonferenza perchè i loro angoli opposti sono supplementari. circocentro Anche quello a destra (gli angoli opposti sommati danno 180 gradi).

22 Un quadrilatero può essere circoscritto a una circonferenza (cioè gli sta attorno...) se la somma dei lati opposti è uguale, cioè se in esso esiste ed è unico l'incentro (il punto di incontro delle quattro bisettrici). incentro bisettrici

23 POLIGONI REGOLARI Si chiama POLIGONO REGOLARE un poligono avente tutti i lati e gli angoli interni congruenti. Un poligono regolare è sempre inscrittibile (cioè si può inscrivere in una circonferenza) e circoscrittibile (cioè vi si può inscrivere una circonferenza) a una circonferenza. In un poligono regolare il circocentro (punto di incontro degli assi) e l'incentro (punto di incontro delle bisettrici) sono unici e coincidono in un unico punto, che è anche il centro sia della circonferenza inscritta che di quella circoscritta e si chiama centro del poligono regolare. Il raggio della circonferenza circoscritta è il raggio del poligono mentre il raggio della circonferenza inscritta è l'apotema del poligono. L'ESAGONO REGOLARE E' UN ESEMPIO DI POLIGONO REGOLARE. bisettrici a a = apotema del poligono assi Circocentro e incentro coincidono col centro delle due circonferenze (che sono concentriche).

24 SONO ESEMPI DI POLIGONI REGOLARI: il quadrato Il triangolo equilatero In ogni triangolo equilatero il raggio della circonferenza inscritta è il doppio del raggio della circonferenza inscritta, cioè: l'apotema è sempre la metà del raggio. l'esagono regolare In ogni esagono regolare il lato è congruente al raggio della circonferenza circoscritta il pentagono regolare l'ottagono regolare

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